华中师范大学常微分习题8

1、1.证明：线性方程零解的渐近稳定性等价于它的全局渐近稳定性证只需证dya(x)y的零的解渐近稳定ax事实上，只需证：若/0,当|yo|则对一切Vo1Rn,有|y(x,xo,y)10同为|y(x,xo,yo)|(x)yo|0|yo|当 xio,故对任何解y(x,xo,yo)有|y(x,xoyo)|J(x)yo|(x)yo|(x)|yo|ox故得让2.设x与七都是标量，试求出方程日a()x的零解为稳定式或渐近稳定的充要条件解方程满足初值条件 x(io)xo的解为x(t)%es0adsl:mt,(1)当 soa(s)ds 时，0a(s)ds 存在，ta反之，若方程的零解是稳定的，容易推出oa()dt

2、./(2)当a()dt时，t1：metoa(s)dso.同而当 to,/时，e。ds是有界的，即存在 Mo,to,时，有 eotadsM 于是对o,取一/M则当Xo|时，to,就有、x()|,且/l：mxoe0adsot所以方程的零解的是稳定的.所以(x)Isup|yo|(x)1yos1suP|yo|(x)yo|o,的零解全局渐近稳定。且x时，有|y(x,xo,yo)o(xio).xio故当 to,ta(s)ds 是有界的，设它的界为M,即当oa(s)dsM.于是对o,取 em,则当xo时，to,有x()xo所方议程的零解是稳定的.试做出原点附近的排图，并研究平均衡点v0的稳定性质.1v()1

3、K=1,2,是以 Q()t工为半径以（0,0）为圆心的同心圆族，逆时针运行.在v工内部，无穷多个同心k圆轨道中.相邻两个同心圆之间的环域出发的轨道亦绕（0,0）逆时针旋转且,v1一时，0,1v,时，幺 0.12k（2k1）dt（2k1）2kdtvj,a0.（2k1）2kdt其中kn,由每个环域的轨线之向径 v（t）是严格单调函数，所以除v（k1.2）外，已无别拼闭轨。显然，平衡点v0是稳定的，但不是渐近k稳定的。4.设二阶常系数线性方程式A8其中A是一个 2X2的常短阵，dt记 ptvA（短阵A的迹反号）qdeA（短阵A的行列式）再设 p2q20,试证：（1）当 p10 且 q0 时，零解是渐

4、近稳定的；（2）当 p0 且 q0 或 p0 且 q0时，零解是稳定的，但不是渐近稳定的；（3）在其他情形下，零解都是不稳定的。证设线性方程为/dsaxbydtdycxdy/dtab一则特征方程为（ad）adbc0cd0反之,若方程的零解是渐近稳定的，容易推出0a()dt解/v0是方程的一个奇点，它的特解族3.对于极坐标下的方程.Q=1,i25 的_v则变为3pq01特征根为1,2万(PP4q于是(1)当 p0 且 qO 寸，1一厂i2(pvp24q)0故由定理，1)知零解是渐近稳定的2)当 p0 且 q0 时，102p 或 p0 且 q0 时，1,2、用，显然特征根所对应的若当块都是一阶的，

5、故由定理2)知，零解是稳定的。3)在其他情形下，即 p0。不论q取何值，特征根中至少有一个实部为正，或p0,q0,1,2qq,故特征根至少有一个为正实根，又由 p2q20,所以不会出现 p0,q0,故由定理3)知，零解都是不稳定的。.5.讨论二维方程 xyxf(x,y),yxyf(x,y)的零解的稳定性，其中函数f(x,y)在(0,0)点附近是连续可微的。解因为 f(x,y)在(0,0)点附近是连续可微的。从而方程的右端也是连续f(x,y)0,则包定正，零解为不稳定；如则 f(x,y)0,dt稳定。6 .设 x1R1函数 g(x)连续，且 xg(x)0 当 x0.当xo.试证方程xg(x)0

