力学习题课_刚体

1、第一讲第一讲大学物理（大学物理（A A）I I第一篇 力学基础习题课2一、圆周运动的角量描述一、圆周运动的角量描述OxR1v2vs AB 角位移角位移角位置角位置角速度角速度角加速度角加速度 ddt22ddddtt角量与线量的关系：角量与线量的关系：22ddddddddnSvRRttvaRRttvaRR第一章第一章 质点运动学质点运动学3二、运动学中的两类问题二、运动学中的两类问题1、已知运动方程，求速度、加速度、已知运动方程，求速度、加速度运用求导的方法运用求导的方法2、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程运用积分的方法运用积分的方法41、已知运动方

2、程，求速度、加速度、已知运动方程，求速度、加速度运用求导的方法运用求导的方法ktzjtyitxtr)()()()( ddddddddrxyzvijktttt222222ddddddd dddddddyxzvvvvxyzaijkijktttttttddant2vv在自然坐标系下：在自然坐标系下：52、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程运用积分的方法运用积分的方法00d(1)( ) ( ) d( )ddtaa ta ta tttvvvv00dd(2)( ) ( ) dd( )taaattavvvvvvv00dd dd(3)( ) ( )dddd d( )

3、dxxaa xa xtxtxa xxvvvv xvvv v62、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程运用积分的方法运用积分的方法00d(1)( ) ( ) d( )ddxtxttxtttxvvvv00dd(2)( ) ( ) dd( )txxxttxxxxvvvv由速度求位置：由速度求位置： 三、相对运动三、相对运动 选定选定 S 与与 S 两个参考系。两个参考系。S系相对系相对 S 系的平移系的平移速度为速度为 u。 在两个参考系中，描述同一质点的运动。在两个参考系中，描述同一质点的运动。yxO yxO0rrrP70000rrrrrraaa vvv绝

4、对绝对 = 相对相对 + 牵连牵连等效写法：等效写法：vvvaaa甲乙甲丙甲乙甲丙乙丙乙丙一、牛顿运动定律一、牛顿运动定律（牛顿运动定律只适用于惯性系）（牛顿运动定律只适用于惯性系）8 任何物体都将保持静止或匀速直线运动状态，任何物体都将保持静止或匀速直线运动状态，直到作用在它上面的力迫使它改变这种状态为止。直到作用在它上面的力迫使它改变这种状态为止。第一定律第一定律:第二定律：第二定律：瞬时关系瞬时关系, 矢量关系矢量关系实际常用分量实际常用分量直角坐标系直角坐标系自然坐标系自然坐标系2ddnnttFmamFmamtvvFmaxxyyzzFmaFmaFma第三定律：第三定律：作用在不同物体上

5、两力的性质完全相同作用在不同物体上两力的性质完全相同1221 FF 第二章第二章 质点动力学质点动力学力学中常见的力力学中常见的力2、弹性力：发生形变的物体，由于力图恢复原状，、弹性力：发生形变的物体，由于力图恢复原状，对与它接触的物体产生的作用力。对与它接触的物体产生的作用力。 如压力、张力、拉力、支持力、弹簧的弹力。如压力、张力、拉力、支持力、弹簧的弹力。弹簧的弹性力：弹簧的弹性力：f =k x91、万有引力：、万有引力： 重力：重力：122rm mFGer 2MmWGmgR3、摩擦力：物体运动（或有运动趋势）时，由于接、摩擦力：物体运动（或有运动趋势）时，由于接触面粗糙而受到的阻碍运动的

6、力。触面粗糙而受到的阻碍运动的力。最大静摩擦力最大静摩擦力滑动摩擦力滑动摩擦力kkfNmaxssfN4. 黏滞阻力黏滞阻力dfkv相对速率较小时相对速率较小时（与相对运动方向相反）（与相对运动方向相反）相对速率较大时相对速率较大时212dfCAv10二、动力学中两类问题二、动力学中两类问题:(一一) 已知力已知力, 求解运动方程求解运动方程 ； (二二) 由运动的特点求力。由运动的特点求力。 注意有相对运动问题；注意有相对运动问题； 注意有的力是变力。注意有的力是变力。应用牛顿定律求解力学问题步骤：应用牛顿定律求解力学问题步骤： 1. 隔离物体；分析运动状态隔离物体；分析运动状态; 2. 分析

