天津科技大学李伟版高等数学第二章习题及答案

1、习题21（A）1下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：（1）函数的导数是函数的平均变化率在自变量的增量趋于零时的极限；（2）求分段函数在分界点处的导数时，一般利用左、右导数的定义分别求该点处的左、右导数如果二者存在且相等，则在这一点处的导数就存在，且等于左、右导数，否则函数在这点不可导；（3） 在点可导的充分必要条件是在点的左、右导数都存在；（4）函数在点连续是它在点可导的充分必要条件.答：（1）正确根据导数的定义 （2）正确一般情况下是这样，但是若已知连续时，也可以用（即导函数的左极限），（即导函数的右极限）求左右导数 （3）不正确应是左、右导数都存在且相等 （4）不正确在点连续仅是在可导

2、的必要条件，而不是充分条件，如都在点连续，但是它们在点都不可导2设函数，用导数定义求它在点处的导数.解：3设函数，用定义求它在点处的导数解：4用定义求函数在任意一点()处的导数解：5 对函数，分别求出满足下列条件的点： （1）； （2）解：，（1）由，有，得； （2）由，有，得6已知某物体的运动规律为，求时刻时物体的运动速度，及加速度解：速度为，加速度为7求曲线在点处的切线方程与法线方程解：切线斜率，切线方程为：，即；法线方程为：，即8若函数可导，求下列极限： （1）； （2）（其中）； （3）； （4）解：（1） （2） （3） （4）9讨论下列函数在指定点的连续性和可导性： （1），在点；

3、 （2） 在点； （3） 在点解：（1）是初等函数，且在的邻域内有定义，因此在点连续，因为（极限不存在），所以在点不可导（2）因为，所以在点可导，且，从而也连续（3）因为，有，所以， 在点连续，又，由，所以， 在点不可导10设函数 求解：因为，所以e11设函数 求解：当时，当时，当时，由，于是函数在点不可导，所以习题21（B）1有一非均匀细杆长为20 cm，为上一点，又知的质量与从点到点 的距离平方成正比，当为2 cm时质量为8 g，求：(1) 为2 cm时，这段杆的平均线密度；（2）全杆的平均线密度；（3）求点处的密度解：设 cm，则杆的质量为 g，由时,，得，所以， g/cm（1）为2 c

4、m时，这段杆的平均线密度为4 g/cm（2）全杆的平均线密度为40 g/cm（3）点处的密度为 g/cm2求的值，使函数 在点可导解：首先函数要在点连续而，由，得，此时又，由得所以，当时，函数 在点可导3讨论函数在点的可导性解：，因为，所以函数在点不可导4若函数可导，且为偶（奇）函数，证明为奇（偶）函数证明：（1）若是偶函数，有， 因为，所以是奇函数 （2）若是奇函数，有， 因为，所以是偶函数5设非零函数在区间内有定义，在点可导，且对任何实数，恒有.证明证明：由，令，有，而，得 因为 ， 所以函数可导，且6求曲线上的水平切线方程解： ， 由，得， 当时，此时水平切线是，即； 当时，此时水平切线

5、是，即7在抛物线上求与直线平行的切线方程解：对，导函数为：，设切点为，则切线斜率为，而直线斜率为，根据已知，有，即，得，切点为，切线方程为：，即8已知曲线与曲线相切，求公切线方程解：设切点为，则两曲线在切点处的斜率分别为，.由两曲线在时相切，有得，即， 此时，公切线斜率为，公切线方程为，化简得. 习题22（A）1下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：（1）在自变量的增量比较小时，函数的微分可以近似刻画函数的增量，但是二者是不会相等的；（2）函数在一点处的微分仅与函数在这点处的导数有关；（3）函数在一点可微与在这点可导是等价的，在一点可微的函数在这点必然连续，但反过来不成立，即在一点连续的函数

