幂指函数的性质及应用

1、摘 要幂指函数是一类重要的函数，但在教材中涉及幂指函数的内容非常有限，系统的研究幂指函数的性质及应用是非常有必要的。本文先利用微积分的相关知识论述幂指函数的分析性质；再用这些性质研究两个特殊的幂指函数；最后探讨幂指函数的性质在求极限、导数、微分和积分等问题中的应用。关键词:幂指函数；极限；导数；微分；积分AbstractExponential function is a kind of important function, but the content of the exponential function involved in the teaching material is very

2、 limited, the exponential function of the nature of the research and application of system is very necessary. This paper, using relevant knowledge of calculus, first analysis the power properties; With these two special properties research of exponential function; Finally discusses the nature of the

3、 exponential function limit, derivative, differential and integral application problems.Key words: Power exponent function; Limit; Derivative; Differential; Integral目 录1 引 言12 预备知识13 幂指函数的性质33.1 极限性质33.2 导数性质63.3 微分性质83.4 积分性质94 幂指函数性质的应用94.1 在研究特殊幂指函数中的应用94.2 在解题中的应用114.2.1求极限114.2.2 求导数134.2.3 求微分

4、144.2.4 求积分145 结 论15致 谢15参 考 文 献15幂指函数的性质及应用1 引 言在数学发展的历史进程中，数学概念的发展对数学的发展起至关重要的作用，而函数概念的发展更是数学概念发展不可缺少的一部分。回顾函数概念被世界各个研究者不断的精化、丰富，是一件令人十分惊喜的事，它不仅让人更深刻的了解数学的专业知识，也让世人感受到数学文化的博大精深，对数学有了更多的好奇和兴趣。数学函数分类精准，而幂指函数就是所有函数中的一种，它是函数概念不断被精化提炼的结晶。它既不是幂函数，也不是指数函数，但它却兼有两者的特点。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。它的产生更进一步说明了数学函

5、数的发展和进步。 幂指函数是一类重要的函数，它的一些知识在其他教材、资料以及近年来研究生入学考试中经常出现，但是在我们所学过的数学分析教材中涉及的内容又非常有限，仅给出幂指函数的一些定义和求导公式。所以对它对进一步的了解和探讨是非常有必要的。由于幂指函数的独特性，在其求极限、导数、微分和积分等问题时显得比较复杂。本文将主要讨论幂指函数的几个分析性质，并利用幂指函数的性质来解决一些问题，使问题化繁为简。2 预备知识由于幂指函数问题在高等数学学习过程中比较容易出错，是学生学习的一个难点，为此我们有必要对幂指函数做进一步研究。为了更容易理解本文所涉及到的定义、定理及引理，下文将这些知识先做一个交代，

6、并对于比较难以理解的定理、引理做进一步的证明。这些定义、定理和引理对研究幂指函数的极限性质、导数性质、微分性质、积分性质将起到一定的作用。定义1 设两个函数和的定义域为，形如的函数，称为定义在区域上的幂指函数。引理1 若，在点连续，则.注 此引理对，以及都成立.引理2 设在的领域内和连续，且，当时，,则有引理3 设在的领域内和连续，且，当时，则有证明 因为当时，即.又因为而代入原式，得：.引理4 （等价无穷小代换定理）设，且，则.注 （1）此引理可以等价地描述为设，其中在附近不为0，则1）如果存在，则也存在，且.2）如果，则.（2）此引理说明等价代换不改变极限的存在性和极限值.引理5 设均为某

7、变化过程中的无穷小。若，则.3 幂指函数的性质3.1 极限性质对于幂指函数的极限问题，可以把式的极限转化为，即型，视具体情况转化为型、型和型，因此有定理1 幂指函数的极限（）存在的充要条件为极限存在，且当时，。注1 若极限值型如时，A为实数并可取并且下面即对幂指函数的极限类型进行讨论：情形1（型） 当为型时，=为型，若,且，则由引理5知，所以=为。又由定理1可得。于是有引理6（等价无穷小代换） 假设和，均为某变化过程中的无穷小。若，并且=A,则有=A。引理6表明：=A时，中的,均可由无穷等价无穷小，代换。由于无穷小与自身等价，所以有以下推论推论1 假设和均为某变化过程中的无穷小。若，并且=A，

