高数不定积分ppt课件

1、第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 本节要点本节要点 本节通过原函数引出了不定积分的概念本节通过原函数引出了不定积分的概念, 并得到不定并得到不定一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分二、不定积分的计算二、不定积分的计算积分的简单性质积分的简单性质.一、原函数和不定积分的概念一、原函数和不定积分的概念 1.原函数原函数 在第二章中曾提出对已知在第二章中曾提出对已知 求求 的的( ),F x( )( )F xf x求导问题求导问题, 而现在的问题是而现在的问题是:( )f x( )( )F xf x的的 这类问题就是求原函数问题这类问题就是求原函数问题.( ).F x假假设

2、设知知, 求满足求满足即对任一即对任一 都有都有,xI( ),f x定义定义3.1 如果在区间如果在区间 内的可导函数内的可导函数 的导函数为的导函数为( )F xI dd,Fxf xF xf xx或或则称函数则称函数 为为 在区间在区间 内的一个原函数内的一个原函数.( )F x( )f xI例如例如 函数函数 的一个原函数为的一个原函数为sinxcos , xcossin .xx又如又如,221ln1,1xxx这是因为这是因为2ln1.xx故故, 的原函数为的原函数为211x 我们知道我们知道, 对函数而言对函数而言, 如果导函数存在的话如果导函数存在的话, 导函导函数是唯一的数是唯一的,

3、 但某个函数的原函数是否唯一呢？为此但某个函数的原函数是否唯一呢？为此, 先引入先引入:( )( ),F xf x间间 内存在可导函数内存在可导函数 使得对任一使得对任一 都有都有I( ),F x,xI即连续函数一定存在原函数即连续函数一定存在原函数. .假如假如 是是 的原函数的原函数, 那那么么 ( )F x( )f x( )F xC的原函数的原函数. 其中其中 为任意常数为任意常数; 并且并且 的原函数的原函数C( )f x一定可写成一定可写成 的形式的形式.( )F xC原函数存在定理原函数存在定理( )f x如果函数如果函数 在区间内连续在区间内连续, 则在区则在区I也是也是 ( )

4、f x 2.不定积分不定积分 由上面的讨论由上面的讨论, 可得到如下定义可得到如下定义:定义定义3.2 在区间在区间 内内, 函数函数 的带有任意常数的原函的带有任意常数的原函I( )f x数称为数称为 在区间在区间 内的不定积分内的不定积分, 记作记作( )f xI( )d .f xx其中记号其中记号称为被积函数，称为被积函数，( )f x( )df xx称为积分号，称为积分号，称为被积表达式，称为被积表达式， 称为积分变量称为积分变量x 由此定义知由此定义知, 假设假设 是是 的一个原函数的一个原函数, 那么那么 f x F x f x的不定积分为的不定积分为 ( )d.f xxF xC

5、可见可见, 要计算函数的不定积分要计算函数的不定积分, 只需找出它的一个原函只需找出它的一个原函数即可数即可.例例3.1 容易得到下面的不定积分容易得到下面的不定积分:323xx1ln xxsincosxx21arctan1xx231d,3xxxC1dln,xxCxcos dsin,x xxC21darctan.1xxCx 注注1 在不定积分表达式中最后的常数在不定积分表达式中最后的常数 不能漏掉不能漏掉.C 注注2 如果不计任意常数，不定积分运算与求导运算如果不计任意常数，不定积分运算与求导运算d( )d( ),df xxf xx是互逆的因为，由定义可知是互逆的因为，由定义可知( )d( )

6、.fxxf xC二、基本积分公式二、基本积分公式 由原函数的定义由原函数的定义, 以及求导公式以及求导公式, 可以得到下面这些可以得到下面这些基本积分公式基本积分公式. 1d.k xkxC 12d1 .1xxxC d3ln.xxCx 2d4arctan.1xxCx 2d5arcsin.1xxCx 6cos dsin.x xxC 7sin dcos.x xxC 28secdtan.x xxC 29csc dcot.x xxC 10sec tan dsec.xx xxC 11csc cot dcsc.xx xxC12e de.xxxC13d.lnxxaaxCa例例3.2 求求d .x x x解解3