6、在这点未必可微答：（1）前者正确，根据微分的定义；后者不正确，如对线性函数，恒有 （2）不正确因为，可见不仅与有关，还与自变量在该点的增量有关 （3）正确这就是本章定理2.1与定理1.2所述2求下列函数在点处的微分： （1）； （2）（）；（3）（）； （4） 解：（1）因为，所以 （2）因为，所以， （3）因为，所以， （4）因为，所以3求下列函数在点处的微分：（1） ，； （2），解：（1）因为，所以 （2）因为，所以4设函数，求当，时函数的微分解：因为，所以5用函数的局部线性化计算下列数值的近似值： （1）； （2）； （3）解：（1）取， 由，得 （2）取， 由，得 （3）取，当时，先

7、证明， 事实上，取，则， 由，得， 利用，得6讨论下列函数在点的可微性： （1）； （2）； （3）解：（1）因为，则在点不可导，所以在不可微 （2）因为，则在点可导，所以在点可微 （3）因为，得在点不可导，所以在点也不可微习题22（B）1已知单摆的振动周期，其中cm/s2是重力加速度，是摆长（单位：cm）设原摆长为20 cm，为使周期增加0.05 s，问摆长大约需要增加多少？解：由，得，即为使周期增加0.05 s，摆长大约需要加长2.23 cm2用卡尺测量圆钢的直径，如果测得 mm，且产生的误差可能为0.05 mm，求根据这样的结果所计算出来的圆钢截面积可能产生的误差的大小解：设圆钢的截面积

8、为， ； ， 当时， mm2，所以绝对误差大约为4.715 mm2；，所以相对误差大约为0.17%3若函数在点连续，且，求解：由，及分母极限，得分子极限；又因为函数在点连续，所以，4设函数在点可微，且，求极限解：由已知，有，所以习题23（A）1下列叙述是否正确？并根据你的回答说出理由：（1）求复合函数的导数时要根据复合函数的关系，由“外”到“里”分别对各层函数求导，再把它们相乘；（2）求任意函数的微分首先要求出该函数的导数，然后将该导数乘以自变量的微分答：（1）正确这就是复合函数求导定理推广到多重复合的情形，通常称为复合函数的“链式求导法则”，又形象地俗称为“扒皮法”，要注意不能漏项 （2）不

9、一定还可以用微分法则及一阶微分形式不变性求函数的微分2求下列函数的导数：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解：（1） （2）（3） （4）（5） （6）3求下列函数在指定点的导数或微分：（1），求与；（2），求与解：（1）， （2），因为，所以，4求下列函数的导数：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）解：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10） 5求下列函数的微分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）解：（1） （2） （3） （4） （5）因为，所以， （

10、6）因为，所以 （7）因为，所以 （8）因为，所以 6在括号内填入适当的函数，使下列等式成立：（1）d( )d； （2）d( )d；（3）d( )d； （4）d( )d；（5）d( )d（）； （6）d( )d解：（1）因为，所以 （2）因为，所以d()d （3），所以d()d，或因为，所以d()d （4）因为，所以d()d （5）因为，所以d()d（） （6）因为，所以d()d习题23（B）1如图所示的三个圆柱型零件当圆柱转过圈时，转过圈，从而带动转过圈通过计算周长知道，因此，求解：2求下列函数的导数：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）解：（1） （2）

11、（3） （4） （5） （6）（7） （8）因为，所以3若函数可微，求下列函数的导数：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1） （2） （3） （4） 4设可导函数满足方程，求解：（方法1）等式两边对求导，有，用替换上式中的，有，从而得（方法2）用替换题中等式里的，有，由此得， 所以，5设，其中可微，求解：.6试写出垂直与直线且与曲线相切的直线方程解：，设切点的横坐标为，则切线斜率， 而直线的斜率，由已知，有，得，切点为，切线斜率为，于是，所求切线方程为，即习题24（A）1下列论述是否正确？并根据你的回答说出理由：（1）如果的导数大于零，那么的二阶导数也一定大于零；（2）变速直线运动的加速

