第一讲二重积分三重积分ppt课件

1、二重积分、三重积分 、曲线积分、曲面积分的题型和分值分布二重积分三重积分第一类曲线积分第二类曲线积分第一类曲面积分第二类曲面积分总和2019104142019114152019441018200944410222019941320194410182019412143020191215272019441220第九章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 二、二重积分的性质二、二重积分的性质 第一节一、二重积分的定义与可积性一、二重积分的定义与可积性 三、二重积分的应用三、二重积分的应用 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二

2、重积分的概念与性质 第九章 DyxfVd),(曲顶柱体体积:DyxMd),(平面薄板的质量:一定义 假如 在D上可积,),(yxf.dd),(DyxyxfDyxyxfdd),(Dyxyxdd),(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、二重积分的性质二、二重积分的性质Dyxfkd),(. 1( k 为常数)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 为D 的面积, 那么 ),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 特别, 由于)

3、,(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(那么Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为 ,MyxfmDd),(则有机动 目录 上页 下页 返回 完毕 7.(二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使连续,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 8.二重积分的对称性定理（1如果积分区域D关于x轴对称，f(x,y) 为y的奇偶函数，那么x10, ( , )( , )2( , )( , )DDf x yyf x y df x y df x

4、 yy关于 为奇函数，关于 为偶函数(,)(,)Dfxy dfd (2)如果积分区域D关于y轴对称，f(x,y) 为x的奇偶函数，n(3)轮换对称性：( ,)(,)xyDDyxfx y dfy x d10, ( , )( , )2( , )( , )DDf x yf x y df x y df x y关于x为奇函数，关于x为偶函数（4如果积分区域D关于直线y=x对称，那么0,( ,)( , )( ,)2( ,)( ,)( , )DDf x yfy xf x y df x y df x yfy x ，(5)如果积分区域D关于原点对称，关于原点对称的两部分为12DD和10, ( ,)( , )(

5、, )2( , )( ,)()DDfx yf x yf x y df x y dfx yf x ， y111cos sin(cos sin )DDDxydxdyxydxdyxyxy dxdy(A)2 (B)2 (C)4 (D) 011. 91- -(cos sin )DDxyxy dxdy（ ）设D是平面上以（1,1）（1,1）（1， 1）为顶点的三角形区域，D 是 在第一象限的部分，则等于（ ）2222()Dxyab2（94）计算dxdy 2222122222:,0,:,0,0,0,xyzRzxyzRxyz3.(00)正确的是：（ ）12().4Axdvxdv12( ).4Bydvydv12

6、( ).4Czdvzdv12( ).4Dxyzdvxyzdv2215.(05)cos.DIxy d222cos()DIxy d2223cos()DIxyd321( ).A III123().B III213().C III312()D III221cosDIxy d22(,)1Dxyxy 144.(09)1,1cos,maxkkkkkDxyDIyxdxdyI 区域（x.y）被对角线划分成四个区域（k=1,2,3.4）,则22206.(90)yxdx edy交换积分次序01127.(01)( , )ydyf x y dx交换积分次序101108.(95)()0,1()()().xfxfx dxA

7、dxfxfy dy设在上 连 续 ， 且，求14009.(06)( , )( cos , sin )f x ydf rrrdr设是连续函数，下列积分化为直角坐标下的积分为22max,10.(02),( , ) 01,01x yDedxdy Dx yxy 计算2211.(06)1,( , ) 01,01DxydDx yxy计算2222112.(06),( , )1,01DxydxdyDx y xyxxy计算真题研讨( ,) 01, 01( ,)DxyDdxdyx yxyxy fx y dxdy13.(11)已 知 f(x,y)具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ，且 f(1,y)=f(x,1)=

8、0， f(x,y)=a,D=,计 算 I=例例1. 计算计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如下图)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (cossin)Dxyxy dxdy()0D1()2cossinDAxydxdy1() 2DCx y d x d y 1()4(cossin)DBxyxy dxdy例2设D是平面上以1,1),（-1

9、,1）,（-1，-1为顶点的三角形区域， D1 是D在第一象限的部分，那么*三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二重积分的计算法 第九章 一、利用直角坐标计算二重积一、利用直角坐标计算二重积分分bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd若D为 X 型区域 那么)(1xy)(2xyxboyDax若D为Y 型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()

