02可分离变量的微分方程

1、第二节可分离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同.从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法.本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.分布图示可分离变量微分方程例 1例 3例 4例 5齐次方程例 7例 8例 9例 10例 11 可化为齐次方程的微分方程例 12例 13例 14例 15 内容小结课堂练习 习题 8-2内容要点一、可分离变量的微分方程设有一阶微分方程如果其右端函数能分解成F(x,y)f(x)g(x),即有dxf(x)g(y).则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中f(x),g(x)都是连续函数

2、.根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解.求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法二、齐次方程：形如(2.8)的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程.三、可化为齐次方程的方程：对于形如dyfaxbyGdxa2xb2yc2的方程，先求出两条直线a1xb1yq0,a2xb2yc20的交点(x0,y0),然后作平移变换例 2例 6dydxF(x,y)(2.1)dydxXxXQ这时，曳上，于是，原方程就化为齐次方程dxdXdYa1Xb1Y,dXa2Xb2Y例题选讲可分离变量的微分方程例 1(E01)求微分方程dy2xy的通解.解分离变量得曳 2xdx 两端积分得电 2xdxln|y|x2C1y

3、y222从而 yexC1eClex,记 CeCl,则得到题设方程的通解 yCex.2cosxXQYyyoyYy。例 2(E02)求微分方程dxxydyy2dxydy的通解.解先合并 dxdx 及 dy 的各项彳导 y(x1)dy(y21)dx设 y210,x10,分离变量得2ydydxy21x1两端积分 Tdy，dx 得 Ln|y21|ln|x1|In|C1|y21x12于是 y21Cf(x1)2记 CC2,则得到题设方程的通解 y21C(x1)2.注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中，我们在假定 g(y)0 的前提下,用它除方程两边，这样得到的通解，不包含使 g(y)0 的特解.

4、但是，有时如果我们扩大任意常数 C 的取值范围，则其失去的解仍包含在通解中.如在例 2 中，我们得到的通解中应该 C C0,0,但这样方程就失去特解 y1,而如果允许 C C0,0,则 y1 仍包含在通解 y21C(x1)2中.2cos2xtanx,当 0 x10 x1 时，求 f(x).解设 ysin2x,则 cos2x12sin2x12y,2tanx_._2sinx_._2sinx例 3 已知f(sin2x)21sinx所以 f(y)12ydy1yf(x)x2ln(1x)C(0 x1).例 4 设一物体的温度为 100C,将其放置在空气温度为 20c 的环境中冷却.试求物体温度随时间t的变

5、化规律.解设物体的温度 T T 与时间 t 的函数关系为 TT(t),在上节的例 1 中我们已经建立了该问题的数学模型：其中 k(k0)为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量，得dTkdt;T201两边积分一1一 dTkdt,得 ln|T20|ktC1(其中 C1为任意常数)，T20即 T20ektC1eC1ektCekt(其中 CeC1).从而 T20Cekt,再将条件(2)代入得 C1002080,于是，所求规律为 T2080ekt.注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等例 5

6、(E03)在一次谋杀发生后，尸体的温度按照牛顿冷却定律从原来的 37c 开始下降，假设两个小时后尸体温度变为 35C,并且假定周围空气的温度保持 20c 不变，试求出尸体温度T随时间t的变化规律。又如果尸体被发现时的温度是 30C,时间是下午 4 点整，那么谋杀是何时发生的？解根据物体冷却的数学模型，有dTk(T20),k0dtT(0)37.其中k0是常数，分离变量并求解得ktT20Cekt,代入初值条件T(0)37,可求得C17,于是得该初值问题的解为ktT2017e。为求出k值，根据两小时后尸体温度为 35c 这一条件，由所以原方程变为f(y)12y,即 f(y)1y2y2yln(1y)C

7、,dTdtT|tk(T20)0100以谋杀是在上午 7 点 36 分发生的。例 6(E04)某公司 t 年净资产有 W(百万元)，并且资产本身以每年 5%的速度连续增长，同时该公司每年要以 300 百万元的数额连续支付职工工资.(1)给出描述净资产 W(t)的微分方程；(2)求解方程，这时假设初始净资产为 W0；讨论在 WD500,600,700 三种情况下，W(t)变化特点.解(1)利用平衡法，即由净资产增长速度=资产本身增长速度-职工工资支付速度得到所求微分方程(2)分离变量，得两边积分，得In|W600|0.05tInC1(C1为正常数)，于是|W6001C1e0.05t,或W600Ce

