探究抛物线的隐含性质(于涵定理)

1、探索“抛物线”的几何性质（于涵定理）-临海市杜桥实验中学徐君斌一、以小见大，培育探究精神1. 如图，抛物线() 与x轴交于点A(，)，B(，)，与y轴y ax bx c a交于点 C(，) ，则该抛物线的解析式为.2. 解题后探究：(1) 猜想：上题中， | a | ， OA， OB， OC存在某种关系，该关系可以表示为：OC，| a |.(2) 论证：若抛物线() 与 x轴交于点A，)， B( x，)，y ax bx c a( x与 y 轴交于点 C (， c) ，求证： ca x x .3. 简单应用：(1)抛物线() 与x轴交于点A(，)，B(，)，与y轴交y ax bx c a于点C(

2、 ，) ，则该抛物线的解析式为；(2)抛物线() 与x轴交于点A( -，)，B(，)，与y轴y ax bx c a交于点 C ，且ACBo ，则该抛物线的解析式为.二、进一步探究 ( 特殊一般 ) ：1. 如图，抛物线 y -( x )( x) 与 x轴交于点 A， B，与 y 轴交于点 C ，点 P 在 A，B之间的抛物线上运动.(1)P 的横坐标为时，比较大小：PQ| a| AQ BQ；(2)P 的横坐标为mPQ| a| AQ BQ时，比较大小：；(3)当 PAQo 时， BQ. (PAQo 呢？ )2. 如图，抛物线 y-( x -)( x) 与 x 轴交于点 A， B，与 y 轴交于点

3、 C ， CD x 轴交抛物线于另一点D ，AECD轴于点 E， P为CDPQ CD上方的抛物线上任意一点，于点 Q.(1) 比较大小：(2) 比较大小：AE| a| CE DE；PQ| a| CQ DQ；(3)当PCQo 时， DQ.3. 如图，抛物线y -( x - )( x)与x轴交于点 A， B，与y轴交于点C， P 为BC上方PQy轴，CQPQQ，PQx轴，BC.的抛物线上一点，于点分别交于点D，E请通过特殊点进行探究，并选出一个正确的式子（）A.PE| a| CE BEB. PE| a| CQ BDC. PQ| a| CQ BDD.PQ| a| CE BE4. 如图， P(p， a

4、p ) ， M ( m， am ) ，N ( n， an) 均在抛物线 yax 上， Q 在 MN，PQy轴，过点 M ，N分别作MBPQ NAPQ请完成以下探究过程：且，.(1) 请选取字母 a， p ， m， n表示下列各边长：MB；AN； AB； PB；(2)MBQMB由NAQ可得， BQAB，化简得：MBANBQ；(3)PQ PBBQ；5. 归纳总结：三、小试牛刀：1.(2006 ·河南压轴题改编 ) 如图，是二次函数 yx 的图象，过点 M (， ) 的直线交抛物线于点 A， B，过点 A， B分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C， D.则当点 A在抛物线上运动时(点 A不与

5、原点O重合)，请探究的值ACBD .(1)当点 A横坐标为 -时，则 AC BD的值为；(2) 随着点 A位置的变化， AC BD是否定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由 .2. 如图，点 A在二次函数 y - xx 图象的第三象限部分运动，直线AB x 轴，且交抛物线于点 B，将直线 AB绕点 A逆时针旋转o 交抛物线于点C，交于BD ABAC点 D ，CH于点 H.BD(1) 当点 A横坐标为 - 时，则 CH；(2) 随着点 A横坐标由大变小， CH的长度 ( )A.由大变小B.由小变大C. 不变D.先变大后变小(3)若将题中条件“旋转o ”改为“旋转o ”，但保证ACC

6、H(用“ ”表示 ).与抛物线有交点，则3. 如图，抛物线 y-( x -)( x) 与x轴交于点 A， B，与y轴交于点C， P 为上方BC的抛物线上一点，PQy轴交BCQ，设点 P 横坐标为m.于点探究：当 m为何值时，PQ长度取得最大值？四、探究抛物线的“内接直角三角形”：1. 如图，将直角三角板的直角顶点置于原点，两直角边与抛物线yax交于A， B两点 .(1) 如图1，当OA时，也有OB，则a；(2) 对于同一抛物线，将三角板绕点 O旋转（如图 2），分别作 AE x轴， BF x 轴，AB与 y 轴交于点 P ，且测得 OF . OE；点 P的坐标为；(3)探究：在上题中，改变三角

7、板位置（设OFn），点 P的坐标是否发生变化？(4)猜想点 P 的坐标与 a的关系 .2. 如图， P( p， ap ) ， M ( m， am ) ， N ( n， an ) 均在抛物线yax 上，且PMN是以 P 为直角顶点的直角三角形.(1) 通过图 1 的探究，我们猜想：斜边MN定点（填“经过”或“不经过”）；(2) 如图 2，通过构造“一线三等角”进行探究：由可得， MCPCMPCPND，选取字母 a ， p， m， n 表示该比例式：PDND，化简得 a；由于涵定理可得（选取字母a ， p ， m， n表示）：PQ；P' Q'；(3) 综合 (1) 、(2)的探究结

8、果，发现PQP' Q' 中，的长度是定值，因此斜边与MN（填“经过”或“不经过” ）定点（填“ Q ”或“ Q' ”），且该定点的坐标可用a， p表示为.3. 反思：上述探究的意义何在？五、秒杀难题1.(2014 ·武汉压轴题改编 ) 如图，已知直线AB： y kxk与抛物线 yx 交于A， B两点 .(1)直线 AB总经过一个定点 C ，点 C 的坐标为；(2)若抛物线上存在定点D ，使ADBo ，求点D到直线的最大距离.AB2. 如图，抛物线y x - x交 x 轴于点 A， B，BACo，且射线AC与抛物线交于点 C ，点 M 在抛物线上运动.(1) 若

9、点 M 在第三象限运动，求ACM面积的最大值；(2) 当 AMCo 时 .过点 M 作 x 轴的平行线，交抛物线于点M' ，则ACM' 的面积为；求点 M 的坐标 .3.(2016 ·武汉压轴题改编) 如图抛物线yaxc 交 x轴于点 A， B，顶点为 C ，点 P 为抛物线上一动点，且位于x 轴下方 .(1) 若点 P( ，) ， B( ， ) 时，求该抛物线解析式；(2) 若直线 AP， BP，分别交 y 轴于点 E ， F ，试探究 OE OF是否定值？若是，请用 c表示；若不是，请说明理由 .4. 如图，抛物线yxx交 x轴于点 A，顶点为 M ， MPx 轴

10、于点 P ， C 为对称轴右侧，第一象限内的抛物线上一动点，连接PC交抛物线于点D .(1) 求点 P的坐标；(2) 求证： xC xD 为定值；(3) 直线 BP，分别交 y 轴于点 E ， F ，试探究 OE OF是否定值？若是，请用 c表示；若不是，请说明理由 .5. 如图，已知抛物线yaxx 过点 C(，).(1) 求抛物线的解析式；(2) A为点 C 左侧抛物线上一动点，直线AC交直线 yx于点 P ，过点 P 作 y 轴平行线交抛物线于点B，连接 AB，求证： AB恒过定点；(3) 在 (2) 的条件下，当 A运动时 . 求 C到直线 AB的距离的最大值；求 ABC面积的最小值 .六、反思：1. 留有遗憾：虽然已经解决了ACM为直角三角形时，直角顶点 M 的坐标问题；但