12、度大于零，该变速运动一定是加速运动答：（1）不正确如（），但是 （2）正确由，有速度的变化率是正的，即运动是加速运动2求下列函数的二阶导数：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）解：（1）， （2）， （3）， （4）， （5）， （6）， （7）， （8）， （9）， （10），3设函数，求及解：，；4计算下列各题： （1），求；（2），求；（3），求解：（1）， （2）， （3），5验证函数（其中为任何常数）满足关系式（微分方程） 证明：因为，所以6验证函数满足关系式证明：因为， 所以习题24（B）1挂在弹簧上的一个重物，从静止位置往下拉

13、长5 cm，并松开使其上下振动记松开时的时刻为，在时刻时物体的位置为求时刻时物体的速度和加速度解：物体的速度；物体的加速度 2设函数，求解：,3设函数，求解：由是奇函数，则是偶函数，是奇函数，是偶函数，以此类推是奇函数，根据初等函数导数的性质，在点有定义，所以4求下列函数的（）阶导数：（1）； （2）； （3）；（4）（其中为常数，）解：（1）（方法1），以此类推 （方法2）（2） （3）（方法1）（方法2）， （4）5若函数满足，求解：由，有，所以 6若函数存在二阶导数，分别求及的二阶导数解：对，；对，7若函数有任意阶导数，且，证明证明：用数学归纳法进行证明，当时显然成立，设时成立，即，当时

14、，等式两边同时对求导，得，即对，式子，所以根据数学归纳法原理，对任何正整数都有习题25（A）1判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）求由方程所确定的隐函数的导数时，所得到的是的一元函数，若再求的二阶导数，直接对的函数求导即得； （2）求由参数方程所确定的函数的导数时，在的条件下，若再求，只需将所求得的对再继续求导数即可；（3）在知道两个变量中的一个对第三个变量的变化率，求另一个变量对的变化率时，应首先求出两个变量之间满足的解析式（假设这样的解析式存在），从而得到对变量的变化率之间的关系答：（1）不正确在的表达式中不仅含有变量，还含有函数，在用求导法则求时，凡是遇到含有的项，都要将其视为的函数

15、，按复合函数进行求导 （2）不正确 要先对求导，再乘以对的导数（或除以对的导数）这是因为 （3）正确如果变量有函数关系，两边同时对求导，有，这就是对的变化率与对的变化率之间的关系2设函数由下列方程确定，求：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）方程两边同时对求导，有，解得 （2）方程两边同时对求导，有，解得（3）方程两边同时对求导，有，解得 （4）方程两边同时对求导，有，解得3求曲线上对应于点处的切线方程解：将代入方程，得，切点坐标为，方程两边同时对求导，有，用，代入，得，即切线斜率为，切线方程为，即4求星形线在点处的切线方程与法线方程解：方程两边同时对求导，有，用，得，即切线斜率，切线

16、方程为，即；法线方程为，即 5设函数由下列方程确定，求：（1）； （2）解：（1）方程两边同时对求导，有，得，所以 （2）方程两边同时对求导，有，得，所以6用对数求导法求下列函数的导数：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）将两边取对数，有，两边再同时对求导，有 ，所以 （2）将两边取对数，有，两边再同时对求导，有 ，所以 （3）将两边取对数，有，两边再同时对 求导，有，所以 （4）将两边取对数，有，两边再同时对求微分，有 ，即，解得，或写作7求由下列参数方程所确定的函数的导数：（1） （2）（3） （4）解：（1）因为，所以 （2）因为，所以 （3）因为，所以，或写作 （4）因为，所以

17、 8写出下列曲线在所指定点处的切线方程： （1）在点处； （2） 在处解：（1）切点对应参数，切线斜率，切线方程为，即 （2）将代入方程，得切点为，切线斜率，切线方程为，即9求由下列参数方程所确定的函数的二阶导数： （1） （2） （3） （4）解：（1）， （2）， （3）， （4）， 习题25（B）1有一长度为5的梯子铅直地靠在墙上，假设其下端以3的速率沿地板离开墙脚而滑动问当其下端离开墙脚2时，梯子上端下滑的速率为多少？解：设时刻时梯子上端距墙脚m，下端距墙脚m，则，两边同时对时间求导，有，将代入，有，得，即梯子上端下滑的速率大约为1.312一个气球从距观察员500 m处离开地面铅直上升

