普通高等学校统一招生高考数学试题北京卷理

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一弁交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合A1,0,1,Bx|1<x1,则APB(A)0(B)1,0(C)0,1(D)1,0,1(2)在复平面内，复数(2i)2对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C

2、)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件开始i=0,S=1S2+1 S= 2S+1否(4)执行如图所示的程序框图，输出的S值为(A)1(B)3(D)610987(C)21(5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y关于y轴对称，则f(x)(A)ex1(B)ex1(C)ex1(D)ex12(6)若双曲线与21的离心率为志,则其渐近线方程为ab(A)y2x(B)y区(C)y2x(D)y夸x(7)直线l过抛物线C:x24y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(A)4(B)ex1(C)8(D)噜3332xy10,(8)设关于x,y的不等式组xm0,表示的平面区域内存在点

3、ym0P(x0,y。)，满足入2y02,求得m的取值范围是(A)(,3)(B)(,3)(C)(,2(D)(,令33332第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)在极坐标中，点(2用)到直线sin2的距离等于.(10)若等比数列为满足a?a420,83a§40,则公比q；前n项和Sn.(11)如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA3,PD:DB9:16,贝fjPD,AB.14(12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是.(13)向量a

4、,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若a b c ( , R),贝U 一(14)如图，在棱长为2的正方体ABCDABCD中，E为BC的中点,点P在线段DiE上，点P到直线CG的距离的最小值为三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)(本小题共13分)在ABC中，a3,b2品,B2A.(I)求cosA的值；()求c的值.(16)(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，弁停留2天.空气质量指数(I)求此人

5、到达当日空气重度污染的概率；(n)设x是此人停留期间空气质量优良的天数，求x的分布列与数学期望；(田)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大(结论不要求证明)(17)(本小题共14分)如图，在三棱柱ABCAB1C1中，AACiC是边长为4的正方形.平面ABC平面AACiC(I),AB 3 , BC 5 .求证：AA 平面ABC ;(n)求二面角A BCi Bi的余弦值;(田)证明：在线段 BG上存在点D, 弁求果的值.BCi(18)(本小题共13分)设i为曲线C：y号在点(1,。)处的切线.x(I)求l的方程；(II)证明：除切点(1,。)之外，曲线C在直线l的下方.(19)(本小题

6、共14分)2已知A,B,C是椭圆W:土y21上的三个点，O是坐标原点.4(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；()当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，弁说明理由.(20)(本小题共13分)已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为入，第n项之后各项ani，an2,的最小值记为Bn,dnABn.(I)若an为2,1,4,321,4,3，是一个周期为4的数列(即对任意nN，an4an)，写出d1,d2,d3,d4的值；(n)设d是非负整数，证明：dnd(n1,2,3,)的充分必要条件为an是公差为d的等差数列；(田)证明：若ai2

7、,dn1(n1,2,3,)，则小的项只能是1或者2,且有无穷多项为1绝密考试结束前土、斗2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题共'小题，每小建5分，共M分）< I ) B(5) DC2) D(6) B(3)(7)(4) C(8)C二.填空题（共6小邈，每小题5分，共30分）(9) 1(11)-(12；96(14)三、解答题共6小建,叁即分）（15）（共13分）解；【）因为A=36 = 用，/E二2/，所以在4SC中,由正弦定理得sin A sin 2 A所以sin A(II)由，I)知cos/，所以sm4=,/1*-cos2A-33又因为&#

8、163;8=月,所以88日w/.!=!.所以5由右=V)-cos2B=打2.3在白月&匚中.sinC-sinf-rB)-sin/cos#tcos/4sinB一5G9所以,=南£sinA：16)(共13分)7Ir'1BI.iyJ，d.r一解士设4系示那件“此人f3JIt1【到达修山"二)2.HL程据题意，打4厂巳,11.J=0<；/jJ.'!9"'厂1"B.q.J,(1)设2为现件“此人到达飞日空气加收污染”则-/LU4.所以P(H)=P(4U4)=例MJ+P(AJ=£产'.，£,-71%，

