高阶线性微分方程解的结构ppt课件

1、 第十二章 高阶线性微分方程解的结构 第七节一、线性微分方程的定义一、线性微分方程的定义 第十二章 第十二章 )()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 时，时，当当0)( xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程时，时，当当0)( xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 一、二阶线性微分方程一、二阶线性微分方程复习复习: 一阶线性方程一阶线性方程)()(xQyxPy通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解Y

2、 第十二章 )(11yCxP )(11yCxQ0证毕二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (叠加原理) )()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1. 第十二章 说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解 )()2()()(121221

3、1xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy那么为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 第十二章 定义定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间 I 上的 n 个函数,21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它们在任何区间 I 上都线性相关;又如，,12xx若在某区间 I 上,02321xkxkk则根据二次多项式至多只有两个零点 ,321,kkk必需全为 0 ,可见2,1

4、xx故在任何区间 I 上都 线性无关.若存在不全为 0 的常数 第十二章 两个非零函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:)(),(21xyxy线性相关存在不全为 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关)()(21xyxy常数考虑考虑:)(),(21xyxy若中有一个恒为 0, 那么)(),(21xyxy必线性相关相关 第十二章 定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 那么)()(2211xyCxyCy数) 是该方程的通解.例如例如, 方程方程0 yy有特解,c

5、os1xy ,sin2xy 且常数,故方程的通解为xCxCysincos21(自证) 推论推论. nyyy,21若是 n 阶齐次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 个线性无关解, 则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y为任意常21,(CC 第十二章 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二阶非齐次方程的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 那么是非齐次方程的通解 .证证: 将将)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY

6、)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ 第十二章 )(*)(xyxYy故是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕因而 也是通解 . 第十二章 定理定理 4.), ,2, 1()(nkxyk设分别是方程的特解,是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1则)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3,

7、 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 第十二章 定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的 n 个线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解 第十二章 常数, 则该方程的通解是 ( ).321,yyy设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(32122

8、11yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)3322311)()()(yyyCyyCC3322311)()()(yyyCyyCD 第十二章 例例4. 已知微分方程已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件3)0(, 1)0(yy的特解 .解解:1312yyyy与是对应齐次方程的解, 且xexeyyyyxx21312常数因而线性无关, 故原方程通解为)()(221xeCxeCyxxx代入初始条件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.22xxeey故所求特解为有三 第十二章 补充内容补充内容可观察出可观察出一个特解一个特解0)