--简谐振动中的振幅周期频率和相位

1、12主要内容：主要内容：描述简谐振动的物理量：描述简谐振动的物理量：振幅振幅 周期频率角频率周期频率角频率 位相和初位相位相和初位相学习中的重点和难点：学习中的重点和难点：位相（位相（phase）3)cos( tAx一、一、 振幅振幅（Amplitude） 反映振动幅度的大小反映振动幅度的大小 maxxA tx图图AAxT2Tto振幅的大小与振动系统的能量有关，振幅的大小与振动系统的能量有关，由由系统的初始条件确定系统的初始条件确定。 振幅振幅A A：物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。4)cos( tAx2T 周期周期T T：物体完成一次完全振动所用的时间

2、。物体完成一次完全振动所用的时间。21T 频率频率T22 角频率角频率)(cos TtA表示表示单位时间单位时间内物体内物体完成全振动的次数。完成全振动的次数。表示表示 2 2秒时间秒时间内物内物体完成全振动的次数。体完成全振动的次数。（也称圆频率）（也称圆频率） 2 T二二 周期、频率周期、频率（ Period 、 Frequency ）5说明：说明：1）简谐运动的简谐运动的基本特性基本特性是它的是它的周期性；周期性；2）周期、频率或圆频率周期、频率或圆频率均由均由振动系统本振动系统本身的性质身的性质所决定。所决定。1,22kkmTmmk 简谐运动的表达式还可以写为简谐运动的表达式还可以写为

3、:) 2cos() 2cos() cos( tAtTAtAx对于弹簧振子：对于弹簧振子：6)sin(tAv)cos(tAx三三 相位相位（Phase）描述振动物体描述振动物体运动状态运动状态的物理量的物理量tx图图AAxT2Ttovvvvv用相位来描述运动用相位来描述运动状态，就可以区分位置状态，就可以区分位置和速度都相同的状态。和速度都相同的状态。: tt 时刻的相位，时刻的相位，描述描述 t 时刻的运动状态。时刻的运动状态。20 相位在相位在 内变化，质点内变化，质点无相同无相同的运动状态；的运动状态； 质点运动状态质点运动状态全同，全同，则相位一定相差则相位一定相差 ，或，或 的整数倍的

4、整数倍 。（周期性）（周期性）2270 t2/ t对应对应00sin AvAAx 0cos对应对应 AA 2/sinv02/cos Ax 初相位初相位 是是 t = 0时刻的相位，时刻的相位，描述质点描述质点初始初始时刻的时刻的运动状态。运动状态。初相位由初始条件确定。初相位由初始条件确定。 正的最大位移，正的最大位移，速度为速度为0的状态。的状态。平衡位置，速度最大且平衡位置，速度最大且向向 x 负向运动的状态。负向运动的状态。20( ( 取取 或或 ) )初相位与时间零点的选择有关。初相位与时间零点的选择有关。 8 对于一个简谐振动，若振幅、周期和初相位对于一个简谐振动，若振幅、周期和初相

5、位已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了该已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了该运动的全部信息，因此我们运动的全部信息，因此我们把振幅、周期和初相把振幅、周期和初相位叫做描述简谐运动的三个特征量。位叫做描述简谐运动的三个特征量。)cos( tAx相位差相位差：两个振动在同一时刻的相位之差，或同两个振动在同一时刻的相位之差，或同一振动在不同时刻的相位之差。一振动在不同时刻的相位之差。两个同频率的简谐振动，在同时刻的相位差：两个同频率的简谐振动，在同时刻的相位差：20102010( t)( t) 922020vxA00tanxv四四 常数常数 和和 的确定的确定A000vv xxt初始条件初

6、始条件cos0Ax sin0Av 对给定振动系统，对给定振动系统，周期周期由由系统本身性质系统本身性质决定，决定，振幅振幅和和初相位初相位由由初始条件初始条件决定。决定。)sin(tAv)cos(tAx10说明：说明：（1） 的取值在的取值在 -和和 +（或（或0和和2）之间；）之间；（2）应用上面的式子求应用上面的式子求 时，一般来说有两个值，还时，一般来说有两个值，还要由要由初始条件初始条件来判断应该取哪个值；来判断应该取哪个值；（3） 常用方法：常用方法：由由 求出求出A，2020 vxA然后由然后由x0 = Acos ，v0 = - Asin 两者的共同部分求两者的共同部分求 。220

7、20vxA00tanxv11 cos0A 2 0sin0 A20sin 取取0, 0, 000 xt已知已知 ，求，求讨论讨论xvo)2cos( tAx AAxT2Ttocos()xAt121）给出振动系统，证明物体的运动给出振动系统，证明物体的运动 是简谐运动。是简谐运动。2）已知物体作简谐运动，由系统的力学已知物体作简谐运动，由系统的力学 性质及初始条件求出振动表达式；或性质及初始条件求出振动表达式；或 由振动曲线求出振动表达式。由振动曲线求出振动表达式。3）已知振动表达式，求出：已知振动表达式，求出：等等、及及、FaA 13由题可知：由题可知：k、m、x0、v0，代入公式可得：，代入公式

8、可得：,602. 072. 01 sradmk mvxA04. 022020 又因为又因为 x0 为正，初速度为正，初速度 v00，可得可得0 因而因而简谐振动的方程简谐振动的方程为：为：(m) )6cos(04. 0tx 解：解：要求振动方程，只要确定要求振动方程，只要确定 A、和和 即可。即可。0cos0 Ax,0cos 或或0 又由又由,0sin0 A,0sin 例：例：一弹簧振子系统，弹簧的弹性系数为一弹簧振子系统，弹簧的弹性系数为 k = 0.72N/m，物体的质量为物体的质量为 m = 20 g。今将物体从平衡位置沿桌面向。今将物体从平衡位置沿桌面向X轴正向拉长到轴正向拉长到 0.

