-初等变换与初等矩阵

1、上页下页铃结束返回首页一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换 三、逆矩阵的初等变换求法三、逆矩阵的初等变换求法 2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵四、矩阵方程的初等变换解法四、矩阵方程的初等变换解法 五、矩阵的分块初等变换五、矩阵的分块初等变换 二、初等矩阵二、初等矩阵 上页下页铃结束返回首页 下列三种变换称为矩阵的初等列变换：下列三种变换称为矩阵的初等列变换：v 矩阵的初等列变换矩阵的初等列变换 (3) 把矩阵的第把矩阵的第 i 列的列的 k 倍加到第倍加到第 j 列列, 用用 cj + + kci 记之记之.(2) 用用非零数非零数 k 乘矩阵的第乘矩阵的第 i 列列,

2、 用用 kci 记之记之;(1) 对换矩阵的第对换矩阵的第 i, j 列列, 用用 ci cj 记之记之; 一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换 如果矩阵如果矩阵 A 经过有限次初等经过有限次初等(行行, 列列)变换化为矩阵变换化为矩阵 B, 就称就称矩阵矩阵 A 与与 B (行行, 列列)等价等价, 记为记为 AB. 矩阵的矩阵的(行行, 列列)等价具有以下性质等价具有以下性质:(1) 反身性反身性 AA;(2) 对称性对称性 如果如果 AB, 则则 BA;(3) 传递性传递性 如果如果 AB, BC, 则则 AC.上页下页铃结束返回首页(标准形矩阵标准形矩阵) 对矩阵的行最简形再施行初等列

3、变换对矩阵的行最简形再施行初等列变换, 可得到一种可得到一种结构最为简单的形式结构最为简单的形式. 10203014050001600000 例如例如, 行最简形矩阵行最简形矩阵 再经初等列变换再经初等列变换3151325254342,3,4,5,6,cc cc cc cc cc cc+化为化为10000010000010000000F 3EOOO 上页下页铃结束返回首页 任一任一 m n 矩阵矩阵 A 经过有限次初等变换可化为如下的经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形等价标准形:()()() ()rrn rm rrm rn rEOFOO 其中下方的零行其中下方的零行, 右边的零列可能空缺

4、右边的零列可能空缺. 可逆阵的等价标准形可逆阵的等价标准形(行最简形行最简形)是一个单位阵是一个单位阵.v 定理定理1 行列式不为零的方阵行列式不为零的方阵, 其等价矩阵的行列式也不为零其等价矩阵的行列式也不为零. 可逆阵的等价矩阵也为可逆阵可逆阵的等价矩阵也为可逆阵.提示提示: 可逆的标准形矩阵是一个单位阵可逆的标准形矩阵是一个单位阵.上页下页铃结束返回首页二、初等矩阵二、初等矩阵 v 初等矩阵初等矩阵 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵. 相应于矩阵的三种初等变换相应于矩阵的三种初等变换, 初等矩阵有三种初等矩阵有三种:(1) E(

5、i, j): 由单位矩阵交换第由单位矩阵交换第 i, j 行行(列列)而得的方阵而得的方阵;(2) E(i(k): 由单位矩阵的第由单位矩阵的第 i 行行(列列)乘乘非零数非零数 k 而得的方阵而得的方阵;(3) E( j, i(k): 由单位矩阵的第由单位矩阵的第 i 行乘以数行乘以数 k 加于第加于第 j 行而得的方阵行而得的方阵,也即由单位矩阵的第也即由单位矩阵的第 j 列乘以数列乘以数 k 加于第加于第 i 列而得的方阵列而得的方阵.上页下页铃结束返回首页v 定理定理2 设设 A 为为 m n 矩阵矩阵. (1) 对矩阵对矩阵 A 施以某种初等施以某种初等行变换行变换得到的矩阵得到的矩

6、阵, 等于用同种等于用同种的的 m 阶初等方阵阶初等方阵左乘左乘 A.(2) 对矩阵对矩阵 A 施以某种初等施以某种初等列变换列变换得到的矩阵得到的矩阵, 等于用同种等于用同种的的 n 阶初等方阵阶初等方阵右乘右乘 A.证明证明 以第三种初等列变换为例证之以第三种初等列变换为例证之. 将矩阵将矩阵 A 和单位阵和单位阵 E 按列分块按列分块,1(,),nAaa 1(,)nEee 经列变换经列变换 ct + + kcs , 矩阵矩阵 A 和单位阵和单位阵 E 分别变换为分别变换为1(,)tsnBaakaa+和和1( , ( )(,)tsnE s t keekee+(1, )jjAeajn1( ,

