三角形“四心”的向量表示(教师上课用)

1、三角形三角形“四心四心”的向量表的向量表示示 湖南省示范性（重点）中学湖南省示范性（重点）中学 洞口一中曾维勇洞口一中曾维勇一、一、 外心外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心外心。 证明外心定理证明外心定理证明证明: 设设AB、BC的中垂线交于点的中垂线交于点O， 则有则有OA=OB=OC， 故故O也在也在AC的中垂线上，的中垂线上， 因为因为O到三顶点的距离相等，到三顶点的距离相等， 故点故点O是是ABC外接圆的圆心外接圆的圆心 因而称为外心因而称为外心OO点评：

2、点评：本题将本题将平面向量平面向量模的定义与模的定义与三角形三角形外心外心 的定义及性质等相关知识巧妙结合。的定义及性质等相关知识巧妙结合。OABCOABC到到的三顶点距离相等。的三顶点距离相等。故故 是是解析：解析：由向量模的定义知由向量模的定义知的外心的外心 ，选，选B。ABC O是是的外心的外心OABCOAOBOC OABC若若 为为内一点，内一点，则则 是是 的（的（ ） A内心内心 B外心外心 C垂心垂心 D重心重心222OAOBOCOAOBOC ()()()OAOBABOBOCBCOCOA CA 0B 二、垂心二、垂心ABCABCABC三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的三角

3、形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心垂心。DEF证明证明: AD、BE、CF为为ABC三条高，三条高， 过点过点A、B、C分别作对边的平行线分别作对边的平行线 相交成相交成ABC，AD为为BC 的中垂线；同理的中垂线；同理BE、CF也分别为也分别为 AC、AB的中垂线，的中垂线， 由外心定理，它们交于一点，由外心定理，它们交于一点， 命题得证命题得证证明垂心定理证明垂心定理ABC例例1如图，如图，AD、BE、CF是是ABC的三条高，的三条高， 求证：求证：AD、BE、CF相交于一点。相交于一点。ABCDEFH,BHAC CHAB ()0()()()0.()0h a bh a bh b a

4、h b ah b a .AHBC 又又点点D在在AH的延长线上，的延长线上，AD、BE、CF相交于一点相交于一点 ,ABa ACb AHh 令,BHh a CHh b BCb a 则证：证：设设BE、CF交于一点交于一点H， 垂心垂心ABCO,:,.OAa OBb OCcBCcb CAab ABba 则证：设证：设例例2已知已知O为为ABC所在平面内一点，且满足所在平面内一点，且满足:,.ABOC BCOA CAOB 求证：求证：222222| .OABCOBCAOCAB 化简：化简：222222:| .OABCOBCAOCAB 由题设222222()()()ac bba ccb a 同理：同

5、理：,.BCOA CAOB ()0,AB OCbacb ca c 从而从而:c ba cb a 得.ABOC 垂心垂心ABC OAOCOCOBOBOA 1.O是是的垂心的垂心2.()|cos|cosABACABBACC 0,)是是ABC的边的边BC的高的高AD上的任意向量，过垂心上的任意向量，过垂心.12例例3 O是平面上一定点，是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，是平面上不共线的三个点， 动点动点 P 满足满足(),|cos|cosABACOPOAABBACC ()|cos|cos|cos|cosABACBC ABBC ACBCABBACCABBACC | |cos() | |

6、cos| | 0|cos|cosBCABBBCACCBCBCABBACC ()|cos|cosABACBCABBACC ()|cos|cosABACABBACC ()|cos|cosABACOPOAABBACC 则则P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的的 _ 在在ABC的边的边BC的高的高AD上上.P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的的垂心垂心.所以，所以，时，时，解解:OCOBOBOA解解: 例例4.（2005全国全国）点点O是是ABC所在平面上一点，所在平面上一点， 若若 ， 则点则点O是是ABC的（的（ ）（A）三个内角的角平分线的交点）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分

7、线的交点）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点）三条中线的交点（D）三条高线的交点）三条高线的交点OAOCOCOBOBOA0)(OCOAOB0CAOBCAOB则则O在在CA边的高线上边的高线上,同理可得同理可得O在在CB边的高线上边的高线上.DOCBA 垂心垂心 5. (2005湖南湖南) P是是ABC所在平面上一点，若所在平面上一点，若 则则P是是ABC的（的（ ） A外心外心B内心内心C重心重心D垂心垂心,PA PBPB PCPC PA D设中线BE,CF交于点G,连结EF, 则EF/BC,且EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2. 同理中线AD,BE交于G ,连结DE,则: DE/AB,且EG :G B=DG :G A