7、受力分析受力, 画受力图；画受力图； 3. 选择适当的坐标系；选择适当的坐标系； 4. 由牛顿定律列方程（组）由牛顿定律列方程（组）; 5. 求解方程（组）并进行讨论求解方程（组）并进行讨论.三、惯性系和非惯性系三、惯性系和非惯性系*牛顿定律不成立的参照系叫非惯性参照系牛顿定律不成立的参照系叫非惯性参照系*牛顿定律成立的参照系叫惯性参照系牛顿定律成立的参照系叫惯性参照系11选非惯性系作为参照系时，引入惯性力：选非惯性系作为参照系时，引入惯性力：匀加速参照系的惯性力：匀加速参照系的惯性力：匀速转动参照系的惯性力：匀速转动参照系的惯性力：0fma 2vfmnR 惯性离心力惯性离心力在非惯性系中：在

8、非惯性系中：Ffma非非惯惯力在时间上的积累效应力在时间上的积累效应 冲量：冲量： 质点的动量定理：质点的动量定理： 质点系的动量定理：质点系的动量定理： 动量守恒定律：动量守恒定律： 恒矢量恒矢量 21dttIF tPmv 2121IPPmvmv 2121iiIPPmvmv 0iF 21PP 12力在空间上的积累效应力在空间上的积累效应 做功：做功： 质点的动能定理：质点的动能定理： 质点系的动能定理：质点系的动能定理： 机械能守恒定律：机械能守恒定律： EE0 = 恒量恒量 系统的功能原理：系统的功能原理： A外外+A非保内非保内 = EE021drrAFr212kEmv22211122A

9、mvmv210drikkrAFrEE1314保守力作功与势能：保守力作功与势能：1. 保守力做功与路径无关。保守力做功与路径无关。 保守力沿任意闭合保守力沿任意闭合回路作功为回路作功为 0. Fdr = 02. 保守力做的功是势能增量的负值保守力做的功是势能增量的负值 A保内保内=(Ep2Ep1)3. 势能仅有相对意义，必须指出零势能参考点。势能仅有相对意义，必须指出零势能参考点。两点间的势能差是绝对的。两点间的势能差是绝对的。4. 势能是属于系统的。势能是属于系统的。力在空间上的积累效应力在空间上的积累效应 1. 一质点自原点开始沿抛物线一质点自原点开始沿抛物线 y = 0.5 x2 运动，

10、运动，它在它在 Ox 轴上的分速度为一恒量，其值为轴上的分速度为一恒量，其值为 vx = 4 m/s。求：质点位于求：质点位于 x = 2 m 处的速度和加速度。处的速度和加速度。解：解：dd4ddyxyxvxxvxtt44,dd416ddvixjvxajjtt在在 x = 2 m 处：处：4816vijaj15四、例题解析16 提示：提示：这是一个相对运动的问题。这是一个相对运动的问题。 取河流为取河流为 S 系，鱼竿静止，而船对鱼竿（水）系，鱼竿静止，而船对鱼竿（水）相对速度不变，掉入水中的时间为相对速度不变，掉入水中的时间为 4 分钟。分钟。 河水的流速河水的流速 v = 600 / (

11、604) = 2.5 m/s 选选 A 2. 某人以一定的速率划船，逆流而上。当经过一某人以一定的速率划船，逆流而上。当经过一桥时，船上的鱼竿不慎掉入水中，两分钟后此人发现桥时，船上的鱼竿不慎掉入水中，两分钟后此人发现并立即返回追赶。追到鱼竿处在桥下游并立即返回追赶。追到鱼竿处在桥下游 600 m 处。则处。则河水的流速是（河水的流速是（ ）m/s。 （A）2.5；（；（B）3.1；（；（C）3.5；（；（D）2.0 解：解： 0t000dd1 dtd220 ( )(),()kktttkkvvvvvvvvvv0 x03/23/23/200dd2 dd dd22 33 ( )()kk xtxxx