7、 ( )(,)tsnAE s t kA eekee+于是于是1(,)tsnaakaaB+上页下页铃结束返回首页v 定理定理2 设设 A 为为 m n 矩阵矩阵. ABjirkr+ +例如例如:BA()jirk r+ + ( , ( )BE j i kA ( , ()AE j ik B特别地特别地, 令令 A E, 则有则有( , ()( , ( )E j ikE j i kE 初等矩阵可逆初等矩阵可逆, 其逆阵也为初等矩阵其逆阵也为初等矩阵. 具体如下具体如下:1( , )( , ),E i jE i j 11( ( )( ()E i kE i k 1( , ( )( , ()E j i kE

8、 j ik (1) 对矩阵对矩阵 A 施以某种初等施以某种初等行变换行变换得到的矩阵得到的矩阵, 等于用同种等于用同种的的 m 阶初等方阵阶初等方阵左乘左乘 A.(2) 对矩阵对矩阵 A 施以某种初等施以某种初等列变换列变换得到的矩阵得到的矩阵, 等于用同种等于用同种的的 n 阶初等方阵阶初等方阵右乘右乘 A.上页下页铃结束返回首页例例1 设设 A 是是 3 阶可逆矩阵阶可逆矩阵, A 的第的第 2 列乘以列乘以 4 为矩阵为矩阵 B, 则则解解100040 ,001P A 1 的的( )为为 B 1 .(A) 第二行乘以第二行乘以 4 ; (B) 第二列乘以第二列乘以 4 ; (C) 第二行

9、乘以第二行乘以(D) 第二列乘以第二列乘以 1;41.4,BAP111,BPA 110001/40001P Cv 定理定理2 设设 A 为为 m n 矩阵矩阵. (1) 对矩阵对矩阵 A 施以某种初等施以某种初等行变换行变换得到的矩阵得到的矩阵, 等于用同种等于用同种的的 m 阶初等方阵阶初等方阵左乘左乘 A.(2) 对矩阵对矩阵 A 施以某种初等施以某种初等列变换列变换得到的矩阵得到的矩阵, 等于用同种等于用同种的的 n 阶初等方阵阶初等方阵右乘右乘 A.上页下页铃结束返回首页v 定理定理3 n 阶方阵阶方阵 A 为可逆阵的充要条件是为可逆阵的充要条件是: 方阵方阵 A 可以可以表成若干初等

10、方阵的乘积表成若干初等方阵的乘积.证明证明 若若 A 可表成若干初等方阵的乘积可表成若干初等方阵的乘积, 若若 A 可逆可逆, 则则 A 的行最简形为单位阵的行最简形为单位阵,111kAPP 因此因此v 定理定理2 设设 A 为为 m n 矩阵矩阵. 则由初等方阵则由初等方阵可逆可逆,即知即知 A 可逆可逆.于是由定理于是由定理2知知,存在初等方阵存在初等方阵 P1, , Pk , 使得使得 Pk P1 A E,(1) 对矩阵对矩阵 A 施以某种初等施以某种初等行变换行变换得到的矩阵得到的矩阵, 等于用同种等于用同种的的 m 阶初等方阵阶初等方阵左乘左乘 A.(2) 对矩阵对矩阵 A 施以某种

11、初等施以某种初等列变换列变换得到的矩阵得到的矩阵, 等于用同种等于用同种的的 n 阶初等方阵阶初等方阵右乘右乘 A.上页下页铃结束返回首页v 定理定理4 设设 A 为为 m n 矩阵矩阵. (1) A 与与 B 行等价的充要条件是行等价的充要条件是: 存在存在 m 阶可逆方阵阶可逆方阵 P, 使使B PA. (2) A 与与 B 列等价的充要条件是列等价的充要条件是: 存在存在 n 阶可逆方阵阶可逆方阵 Q, 使使B AQ. v 定理定理2 设设 A 为为 m n 矩阵矩阵. (1) 对矩阵对矩阵 A 施以某种初等施以某种初等行变换行变换得到的矩阵得到的矩阵, 等于用同种等于用同种的的 m 阶

12、初等方阵阶初等方阵左乘左乘 A.(2) 对矩阵对矩阵 A 施以某种初等施以某种初等列变换列变换得到的矩阵得到的矩阵, 等于用同种等于用同种的的 n 阶初等方阵阶初等方阵右乘右乘 A.v 定理定理3 n 阶方阵阶方阵 A 为可逆阵的充要条件是为可逆阵的充要条件是: 方阵方阵 A 可以可以表成若干初等方阵的乘积表成若干初等方阵的乘积.上页下页铃结束返回首页三、逆矩阵的初等变换求法三、逆矩阵的初等变换求法 设设 A 可逆可逆, 则则11( ,)(,)AA EE A 由定理由定理4 知知, (A, E) 经若干次初等行变换可化为经若干次初等行变换可化为 (E, A 1).v 逆矩阵的初等变换求法逆矩阵