18、，其上升速率为120 m/min，当气球升高到500 m时，求观察员视线的仰角的增加速率解：设时刻时气球的高度为，则（观察员身高忽略不计），两边同时对时间求导，有，将代入，得，即观察员视线的仰角的增加速率为0.12 (rad/min)3一正圆锥形水池，深8，上口直径也为8 ，现以速率向水池内注水，当水深为5时，求水面上升的速率 解：设时刻时容器内水深为，水的体积为，此时水面的直径，则，两边同时对时间求导，有，将代入，有，得，即水面上升的速率大约为(m/min)4设函数，其中函数均可微又函数由方程确定，求解：方程两边同时对求导，有，得，所以.5设函数由方程确定，其中可导，且，求解：方程两边同时对

19、求导，有，得，所以 6设函数由方程确定，求解：等式两边同时对求导，有，得 ，而，所以总习题二1填空题： （1）若，则极限 ；（2）若是可导的偶函数，且，则 ；（3）若函数可微，则极限 ；（4）若曲线在点处的切线与轴的交点为，则 ；（5）设其中函数可微，则 解：（1），填： （2）由已知得是奇函数，所以，填： （3）由可微，有，所以，填： （4），所以曲线在点处的切线方程为，令，得切线与轴的交点的横坐标为，所以，填： （5），填： 2单项选择题： （1）函数在点处（ ）；（A）连续，且可导； （B）连续，但不可导；（C）不连续，也不可导； （D）不连续，但左、右导数存在（2）设函数在点的一个邻域

20、内有定义，则在点可导的充分条件是极限（ ）存在； （A）； （B）；（C）； （D）（3）若函数在点可导，则在点不可导的充分条件是（ ） （A）且； （B）且； （C）且； （D）且（4）设曲线与曲线在原点相切，则极限为（ ）； （A）； （B）； （C）； （D）（5）设函数，使得存在的最大自然数（ ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3解：（1）选B，事实上：由，得在点处连续；又；右导数不存在，函数在点处也不可导. （2）选D，事实上：令，则这就是导数的定义，它是可导的充分必要条件. 而存在，仅表示右导数存在，所以A不正确；B、C不正确都可以用例子由于在点不连续，因此在点不可导，

21、但是，都存在，其根本原因是两个极限中都没涉及函数在点的值.（3）选B，事实上：由且，有；于是， ，所以在点不可导. A不成立可用例子； B不成立可用例子； D不成立可用例子 （建议本题从几何直观考虑）（4）选C，事实上：由曲线与曲线在原点相切，得，所以. （5）选C，事实上：，在有一阶导数，且，在有二阶导数，且，所以在三阶导数不存在，于是最高有二阶导数，即3若函数可导，试求极限：（1） （2） 解：（1） （2）.4若函数可导，且是周期为的函数，证明也是周期为的函数.证明：（方法1）因为 ，所以是以为周期的周期函数. （方法2）由两边同时对求导，得，所以是以为周期的周期函数.5设函数对任何实数

22、均满足等式，且有，其中为非零常数， 证明在点处可导，并求.解：用代入，有，于是由，所以在点处可导，且.6求的值，使函数 在点可导.解：首先要在点连续，而，由，得，即.又， 由，得，所以当在点可导.7设函数，其中函数在点连续，讨论在点处的可导性，并研究函数的可导性.解：由， 当时，则在点处可导，且.当时，则在点处不可导. 对函数只需讨论在及点处的可导性（其它点处都可导）， 在点：，取，其连续，又因为，所以在点可导； 在点，取，其连续，又因为，所以在点可导. 综上，在区间及内可导，在点不可导.8设函数 讨论其导函数在点的连续性.解：当时，当时，因为不存在，所以在点处不连续.（注：本题也可以不求）9若函数在点的增量可以写为，且，求函数解：由，得在点可微，且因为，所以，由，得，于是所求函数为.10求下列函数的导数