12、kkvvvvvvv v(vvv=0v 3. 一质点一质点 沿直线运动，初速为沿直线运动，初速为 ，加速度为，加速度为 ，k 为正整数，求：为正整数，求： （1）质点完全静止所需时间；）质点完全静止所需时间； （2）这段时间内运动的路程）这段时间内运动的路程.0vak v17 4. 一小球放在光滑的碗内以角速度一小球放在光滑的碗内以角速度 绕绕 y 轴转动，轴转动，在任一点上都能保持平衡，试证明碗的内表面是旋转在任一点上都能保持平衡，试证明碗的内表面是旋转抛物面。抛物面。解：解：分析小球受力，列方程如下分析小球受力，列方程如下 2cossinNmgNmx 22222tanxgdyxyxdxgg

13、mgNO x yx18 5. 光滑水平桌面上放置一半径为光滑水平桌面上放置一半径为 R 的固定圆环，的固定圆环，一物体紧贴环内侧作圆周运动，其摩擦因数为一物体紧贴环内侧作圆周运动，其摩擦因数为 ，开，开始时物体速率为始时物体速率为 v0，求，求 t 时刻物体的速率时刻物体的速率得得22ddddmmtRtR vvvv两边积分两边积分0200d11dtttRR vvvvvv即：即：001/ t R vvvR解：解： 2NtN,ddFmRFFmt 法向：切向：vv19 6. 用铁锤将一铁钉打入木板，设木板对铁钉的阻力用铁锤将一铁钉打入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比已知铁锤第一次将

14、铁钉击与铁钉进入木板的深度成正比已知铁锤第一次将铁钉击入的深度为入的深度为 1cm试求：如果铁锤仍以与第一次时同样的试求：如果铁锤仍以与第一次时同样的速度去打击铁钉，第二次能击入铁钉的深度为多少？速度去打击铁钉，第二次能击入铁钉的深度为多少？ 解：解：沿木板深度方向取沿木板深度方向取 x 轴，轴，阻力阻力 f =kx ，铁锤击打铁钉，机械，铁锤击打铁钉，机械能转化为铁钉克服木板阻力做功，每能转化为铁钉克服木板阻力做功，每次做功相同，则有次做功相同，则有1212221210111222xxxkxdxkxdxkxkxkx2122 12 cmxx 21210.41 cmxxx 第二次打入的深度为第二

15、次打入的深度为xO12x x20 7.一质量为一质量为 m 的质点，在半径为的质点，在半径为 R 的半球形容器的半球形容器中，由静止开始自边缘上的中，由静止开始自边缘上的 A 点滑下，到达最低点点滑下，到达最低点 B 时，它对容器的正压力为时，它对容器的正压力为 N，如图所示，则质点自，如图所示，则质点自 A 滑到滑到 B 的过程中，摩擦力对其做的功为（的过程中，摩擦力对其做的功为（ ）11( )(3)( )(3)2211( )()()(2)22AR NmgBRmgNCR NmgDR Nmg221mvAmgRfRvmmgN21(3)( )2fAR NmgA 联联解解得得21RR 质点质点的角动

16、量定理和角动量守恒定律的角动量定理和角动量守恒定律221. 质点对参考点（参考轴）的角动量质点对参考点（参考轴）的角动量LrPrmv 2. 力矩力矩MrF 3. 质点的角动量定理质点的角动量定理 质点所受的合外力矩，等于它的质点所受的合外力矩，等于它的角动量对时间的变化率。角动量对时间的变化率。ddLMt m OvrL 4. 角动量守恒定律角动量守恒定律 质点所受的合外力矩为零，则角动量保持不变。质点所受的合外力矩为零，则角动量保持不变。d0,0,dLMLt 如如果果则则即即常常矢矢量量第三章第三章 刚体力学刚体力学 刚体的运动形式：平动、转动刚体的运动形式：平动、转动 平动：刚体在运动中，其