8、0.05t(CC1).将W(0)Wo代入，得方程通解：W600(W0600)e.05t.上式推导过程中W600，当W600时，理0知dtW600(Wo600)e5t,W600W0,通常称为平衡解，仍包含在通解表达式中352017e求得k0.063,于是温度函数为200.063t17e将T30代入上式求解t,有于是，可以判定谋杀发生在下午10170.063t8.4(小时)。4 点尸体被发现前的 8.4 小时，即 8 小时 24 分钟，所dW0.05W30.dtdWW6000.05dt.(3)由通解表达式可知，当W0=500百万元时，净资产额单调递减，公司将在第 36 年破产;当W0=600百万元

9、时，公司将收支平衡，将资产保持在 600 百万元不变；当W0=700百万元时，公司净资产将按指数不断增大.齐次方程例 7(E05)求解微分方程dyytan2满足初始条件yd的特解.dxxxxxi6解题设方程为齐次方程，设 u2,则 5uxdu,xdxdx代入原方程得 uxutanu,分离变量得 cotududx.dxx两边积分得 In|sinu|In|x|In|C|)sinuCx,将 u 义回代，则得到题设方程的通解为 sinCx.xx利用初始条件 y|x1/6,得至 ijC1.从而所求题设方程的特解为 sin21x.2x2xxi11分离变量得1-2解原方程变形为/一，dxxxyy21dxdu

10、 一,u2u1x两边积分得3ln(u1)31n(u2)整理得 u1Cx.u(u2)3/4所求微分方程的解为(yx)2Cy(y2x)3.例 9(E06)求解微分方程yxxy.dxdx2y2.解原方程变形为曳-,(齐次方程)dxxyxy14u2u例 8 求解微分方程dx2xxydy2T22yxy令 u,则曳 ux 业，方程化为 uxdxdxdux 一dx2u21u22 义1xx21工yxx1一lnu2lnxlnC,令 uX,则 yux,yux,xdx,、-11分离变量得 1-duudux 一dx故原方程变为dux 一dxu1dxdx._.一一.两边积分得 uln|u|xln|x|或 ln|xu|u

11、C.1_2lnuln(C1P2).u公P1将u一回代，则得到所求通解（即R与P2的函数关系式）P2PP2eP1CP22（CC12为任意正常数）.P1可化为齐次方程的方程例 12（E07）求生xy1的通解.回代 u 上便得所给方程的通解为 xln|y|yC.x例 10 求下列微分方程的通解：x（lnxlny）dyydx0.解原方程变形为 lnXdy-ydxxx代入原方程并整理lnuduu(lnu1)0,令 u 匕则 5u 四 xdxdxdx.x两边积分得 lnuln(lnu1)lnxlnC,即 yC(lnu1).yC(lnu1).变量回代得所求通解 yCln-y1.x例 11 设商品 A 和商品

12、 B 的售价分别为 P，P2，已知价格 P1与已相关，且价格 P 相对 P2的弹性为 F 组 PL-PI,求 R 与 P2 的函数关系式RdP2F2Pi解所给方程为齐次方程，整理，得dF_良且dP21_FiP2人P,令u，则P2uP2-dP21uu.1u分离变量，得1-duu2dp2.乙;P2两边积分，得dxxy3解直线 xy10 和直线 xy30 的交点是（1,2），因此作变换 xX1,yY2.代入题设方程，得UU1Y.1IdXXYXX即 u1 回代得 X52XYY2C,X再将 Xx1,Yy2 回代，并整理所求题设方程的通解例 13(E08)利用变量代换法求方程曳(xy)2的通解.dx解令

13、xyu,xyu,则曳1,代入原方程得电 1u2,dxdxdx分离变量得du2dx,两边积分得 arctanuxC,回代得 arctan(xy)xC,1u故原方程的通解为 ytan(xC)x.例 14 求微分方程 yltan2(x2y)的通解.25dx2dxdx人 Y令 u 一，贝 UYXdYuX,udXX 四，代入上式得 udXX3dX分离变量得一11u2uu2du1ln|X|lnC1,两边积分，得一 ln|12u22_u|In|X|lnC1x22xyy22x6yC.解令 ux2y,则也 1dx2 包,代入原方程得dx例 15 求下列微分方程的通解22xy222yyex-2x.xu令 ux2y2,则也 2x2y,原方程化为ex.dxdxdxx再令 vu,则蛆 vxdv,代入上式，并整理得 evdv,xdxdxx分离变量得两端积分得故所求通解为dusecudx 或1co