9、04m 处静止释放，处静止释放，求：求：振动方程振动方程。14例：例：已知振动曲线，已知振动曲线，求：求：振动表达式振动表达式。tx图图)(cmx)(sto2-24-41解：解：设振动表达式为：设振动表达式为：)cos( tAx由振动曲线知：由振动曲线知：cmA4 初始条件：初始条件：0,200 cmxt0时，时，由振动曲线还可知：由振动曲线还可知：0,211 cmxst1时，时， cos0Ax ，即即： cos42 32 又由又由,0sin0 A 32 ,0sin 15tx图图)(cmx)(sto2-24-41)32cos(42 即即：,2332 又由又由,0)32sin(1 A,21cmx

10、st1 时，时，由由21)32cos( （注意：这里不能等于（注意：这里不能等于 ）3 ,0)32sin( 振动表达式为：振动表达式为：cmtx)32cos(4 ,3532 16例：例：已知已知 A = 0.12m，T =2s。当当t = 0时，时，x0= 0.06m，此时，质点沿此时，质点沿 x 轴正向运动。轴正向运动。求：求：1）简谐简谐振动方程振动方程；2）当当 t = 0.5s 时，质点的时，质点的位置、速度、加速度位置、速度、加速度；3）由初始时刻到由初始时刻到 x = - 0.06m 处的处的最短时间最短时间。解：解：1）因因T = 2s。于是于是2(/ )radsT 将已知条件代

11、入运动方程将已知条件代入运动方程cos()xAt 得：得：0cosxA 即即3 考虑到考虑到 t = 0时时0sin03vA 于是于是运动学方程运动学方程为为0.12cos()3xtm 17)3cos(1202 t.dtda )3sin(120 t.dtdx - 0.19 (m/s)- 1.03 (m/s2)2）当当 t = 0.5s 时，质点的时，质点的位置、速度、加速度位置、速度、加速度；于是于是运动学方程运动学方程为为0.12cos()3xtm 0.12cos()3xt t = 0.50.104mt = 0.5t = 0.518当当x = - 0.06m时，由时，由cos()xAt 可得

12、可得0.060.12cos()333tt 质点沿质点沿 x 负方向运动到负方向运动到 x = - 0.06m所需时间最短，即所需时间最短，即0.12 sin()03vt 3）由由初始时刻初始时刻到到 x = - 0.06m 处的处的最短时间最短时间。当当t = 0时，时，x0= 0.06m，此时，质点沿，此时，质点沿 x 轴正向运动。轴正向运动。33t 1ts19abaxxo例：例：一立方体木块浮于静止的水中，其浸入水中的高一立方体木块浮于静止的水中，其浸入水中的高度为度为 a，现用手指将木块轻轻压下，使其浸入水中的，现用手指将木块轻轻压下，使其浸入水中的高度为高度为 b ，然后放手，任其自由

13、振动。，然后放手，任其自由振动。（1）试证明，若不计水的粘滞阻力，木块将作简谐试证明，若不计水的粘滞阻力，木块将作简谐振动；振动；（2）求其振动周期和振幅；求其振动周期和振幅；（3）若自放手时若自放手时开始计时，写出振动方程。开始计时，写出振动方程。20aaxxo平平衡衡位位置置任任意意位位置置平衡时：平衡时：（设木块的截面积为（设木块的截面积为，水的，水的密度为密度为，木块的质量为木块的质量为m ）SaFmgg 浮浮Sam 任意位置木块受到的合外力为：任意位置木块受到的合外力为：gxSgSxagSaFmgF )(浮浮合外力和位移成正比，方向和位移相反，木块作谐振动。合外力和位移成正比，方向和

14、位移相反，木块作谐振动。21,22tdxdSagxS gxSF 022 xagtdxd,ag gaT 2 aaxxo平平衡衡位位置置任任意意位位置置,Sam 而而由牛顿定律由牛顿定律amF 22)tcos(x A设振动方程为：设振动方程为：,0 时时当当 t0,00 abx由初始条件：由初始条件：22020 xA则则,ab tagabxcos)(振动表达式为：振动表达式为：0sinA0 由由：)0(00 x 23例：例：垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸的小球，弹簧伸长量为长量为b。用手将小球上托使弹簧保持自然长度后放手。用手将小球上托使弹簧保持自然长度后

15、放手。求证：求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。自然自然长度长度b平衡平衡位置位置0 xx24静平衡时有：静平衡时有：证明：证明：自然自然长度长度b平衡平衡位置位置0 xx0 kbmg在任意位置在任意位置 x 处，小球所受到的合外力为：处，小球所受到的合外力为： xbkmgF可见小球作谐振动。可见小球作谐振动。xk 以平衡位置为坐标原点，向下为轴正向。以平衡位置为坐标原点，向下为轴正向。2522tdxdmxk 022 xmktdxd即即：bgmk 得：得：)tcos(x A设设振振动动方方程程为为：,0 时时当当 t0,00 bx由初始条件：由初始条件： xbkmgFkx 26)tcos(x A设设振振动动方方程程为为：22020 xA则则,b 或或000 xarctg)(cosSItbgbx 振动表达式为：振动表达式为：,0 时时当当 t0,00 bx由初始条件：由初始条件：)(coskmgSItmkx 或为：或为：（若已知（若已知 k、m） ,0c