17、上任意两点的连线始终平动：刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。按质点处理。保持平行。按质点处理。 转动：刚体中所有的点都绕同一直线转动：刚体中所有的点都绕同一直线（转轴）（转轴）做做圆周运动圆周运动. . 定轴转动定轴转动: 刚体绕一固定轴转动。各质点均在垂刚体绕一固定轴转动。各质点均在垂直于转轴的平面内作圆周运动。直于转轴的平面内作圆周运动。 刚体任何复杂的运动，都可以看成是：刚体任何复杂的运动，都可以看成是： 刚体随质心的平动刚体随质心的平动 绕过质心的轴转动绕过质心的轴转动一、一、 刚体运动学刚体运动学刚体的定轴转动刚体的定轴转动 刚体刚体：刚体是在任何情况下，形状和大小都不刚

18、体是在任何情况下，形状和大小都不发生任何变化的物体发生任何变化的物体。23（一）刚体定轴转动的运动学（一）刚体定轴转动的运动学方向沿轴线，方向沿轴线，右手螺旋判定右手螺旋判定各质点各质点: 位置位置, 速度速度, 加速度加速度.整体整体: 角位置角位置, 角速度角速度, 角加速度角加速度., r, av, *角速度矢量：角速度矢量：ddtddt加加速速时时与与同同向向，减减速速时时与与反反向向. .*角加速度矢量：角加速度矢量：24 vr大小关系大小关系2nrararv25单个质点的转动惯量：单个质点的转动惯量：I = m r2（二）转动惯量（二）转动惯量 质量为线分布质量为线分布 dm =

19、dl质量为面分布质量为面分布 dm = dS质量为体分布质量为体分布 dm = dV其中其中 、 、 分别为质量的分别为质量的线密度、面密度和体密度。线密度、面密度和体密度。 转动惯量转动惯量 I 的大小和下列因素有关：的大小和下列因素有关： 刚体的质量、刚体的质量、 刚体的质量分布、刚体的质量分布、 转轴的位置。转轴的位置。质点系的转动惯量：质点系的转动惯量：21()ni iiImr质量连续分布的刚体的转动惯量：质量连续分布的刚体的转动惯量：2mIr dm 平行轴定理：平行轴定理： 若有任一轴与过质心的轴平行，相距为若有任一轴与过质心的轴平行，相距为 d，刚体对其转动惯量为刚体对其转动惯量为

20、 I，则有：，则有：I IC m d 2 正交轴定理正交轴定理（垂直轴定理）：（垂直轴定理）： 薄板状刚体薄板状刚体，对板面内相互垂直的两个定轴，对板面内相互垂直的两个定轴x、y 的转动惯量之和，等于该刚体对通过两轴交的转动惯量之和，等于该刚体对通过两轴交点且垂直于板面的定轴点且垂直于板面的定轴 z 的转动惯量的转动惯量Iz Ix Iy2627大小：大小：M rFsin ，方向：右手螺旋定则方向：右手螺旋定则（一）力对转轴的力矩（一）力对转轴的力矩MrF 二、二、 刚体动力学刚体动力学OzMrP*FdM（二）刚体对轴的角动量（二）刚体对轴的角动量LI（三）刚体的转动动能（三）刚体的转动动能21

21、2kEI28 刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。实际应用的时候常写成标量形式：实际应用的时候常写成标量形式：dMIIdt（四）刚体定轴转动的转动定律（四）刚体定轴转动的转动定律（有的书上叫转动定理（有的书上叫转动定理）ddMIIt比较牛顿第二定律：比较牛顿第二定律：ddvFmamt21dttM t LI 212121dttM tLLII 0iM 21LLI 2921drrAM 212kEI22211122AMdII3031刚体力学刚体力学质点力学

22、质点力学质点力学与刚体力学公式的对比，形式相同质点力学与刚体力学公式的对比，形式相同ddtddt转动定律转动定律MI2201122MdII2121ttMdtII0MICdrdtvdadtv牛顿定律牛顿定律Fma22011d22FSmm vv2121ttFdtmmvv0FmCv习题典型形式习题典型形式 滑轮有质量或无质量；滑轮有质量或无质量； 绳子无质量或有质量；绳子无质量或有质量； 斜面静止或者运动。斜面静止或者运动。 滑轮有质量或无质量；滑轮有质量或无质量； 绳子无质量或有质量。绳子无质量或有质量。32 质点从细杆底端或者中间某处，嵌入、质点从细杆底端或者中间某处，嵌入、穿过或者弹回；穿过或