9、、一1M*<n)由题意可知，丫的所有可能收m为dj,2,H片=1)二汽4U/U，；U4Ji«二：'.一i“=网心+凡4)+户储1+用4j=A,汽4=2)=，(/U4U4JJ4J4小=汽”4/”+尸(43/4仆=片LJF(Ar0)=l-P(X=l)-/?(X=2)=*131历以*的分布列为工*X012P554131±13故片的期望£*=0*£+1义4叶2算4二”.13131J13(ffl)从3月5日开始连发三天的空气质量指数方差量大.17）（共14分）/:C.胤（打闲为倒手为正好所"'港打于这两个平面的交线证，因为平耐硬，平

10、面”早，1所以4/J平而HBG（H）由41如必¥；*-4所父3彳自由原知标=3，3CT,所如图,以"糜点建立轲直角曲系於w产小，空？w训器曹;设平面4明的法曲11为"白记"wJn-AtB=iM,46=0向-4w=0.4x=0.令2=3，MJx-OrJ*=4i所以，=34.3>同奥可得，平面&FG的法向盘为附二（340）.、,*'-"'-q-X-*“IKF6所以CO3（ff,ffl）.,-*|m|m|25由题知二面角4-8cl-4为锐加，1 &斫以二面角力-g二七的余弦位为我£（口1）设分（卷乂工）

11、是直线力G上点,1届二4届.所以行,产一3芦）="4一3.4）.二ir,.-<«-'-：1,-豺褥>44尸="也”4九一麻以石=（4人3-猛4小由茄，彳方三Oi即9-252,0,产冷q一4解得h2.4吧吗后也小所以作线段的上存在宜P便型31d艮.，25此时粉呜18）供13分）£静涵i葡:悒$；.殉而厚$一耨汛忘In1''J"1-Iriy-*1设/（加（则"”号所L朝匕确程为yA邺恒*"色朋"（ID令附=Z阳,则除切点之外，曲线C在任。的卜方等价于“侨0（心力性精），“都冷电蒸你g

12、（x潜足则=（h且漪曲亦1-f心阵空，«为Wi；3，心3，JT=*4启当卜:隔心HO,Mx0,所以而）0|一则单一递当C1Llnx0,所以雇工）0i故虱工）单调谢t；雨:恨5考演"隔4rfi乩七漫、晒m&L7,州J/.人士什-hliJik','X：瞅，g（x）g（l）=o（Vx0,"1）.豳除切点之外，触C在直线L的下方.X出立立市V删：秆。5."f.Fl业、牌'，,19(共4分)限,:温片房蒜赢加加因为电形。血为费取所以相互垂N%I脚谡人心«两。工.&it，»聚；&*fifl所以可即。

13、,二代入椭财幽$31,即掰瘢度形0A3C螂稿词。叫,I'g；£Z?M所以可设/C的方程为(It)假设四边形。NBC为菱形”:因为点3不是，迪点，且四HC不过笋，1,帮.帮审厂,/);，“*，河内，：方、：4*L-1.4"，1-r-cI./*1+m,例撼否捎y井抠理得''卜足0+4A1*+触明工+4/-4ro.设3i中卜C曲X)，则东粕出占吉4.M+h_上OF1+4必,2vm-2】+4工厮以4G的中点为m(-楞%,1治叱一小-*I+*1*4*M困为时为和。百的文点，所以直线CB的斜率为一-4k鼾吃出兀若i：/，.£仁心商为*w-1：所以AC与狈水金克一伙段:然C不是夔取频设矛盾%ji%>.-v1-.厮以当点。不是力的顶点时，四边形0/I5C不可能是菱形.（【I）'充分性网为忆）从公彳为d的警彳却巩a-（./fU/af-%小期排4产力,&-”而！必明（必要性J闪为二-ddL.2C，J的厂l,2.h.所以（比*H.*1'*图又因为*三4，%,炉乩,；,，：7'二所以%w%,一于是,4=%，9产因此0”|一。产R*力-=dIIfWwf/上T打房孝t砥H:*一即%是公若为才的等第效刖,（山）因为。产2,d=1i所以/产生=2.fi（=zfj-（Zt-1故对任旅博I,明一凡二I.