10、()(21dcydDyxyxfdd),(那么机动 目录 上页 下页 返回 完毕 oxy说明说明: (1) 若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型型区域区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321DDDD那么 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rr

11、rrf设,)()(:21rD那么Drrrrfdd)sin,cos(d特别特别, 对对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD机动 目录 上页 下页 返回 完毕 假设 f 1 则可求得D 的面积d)(21202Dd考虑考虑: 下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x , y 轴相切于原点轴相切于原点,试试答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第三节一、三重积分的概念 和性质 二、三重积分的计算二、三重积分的计算机动 目录 上页 下页 返回

12、 完毕 三重积分 第九章 定义定义. 设设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10vzyxfd),(称为体积元素, vd.dddzyx在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 例如 中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域 上连续,则存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 为 的体积, 记作记作机动 目录 上页 下页 返回 完毕 对称性的应用关于yoz面对称，10, ( , , )( , , )2( , , ) , ( , , )f x y zf x y z dvf x y z dv f x y z关于x为奇函数关于x为偶函数12 若1

13、0z是的部分若 关于yoz(xoz)平面对称，也有类似结论若区域关于原点对称，且f(x,y,z)关于(x,y,z)是奇函数，那么( , , )0f x y z dv若被积函数，积分区域关于x,y,z具有轮换对称性( )( )=( )f x dvf y dvf z dv二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截面法截面法 (“先二后一先二后一”) 方法方法3 . 三次积分法三次积分法 ,0),(zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,

14、推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(细长柱体微元的质量为),(2yxzz ),(1yxzz yxdd微元线密度记作机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDy

15、xz),(:为底, d z 为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd记作机动 目录 上页 下页 返回 完毕 投影法方法方法3. 三次积分法三次积分法设区域:利用投影法结果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd机动

16、 目录 上页 下页 返回 完毕 oxyz2. 利用柱坐标计算三重积利用柱坐标计算三重积分分 ,R),(3zyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面oz),(zyxM)0 ,(yx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 如下图, 在柱面坐标系中体积元素为zzdddzvdddd因而zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.zdddxyzodd机动 目

17、录 上页 下页 返回 完毕 3. 利用球坐标计算三重积利用球坐标计算三重积分分 ,R),(3zyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),(r则0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面, rOM 令),(rMsinrcosrz 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xyzo如下图, 在球面坐标系中体积元素为ddrrddddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF适用范围适用范围:1) 积分域表面用球面坐标表

18、示时方程简单;2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.dddsin2rrd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 考研真题研讨22221. 97(0yzxyvx（ ）计算I=）d ， 为绕轴旋转一周而成的曲面与平面z=8所围成的区域。22222.( , , )1zx y z xyz（ 09） 计 算 I=dxdydz ，22223.()1xzzxyxy（89）计算I=dv， 由与z=所围区域.2222222222222224. 03()(),( )()():,:2( )tttDttDttf xyzdvf xydG tf xydf xdxxyztDxytG t（ ）设f(x)连续且恒大于零,F(

19、t)=(1).讨论F(t)在(0,+ )上的单调性;(2).证明:当t0,F(t) 三重积分的计算更要关注利用球坐标或柱面坐标的计算，在第二类曲面积分中，常常利用高斯公式来解决问题，而高斯公式的应用很多时候都用球坐标或者柱面坐标来计算。xyz例例3. 计算三重积分计算三重积分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDz机动 目录 上页 下页 返回 完毕 其中为由例例4. 计算三重积计算三重积分分zyxyxzdd

20、d22xyx2220),0(, 0yaazz所围解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式398a柱面cos2成半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 o oxyz例例5. 计算三重积计算三重积分分解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所围成 .与平面其中由抛物面42rzvdddd原式 =机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例

21、例6. 设设, 1:222zyx计算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用对称性利用对称性原式 = 122ddyxyx0奇函数222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz机动 目录 上页 下页 返回 完毕 zoxy2例例7. 设设由锥面由锥面22yxz和球面4222zyx所围成 , 计算.d)(2vzyxI提示提示:4利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标 rr d420dsin4020d221564机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第三节一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 重积分的应用 第九章 一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空间有界域 的立体的体积为zyxVddd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二.曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,)