23、者弹回； 细杆在竖直平面内转动，轴处有或者细杆在竖直平面内转动，轴处有或者没有摩擦。没有摩擦。 质点从细杆端点或者中间某质点从细杆端点或者中间某处，嵌入、穿过或者弹回；处，嵌入、穿过或者弹回； 细杆在水平面内转动，轴处细杆在水平面内转动，轴处（细杆与平面间）有或者没有（细杆与平面间）有或者没有摩擦。摩擦。33习题典型形式习题典型形式涉及到刚体定轴转动问题的解题切入点涉及到刚体定轴转动问题的解题切入点 1. 由运动方程求运动由运动方程求运动 (角量角量)； 2. 用转动定律用转动定律 M = I 解题；解题； 3. 根据力矩作功与转动动能关系，以及功能关根据力矩作功与转动动能关系，以及功能关系解

24、题；系解题； 4. 根据冲量矩与角动量的关系解题；根据冲量矩与角动量的关系解题； 5. 用三个守恒定律解题用三个守恒定律解题 ：动量守恒条件：动量守恒条件：F = 0，角动量守恒条件：，角动量守恒条件：M = 0，机械能守恒条件：机械能守恒条件：A外力（矩）外力（矩）+ A非保内力（矩）非保内力（矩）= 0； 6. 综合题，分清过程及其规律，联立求解。综合题，分清过程及其规律，联立求解。34 1. 一质量为一质量为 m、长为、长为 L 的均匀细棒，可在水平的均匀细棒，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的摩擦因素为与桌面的摩擦因

25、素为 ，求棒转动时受到的摩擦力，求棒转动时受到的摩擦力矩的大小矩的大小xodxx 解：解：如图，距如图，距 O 点为点为 x，长为长为 dx 的质元的质元 dm 的质量的质量ddmmxL01dd2LmgMxmgx xmgLL其所受阻力矩：其所受阻力矩：dM = x ( dm g)六、例题解析3536提示：提示：旋转过程仅重力做功，系统能量守恒旋转过程仅重力做功，系统能量守恒222211 1222(2 )2mgmgRmRMRMm R 2. 一质量均匀分布的圆盘，半径为一质量均匀分布的圆盘，半径为 R，质量为，质量为 M，可绕通过中心可绕通过中心 O 的水平轴在竖直面内旋转，如果在盘的水平轴在竖直

26、面内旋转，如果在盘的边缘钉上一质量为的边缘钉上一质量为 m 的铁块，然后在图示位置静止的铁块，然后在图示位置静止释放，当释放，当 m 到达最低位置时的角速度为到达最低位置时的角速度为2( );( ) 2;(2 )(2 )24( );()(2 )(2 )mgmgABMm RMm RmgmgCDMm RMm RmMOR 3. 一质量为一质量为 M、长为、长为 L 的均匀细棒，可绕垂直的均匀细棒，可绕垂直于杆的上端水平轴无摩擦地转动，它原来静止于平衡于杆的上端水平轴无摩擦地转动，它原来静止于平衡位置，现有一质量为位置，现有一质量为 m = M/3 弹性小球水平飞来，正弹性小球水平飞来，正好碰在杆的下

27、端，相碰后使杆从平衡位置摆动到最大好碰在杆的下端，相碰后使杆从平衡位置摆动到最大位置位置 60 处，求处，求 （1）设碰撞为弹性，试）设碰撞为弹性，试计算小球的初速计算小球的初速 V0 的值；的值； （2）碰撞过程中小球受）碰撞过程中小球受到多大的冲量。到多大的冲量。37m = 60MV0 022202111222116022(cos)mV LImVLmVImVLIMg 解：解：此问题满足角动量守恒和机此问题满足角动量守恒和机械能守恒定律。械能守恒定律。而动量不守恒。而动量不守恒。设小设小球碰撞后速度为球碰撞后速度为 V，杆角速度为杆角速度为 代入方程组解之得：代入方程组解之得： （过程略）（