8、则有=A 。推论2 假设>0，和，均为某变化过程中的无穷小。若，并且=A，则有=A 。推论1和推论2表明：=A或=A时，可对中的部分等价无穷代换。情形2（型） 当幂指函数（）极限类型为型时，可以表示为，其中，为某变化过程中的无穷小。因=，其中为型，由引理6可得相应的平行引理7。引理7（等价无穷小代换） 假设和，均为某变化过程中的无穷小。若，并且=A，则有=A 。情形3（型） 幂指函数（）极限类型为型时，可表示为，其中为某变化过程中的无穷小，因，故由和推论2可得=。类似引理6的推导方法，可将引理4推广到幂指函数的型中去，即有引理6的平行引理8。引理8（等价无穷小代数） 设和，均为某变化过程

9、中的无穷小。若，且=B其中，则。注2 因条件=B与等价，所以时，=B。情形4（幂指型不定式） 假设，和，均为某变化过程中的无穷小，分别用，来表示幂指函数型，型，型极限，并且由引理1可得定理2 若，则.证明 利用引理1证明设，则，在连续.所以.注3 此定理对，以及都成立.定理3(洛必达法则) 设和均为某变化过程中的无穷小，且和可微。（i）对于幂指不定式型，型，若，则=，；（ii）对于幂指函数不定式型，若=A，则有=。3.2 导数性质 对于幂指函数（），在高等数学学习过程中涉及最多的就是求导问题。在我们所学过的数学分析教材中一般使用的是求对数的求导方法，但学生常常会把幂指函数和幂函数、指数函数混淆

10、，因此在求导时经常会使用幂函数或指数函数的求导公式来计算幂指函数问题，导致得到错误的计算结果。为此，本文将给出四种方法，即指数函数求导法、取对数求导法、多元函数微分法、叠加法来加深对求导的认识，避免犯错。1、指数函数求导法定理4 设和均可微，那么幂指函数=的导数等于将视为幂函数求导与将视为指数函数求导的和.即.证明 =.又，.2、多元函数微分法从多元函数微分法的角度出发，根据多元复合函数的微分法则求导。令，而中间变量依赖于同一个变量，即，。根据二元复合函数的微分公式有=3、取对数求导法先在等式的两边取对数，有。再利用隐函数求导法在两边同时对自变量求导，有。在等式左边，注意到是的函数，要应用复合

11、函数的求导法则，然后从等式中解出导数，并带回，便可得到最终结果证明 对两边取对数得 两边再对求导得= ，故有 ，即。4 叠加法幂指函数求导时，将幂指函数分别视为指数函数和幂函数的求导，再把两个求导结果相加。即先将幂指函数视为指数函数，利用指数函数的导数公式，有= （1）再将幂指函数视为幂函数，利用幂函数的导数公式，有=（2）然后由（1）、（2）叠加，即得到如下结论：=+ （3）也就得到以下的定理5.定理5 幂指函数的导数是将幂指函数分别视为指数函数、幂函数的导数的叠加。即=+ 3.3 微分性质幂指函数的微分性质是高等数学学习中的一个重要知识点，求一元幂指函数的微分是一个难点，也是一个容易错的知

12、识点。因此下面我们先建立一个求一元幂指函数的一阶微分的一般公式，再将它推广到二阶甚至是n阶的情形。定理6 一元幂指函数（其中均为可微函数）的微分公式为：证明： 定理6的结论可以推广到二阶以及n阶微分的情形，推广情形请见下面 .证明 3.4 积分性质幂指函数的积分性质在高等数学的学习中并没有做过多具体的研究，只是在一些考研习题中可能涉及到。对于幂指函数积分性质是幂指函数学习中的一个难点。本文将对幂指函数的积分性质做进一步的分析，加以练习理解，这样对幂指函数的研究才能更加的完整和全面。由定理5可得对这个等式两边进行积分，有这样就能得到幂指函数的积分定理如下：定理7 若均为可微函数，且，则：，其中为