13、的初等变换求法1( ,)(,)rA EE A v 定理定理4 设设 A 为为 m n 矩阵矩阵. (1) A 与与 B 行等价的充要条件是行等价的充要条件是: 存在存在 m 阶可逆方阵阶可逆方阵 P, 使使B PA. (2) A 与与 B 列等价的充要条件是列等价的充要条件是: 存在存在 n 阶可逆方阵阶可逆方阵 Q, 使使B AQ. 上页下页铃结束返回首页1( ,)(,)rA EE A 逆矩阵的初等变换求法逆矩阵的初等变换求法:解解 123100( ,)134010212001A E 例例2 已知已知123134 ,212A 求求 A 1.123100011110034201r1013200

14、11110001531 r100211010641001531 r1211641531A 上页下页铃结束返回首页四、矩阵方程的初等变换解法四、矩阵方程的初等变换解法 设设 A 可逆可逆, 则矩阵方程则矩阵方程 AX B 的解为的解为 X A 1B.提示提示: 11( ,)(,)AA BE A B v 矩阵方程矩阵方程 AX B 的初等行变换解法的初等行变换解法1( ,)(,)rA BE A B v 矩阵方程矩阵方程 XA B 的初等列变换解法的初等列变换解法1cEABBA 设设 A 可逆可逆, 则矩阵方程则矩阵方程 XA B 的解为的解为 X BA 1 . (A, B) 经若干次初等行变换可化

15、为经若干次初等行变换可化为 (E, A 1B).上页下页铃结束返回首页1( ,)(,)rA BE A B AX B 的初等行变换解法的初等行变换解法:例例3 已知已知213122 ,132A 112,2b 2105b 求线性方程组求线性方程组 Ax b1 和和 Ax b2 的解的解.解解 设设 Ax1 b1, Ax2 b2 . 记记12(,),Xxx 12(,)Bb b 则两个线性方程组可合成一个矩阵方程则两个线性方程组可合成一个矩阵方程 AX B.( ,)A B213111222013225122201322521311 122200500503131 102220100100132 上页下

16、页铃结束返回首页102220100100132 2212x 1( ,)(,)rA BE A B AX B 的初等行变换解法的初等行变换解法:例例3 已知已知求线性方程组求线性方程组 Ax b1 和和 Ax b2 的解的解.解解 设设 Ax1 b1, Ax2 b2 . 记记则两个线性方程组可合成一个矩阵方程则两个线性方程组可合成一个矩阵方程 AX B.( ,)A B213111222013225100420100100132r Ax b1 和和 Ax b2 的解依次为的解依次为140,3x 213122 ,132A 112,2b 2105b 12(,),Xxx 12(,)Bb b 上页下页铃结束

17、返回首页1cEABBA XA B 的初等列变换解法的初等列变换解法:例例4 设设211210 ,111A 113,432B 求解求解 XA B. 解解211210111113432AB 301210001223252 c301010001623852 c100010,0012218/ 352/ 3 c122182533XBA 上页下页铃结束返回首页五、矩阵的分块初等变换五、矩阵的分块初等变换 下列三种变换称为下列三种变换称为分块矩阵的初等行变换分块矩阵的初等行变换:(1) 对换分块矩阵的两行对换分块矩阵的两行;(2) 以以可逆矩阵可逆矩阵 C 左乘左乘分块矩阵的某一行分块矩阵的某一行;注注:

18、C 的阶数与该行子矩阵的行数相等的阶数与该行子矩阵的行数相等. 以上定义中的以上定义中的行行换成换成列列, 左乘左乘换成换成右乘右乘, 即得即得分块矩阵分块矩阵的初等列变换的初等列变换的定义的定义. (3) 以矩阵以矩阵 C 左乘左乘分块矩阵的第分块矩阵的第 i 行加于第行加于第 j 行行. 分块矩阵的初等行列变换也称为分块矩阵的初等行列变换也称为矩阵的分块初等行列矩阵的分块初等行列变换变换.注注: C 的列的列(行行)数与第数与第 i 行行(第第 j 行行)子矩阵的行数相等子矩阵的行数相等.上页下页铃结束返回首页 对矩阵施行一次分块初等变换对矩阵施行一次分块初等变换, 实际上就是对矩阵施行实际