7、5222dd.5x x xxxxC倒数关系倒数关系例例3.3 求求21d . xxx解解5221ddxxxxx3222.33xCCx x 例例3.4 求求5 e d .xxx解解5 e5 e d5ed.1 ln5xxxxxxxC三、不定积分的性质和应用举例三、不定积分的性质和应用举例 由原函数与不定积分的定义不难得到如下不定积分的由原函数与不定积分的定义不难得到如下不定积分的性质性质: 不定积分的性质不定积分的性质性质性质1 两个函数和差的不定积分等于这两个函数两个函数和差的不定积分等于这两个函数 的不定积分的和差）的不定积分的和差）, 即即 df xg xx dd .f xxg xx（3.1

8、）性质性质2 求不定积分时求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子被积函数中不为零的常数因子可可以提到积分号外面来以提到积分号外面来, 即即 dd .kf xxkf xx（3.2）例例3.5 求积分求积分321d .xxx解解 先将先将 展开展开, 然后再利用积分公式及运算法然后再利用积分公式及运算法31x 332221331ddxxxxxxxx2133ln.2xxxCx2313dxxxx 那么那么, 得得例例3.6 求积分求积分23d .5xxxx解解2323dd555xxxxxxx1213.ln2ln5 5ln3ln5 5xxC例例3.7 求积分求积分32sind .xxx解解32sin

9、d3 d2 sin dxxxxxx x32cos.ln3xxC例例3.8 求积分求积分221d .1xxxxx解解 将被积函数拆成两项的和将被积函数拆成两项的和, 可得可得22221(1)dd11xxxxxxxxxxarctanln.xxC211d1xxx例例3.9 求积分求积分42d .1xxx44221 1dd11xxxxxx 解解 分子部分减分子部分减1加加1后后, 得得 2211d1xxx 222111d1xxxx3arctan.3xxxC例例3.10 求积分求积分2tand .x x2tandx x 解解 利用三角公式利用三角公式22sectan1,xx2sec1 dxxtan.xx

10、C得得例例3.11 求积分求积分2sind .2xx解解 利用半角公式利用半角公式21 cossin,22xx2sind2xx11cosd2xx1sin.2xxC得得例例3.12 求积分求积分221d .sincos22xxx解解 由三角公式由三角公式sin22sin cos ,xxx22214ddsinsincos22xxxxx24 cscd4cot.x xxC 得得例例3.13 求积分求积分22cos2d .cossinxxxx解解 由倍角公式由倍角公式22cos2cossin,xxx222222cos2cossinddcossincossinxxxxxxxxx22cscsecdxxxco

11、ttan.xxC 得得例例3.14 设曲线通过点设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜且其上任一点处的切线斜解解 设此曲线的方程为设此曲线的方程为 由题设得关系由题设得关系( ),yf xd2 ,dyxx即即, 是是 的一个原函数的一个原函数, 因因 且曲且曲( )f x2x22 d,x xxC21.yx率等于这点横坐标的两倍率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程求此曲线的方程.1,C 线过线过(1, 2), 代入曲线方程得代入曲线方程得 故所求曲线的方程为故所求曲线的方程为 对本例说明对本例说明: 函数函数 的原函数的图形称为的原函数的图形称为 积分积分( )f x( )f x

12、曲线曲线. 当常数当常数 取不同值时取不同值时, 曲线间是平行的曲线间是平行的. 因而可因而可C2yx-1-0.50.511.52X12345y21yx通过某条积分曲线的平移得到所求曲线通过某条积分曲线的平移得到所求曲线.例例3.15 以初速以初速 将质点铅直上抛将质点铅直上抛, 不计阻力不计阻力, 求其运动求其运动0v规律规律.解解 所谓运动规律所谓运动规律, 是指质点的位置关于时间是指质点的位置关于时间 的函数的函数t关系关系, 为此建立坐标系统如下为此建立坐标系统如下: 把质点所在的铅直线取作把质点所在的铅直线取作 轴轴, 方向向上方向向上, 轴与地面的交点取作坐标原点轴与地面的交点取作坐标原点. x开始时刻为开始时刻为 此时质点所在的位置的坐标此时质点所在的位置的坐标 0,t 为为 在时刻在时刻 时质点的坐标为时质点的坐标为0,xt, x所求函数为所求函数为 .xx tOx0 x设运动设运动 由导数的物理意义知道由导数的物理意义知