13、任意常数.证明 因为均为可微函数，且.所以 其中为任意常数.4 幂指函数性质的应用4.1 在研究特殊幂指函数中的应用例1 研究函数的性质。解：（1）定义域：显然。 （2）奇偶性：因为定义域是，所以无奇偶性可言。 （3）单调性：由定理5，。令，得。当时，函数单调递减；当时，函数单调递增。（4）极值：在处，函数取得极小值。（5）凹凸性：，所以函数是下凹的。 用几何画板画出函数的图像如图1所示。oxy图1例2 研究函数的性质. 解：（1）定义域：显然。 （2）奇偶性：因为定义域是，所以无奇偶性可言。 （3）水平渐近线：，所以为水平渐近线。 （4）单调性：由定理5，。令，得。当时，函数单调递增；当时，

14、函数单调递减。（5）极值：在处，函数取得极大值。（6）凹凸性：。令，得或。当时，函数下凹；当时，函数上凸；当时，函数下凹。 （7）拐点：函数有两个拐点和。 用几何画板画出函数的图像如图2所示。Oyx图24.2 在解题中的应用幂指函数在高等数学所出现的例题和习题都非常的少，但在考研中却又经常涉及到，所以对幂指函数的题型进行研究是非常有必要的。本文将主要用幂指函数的性质来解决所碰到的幂指函数的题型，从而做一个归纳总结，使学习者对幂指函数的题型有一个解决的方向。 4.2.1 求极限例3 求 （型）的极限。解：时，=，又=0，所以洛必达法则得原式=1例4 求 （型）的极限。解：时，=例5 求（型）的极

15、限。解：因为=1>0,所以由定理1有：例6 （2004年考研） 。解：时，=这是一题有关型的求极限题型，幂指函数极限的型可表示为，其中。解题时可将转化为=，就可轻易解决。在遇到其他题型时，也可应用幂指函数的极限性质解决。例7 （2013年考研）已知极限，其中k，c为常数，且，则（ ）A. B. C. D. 答案（D）解：用洛必达法则因此，即4.2.2 求导数例8 设，求。解：根据定理5，可以将幂指函数分别看成指数函数、幂函数求导，再相加。= = =例9 设，求。解：令，则。由微分公式可得 。例10 设=，求。解：两边取对数得，两边再对求导得=，故有，即。例8运用的是叠加法，例9运用的是多

16、元函数微分法，叠加法可以根据定理5；解决多元微分法可以根据微分公式；例10运用的是取对数求导法，运用取对数求导法时可以先在两边取对数，再利用隐函数求导法两边求导；也可以运用指数函数求导法，一般是应用定理5.4.2.3 求微分例12 设，求.解： 由定理6得：. .解决一元幂指函数一阶、二阶及多阶微分时，可以应用微分的定理6及其推广公式。4.2.4 求积分下面例题是利用定理7求积分的公式：，（为任意常数）来解决。例13 求下列不定积分（1） (2) 解：（1）=（是常数） （2）=+（为任意常数）5 结 论本文主要讨论了幂指函数极限、导数、微分和积分的一些性质,了解这些性质有利于我们对幂指函数这一类特殊的函数进行更进一步的学习与研究。本文在研究幂指函数的性质的同时，我们通过列举一些具体的例子来计算幂指函数的极限，导数，微分以及积分，以加深对性质的理解。由于近年还有涉及幂指函数的一些考研题，所以在此一并做了一些探讨，对于以后的考研学生可能会有一些帮助。特别是利用幂指函数的性质来讨论两个特殊的幂指函数，这样做能加深对幂指函数的学习