6、的零解是稳定的，但不是渐近稳定的.记 p(ad)tvAqadbcdeA可微的，因而原方程组的由初始条件所确定的解,在原点的某个领域内存在且惟一,x0,y0 是方和组的特解，取 v(x,y)x2dvr2x(yxf(x,y)2y(xy(x,y)dt_22-2(xy)f(x,y)y2,则其通过方程组的全导数因此，在原点的领域内如 f(x,y)0,则包定负零解为渐近稳定；如dt则生常负，零解为dt证令女y,则原方程可化为与之等价的方程但dxy5g(x)dtdtdt1.取止正函数v(x,y)-y&g(s)ds(由条件 xg(x)0 知，匕是止正函数).dv其中 g(0)0,当x0时，xg(x)0

7、,则有一yg(x)yg(x)0dt故由定理知.方程组的零解是稳定的，但不渐近稳定。7.讨论下列方程零解的稳定性1)2)3)2x(x3-3/、2y2y(xy)4)2x2yy2xy2x5解 D 取定正函数散2xy则dvdt零解是稳定的2x(y2xy)2y(xx4y)2(x2yx4y2)0 常负，故方程组的2)取定正函数v(x,y)则史4x(dt35yx)4y3(x3y5)4(x8y8)0定负，故方程组的零解是、234)x2xyy2xy2x5解1)取定正函数散2xy贝 U2x(ydt的零解是裱定的。2y(xx4y)222(xy)0 常负，故方程组2)取定正函数v(x,y)x4型 4x(则dt3533

8、yx)4y(xy5)4(x80定负，故方程组的零解是渐近稳定的3)取定正函数 v(x,y)x4y8)dvdt4x3x2x(xy)22yy32y3(xy)22(2x4y4)2(xy)21xy1时，dv定负,2dt故零解是渐近稳定的。y(zx2yy3)(xy22x5)x2y2y42x60习题831.判断下列方程的奇点(0,0)的类型，并作出该奇点的附近的相图:.1)x4yx,y；.2)x2xyxy2,yx2yx2y2;.3)xx2y,yxyey1;.34)xx2y,y5y2xx;一14解1)0(0,0)为系统的惟一奇点，特征万程为091特征根1,2痴i,实部0,故奇点为中心点。2.该系统的一次近似

9、系统为、21特征方程21012特征根11,23 为大于零的相异的实数，所以一次近系统的奇点0(0,0)是不稳定两向结点。又 4(x,y)xy20(v)(x,y)x2y2o(v)当v0;4(x,y)、(x,y)在原点的一个小领域内对x,y连续可微，故由定理知，原系统的奇点0也是不稳定两向结点。3)令系统右端等于零，得2x4yysy0求得惟一奇点0().xyey10将 siny 与 ey分别在 y0 按泰勒分式展开得4)取 v(x,y)xy 则dvdt由此可知，dv是正定函数,dt而 v 是变号函数，所以方程组的零解是不稳定的。dxdt2xdydtx2ydx132x4yy-ydt3xy1(1ydt

10、21其中 4(x,y),x(x,y)满足定理的条件,上述系统的一次系统为dx2x5y,特征方程dyx2ydt特征方程1,22.3当(x,y)D因而一次近似系统的奇点0为鞍点，由定理知，原系统的奇点dx4)原系统可写为出x2y4(x,y)以 x5ydt0也是鞍点x(x,y)其中 4(x,y)0 x(x,y)x3。它的一次近似系统dxdtdydtx2y2x5y由于b所以一 次近似系统的奇点0(0,0)是不稳定的单x(x,y)0(1)当0,故由定理知，原系统的奇点0(0,0)结 点O2.设函数 p(x,y),Q(x,y)在单连通区域口内连续可微，且:点,又 4(x,y),也是不稳定的单向0,xy2x5y4(x,y)x2y4(x,y)试证系统 xp(x,y),yQ(x,y)在口内不存在闭轨线。证：反让法、若不然，设原方