多元微分偏导微分PPT课件

1、一.复数内容:1.域的扩充2.复数的定义,复数域3.复数实部,虚部,模,共轭复数4.复数的四种表示5.复数的运算(四则运算，复数的方根)6.圆的复数方程第1页/共72页fGxoy通过映射通过映射上的平面区域上的平面区域复平面复平面二.复变函数1.复变定义2.复变函数几何意义*Guov上的区域上的区域变成了复平面变成了复平面第2页/共72页下的象下的象讨论下列曲线在讨论下列曲线在例例2)(.zzfw21222 ,) 1 (cxycyx2)Re(1)2(z第3页/共72页多元函数微分学习题课第4页/共72页内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在

2、函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)第5页/共72页内容小结内容小结3. 微分定义:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx4. 重要关系:)( o函数可导函数可微偏导数连续函数连续方向导数存在第6页/共72页内容小结内容小结5. 复合函数求导的链式法则例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f26. 全微分形式不变性, ),(vufz 对

3、不论 u , v 是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d第7页/共72页内容小结内容小结1. 隐函数存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 代公式思考与练习设, ),(zyxzyxfz求.,yxzxxz第8页/共72页函数),(yxfz 在),(00yx可微的充分条件是( );),(),()(00连续在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在的某邻域内存在 ;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx当时是无穷小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)(

4、)(22yx当时是无穷小量 .1. D一.选择题第9页/共72页2.第10页/共72页3.第11页/共72页4.第12页/共72页5.第13页/共72页二.偏导,全微分问题23第14页/共72页4.第15页/共72页222,xzyxz56第16页/共72页,)(xuuf设, )(ufz 方程)(uuxytdtp )(确定 u 是 x , y 的函数 ,)(, )(可微其中uuf)(),(utp连续, 且, 1)( u求.)()(yzxpxzyp解:xzyuufyz)(xuuxu)()(xpyuuyu)()(ypxu)(1)(uxpyu)(1)(uyp)(uf yzxpxzyp)()(yuxpx

5、uyp)()(07.第17页/共72页内容小结内容小结1. 方向导数 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数 ),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为yfxfcossin第18页/共72页2. 梯度 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(gradyxfyxffyx 函数在某点处方向导数的最大，最小值问题 第19页/共72页1三.方向导数,梯度问题第20页/共

6、72页3最小，最小值为4第21页/共72页1. 空间曲线的切线与法平面 切线方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量内容小结内容小结)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(000tttT第22页/共72页空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隐式情况 .的法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面

7、方程2. 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线线),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx第23页/共72页空间光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx2) 显式情况显式情况.法向量) 1 ,(yxffn第24页/共72页多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用1.在几何中的应用求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消

8、元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题(求区域内部的驻点和边界上可能的极值点)第25页/共72页1四. 几何应用问题228(2,2,1)xyzz求求曲曲面面上上的的切切平平面面和和法法线方程第26页/共72页43第27页/共72页五.多元极值应用1.2.第28页/共72页3.22yxz求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：2261zyxd设为抛物面上任一点， 则 P ),(zyxP22yxz的距离为022zyx问题归结为22)22(zyxd约束条件:022zyx目标函数:22 zyx作拉氏函数)()22(),(222yxzzyxzyxF到平面第29页/共72页)()22(),(222yxzzy

9、xzyxF.81,41,41zyx令22zxy解此方程组得唯一驻点02)22(2yzyxFy0)2)(22(2zyxFz02)22(2xzyxFx由实际意义最小值存在 ,241414161mind647故第30页/共72页为边的面积最大的四边形 ,试列出其目标函数和约束条件 ?提示: sin21sin21dcbaS)0,0(目标函数 :cos2cos22222dcdcbaba约束条件 :dcba,abcd答案:,即四边形内接于圆时面积最大 .4. 求平面上以第31页/共72页5. 求半径为求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大的圆的内接三角形中面积最大者者.解: 设内接三角形各边所对的圆心角为

10、 x , y , z ,则,2zyxzyx所对应的三角形面积为)sinsin(sin212zyxRS0,0,0zyx设拉氏函数)2(sinsinsinzyxzyxF解方程组0cosx, 得32zyx故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz02zyx第32页/共72页已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆圆周上求一点 C, 使ABC 面积 S最大.CBAoyxED)0, 0(14922yxyx6.第33页/共72页第34页/共72页第35页/共72页第36页/共72页第37页/共72页第38页/共72页第39页/共72页第40页/共72页第41页/共72页第42页/共72页第43页/共72页第44页/共72页第45页/共72页第46页/共72页第47页/共72页第48页/共72页第49页/共72页第50页/共72页第51页/共72页第52页/共72页第53页/共72页第54页/共72页第55页