28、过程略）（1 1）杆的势能以质心位置计杆的势能以质心位置计21133,mMIML032032VgLVgL 38Vm = 60MV00130632 ()MImVmVMgLgL（2）以向左为正方向）以向左为正方向冲量：冲量：小球受到的冲量方向向左。小球受到的冲量方向向左。032032VgLVgL 第（第（1）问）问已经解出：已经解出：39Vm = 60MV0 4. 一质量为一质量为 m ，半径为，半径为 r 的匀质圆柱体，从倾的匀质圆柱体，从倾角为角为 的斜面上无滑动地滚下，求其质心的斜面上无滑动地滚下，求其质心 C 的加速的加速度。（多思路解题）度。（多思路解题）222sin1CamRRmgRm

29、R23sinCga 解一解一 ：应用刚体转动定律。应用刚体转动定律。M = I 圆柱体与斜面的接触线为瞬时转动圆柱体与斜面的接触线为瞬时转动轴，产生角加速度的只有重力矩轴，产生角加速度的只有重力矩40解二解二 ：应用机械能守恒定律应用机械能守恒定律222sin11 122 2CCvmvmRmgxR2332ddsinsindd44CCCxgxgvttvv求求导导得到：得到：s2din3dCCgtva 4. 一质量为一质量为 m ，半径为，半径为 r 的匀质圆柱体，从倾的匀质圆柱体，从倾角为角为 的斜面上无滑动地滚下，求其质心的斜面上无滑动地滚下，求其质心 C 的加速的加速度。（多思路解题）度。（

30、多思路解题）41 5. 如图所示，质量为如图所示，质量为 m，长为，长为 l 的质量均匀分布的的质量均匀分布的细棒，可绕过其一端的垂直于纸面的水平光滑定轴细棒，可绕过其一端的垂直于纸面的水平光滑定轴 O 转转动如果把棒拉到水平位置后放手，棒落到竖直位置时，动如果把棒拉到水平位置后放手，棒落到竖直位置时，与放置在水平面上与放置在水平面上 A 处的质量为处的质量为 M 的静止物体做完全弹的静止物体做完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行一段距离性碰撞，物体在水平面上向右滑行一段距离 S 后停止设后停止设物体与水平面间的摩擦因数物体与水平面间的摩擦因数 处处相同求证：处处相同求证：SMmlm22)3(

31、6 证明：证明：细棒细棒OA由水平位置转到竖由水平位置转到竖直位置的过程，细棒和地球的系统，直位置的过程，细棒和地球的系统，机械能守恒机械能守恒2200131(1)22 3lgmgmll4203(1)gl226(3)m lmMS联联解解上上述述各各式式得得210(4)2MgSMv完全弹性碰撞过程，完全弹性碰撞过程，m 与与 M 的系统，的系统，角动量守恒：角动量守恒： I0 = I + M v l （2）机械能守恒：机械能守恒：2220111(3)222IIMvM 减速滑行至停止，由动能定理得：减速滑行至停止，由动能定理得：4344 6. 本题选自本题选自CUSPEA考试（考试（1981年）经典物理年）经典物理A1. 某人希望通过用棒猛击岩石而使棒折断，握在手某人希望通过用棒猛击岩石而使棒折断，握在手中的棒的一端在棒转动时不会发生滑动。此人希望当中的棒的一端在棒转动时不会发生滑动。此人希望当棒撞击岩石时手能够避免受到很大的力的作用，问应棒撞击岩石时手能够避免受到很大的力的作用，问应该用棒的哪一点去撞击岩石？该用棒的哪一点去撞击岩石？ 石块石块 解：解：设棒长度为设棒长度为 l，撞击点，撞击点距手为距手为 x，撞击力为，撞击力为 F，则，则2123CCFmalaFxml 另另外外23xl联立解出：联立解出：Fxlm1m, R 7. 一个轻质弹簧