含参量反常积分

1、2含参量反常积分教学目的：掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法.教学要求：（1）掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法.（2）掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法.教学建议：（1）本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法.要求学生会用魏尔斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性.（2）本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明.对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题

2、；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结.教学程序：定义设函数fxy定义在无界区域R=x,yaxb,cy上，若对ab内每一个固定的x,反常积分fx,ydy都收敛，则它的值定义了a,b上一个x的函数，记cIx=fx,ydy，xa,b（1）c称（1）式为定义在a,b上的含参量x的无穷限反常积分.致收敛概念及其自别法1.一致收敛的定义定义1若含参量的反常积分（1）与函数Ix对任给的正数，总存在某个实数NC，使得当MN时，对一切xa,b，都有Mfx,ydyIxc即fx,ydyM则称含参量的反常积分（1）在a,b上一致收敛于1x2.一致收敛的柯西准则定理19.7含参量的

3、反常积分（1）在a,b上一致收敛的充要条件是：对任给的正数，总存在某个实数Mc，使得当A,A2M时，对一切xa,b，都有A2fx,ydyIxA例1证明参量的反常积分sinxy,dy在，上一致收敛（其中0）,但在0,上不一致收敛.证令uxysinxysinudy-AyAxUsinu,duAusinxy,dyAy所以dy在x0上一致收敛.0y再证SXdy在Q上不一致收敛.按定义只要证明：存在某一正数,使对任何0y,实数Mc，总相应地存在某个AM及某个X0,，使得sinxy小，dy0Aysinusinusinudu0dudu0uMxu0u令01包udu0,则可得20usinxysinu,sinu,d

4、ydudu020MyMxu0u所以sn过dy在0上不一致收敛.0y致收敛的充要条件定理19.8含参量的反常积分（1）在a,b上一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列A（其中Ac）,函数项级数A11fx,ydy=unxn1Aln1在a,b上一致收敛证必要性由（1）在a,b上一致收敛，故对任给的正数，必存在Mc,使当du其中A0，由于吧udU收敛，故对任给的0，总存在正数M,使当AM时就取AM，则当AM时，对一切xx0,有因snudu收敛，故对任何正数。与M0usinu,sinu,dudu0Mxu0uc，总相应地存在某个x0,使得3.AAM时，对一切xa,b总有Afx,ydyA又由Ann,所以

5、对正数M,存在正整数N，只要mnN时，就有AmAnM由(8)对一切xa,b，就有Am1UnXUmxfx,ydyAm这就证明了级数(7)在上一致收敛.充分性略4.一致收敛的M判别法设有函数gy,使得fx,ygx，axb，cy右gydy收敛，则fx,ydy在a,b上一致收敛.cc5.一致收敛的狄里克莱判别法N(i)对一切实数Nc，含参量的反常积分fx,ydyc对参量x在a,b上一致有界，即存在正数M,对一切，Nc及一切xa,b,都有Nfx,ydyM；c(ii)对每一个xa,b,函数gx,y关于y是单调递减且当y时，对参量x,gx,y一致地收敛于0,则含参量的反常积分fx,ygx,ydy在ab上一致

6、收敛.c6.一致收敛的阿贝尔判别法(i)设fx,ydy在a,b上一致收敛c(ii)对每一个xa,b，函数gx,y关于y是单调函数，且对参量x,gx,y在a,b上致有界，则含参量的反常积分，fx,ygx,ydy在a,b上一致收敛.cAn1fx,ydyAn例2证明含参量的反常积分萼dy在01x上一致收敛.证由呼1x-A_,因kdy收敛和一致收敛的M判别法即可得.1x01x2例3证明含参量的反常积分sinx,在八,dy仕0,dx上一致收敛.证由亚dx收敛从而一致收敛,xyxyCee1,x,y0,0,d及对每一yQd第十九章含参量积分系单调，据阿贝尔判别法即得.例4证明：若fx,y在a,bc,上连续，

7、又fx,ydy在a,b上一致收敛，但在c处发散，则fx,ydy在a,b上不一致收敛.c证反证法.假若积分fx,ydy在a,b上一致收敛.则对于任给的0,总存在Mc,c当A,AM时对一切xa,b包有，Afx,ydyA由假设fx,y在a,bc,上连续，所以fx,ydy在a,b上是x的连续函数.在上面不等c式中令xb，得到当AAM时，Afb,ydyA而是任给的，因此f乂,丫丫在乂b处收敛，这与假设矛盾.所以fx,ydy在a,b上不一cc致收敛.二含参量反常积分的性质1 .连续性定理19.9设fx,y在a,bc,上连续，若含参量反常积分Ix=fx,ydy在a,b上c一致收敛，则Ix在a,b上连续.证由

8、定理19.8,对后一递增且趋于的数列An(Alc),函数项级数An1Ixfx,ydyunx在a,b上连续.又由于fx,y在a,bc,上连续，故每个n1Ann1Unx都在a,b上连续由函数项级数的连续性定理，函数|x在a,b上连续2 .可微性定理19.10设fx,y和fxx,y在a,bc,上连续，若含参量反常积分Ix=fx,ydy在a,b上收敛，fxx,ydy在a,b上一致收敛，则Ix在a,b上可微，且ccIx=fxx,ydycAn1证对任一递增且趋于的数列An(AIc),令Unxfx,ydyAAn1由定理19.3unxfxx,ydyAn由fxx,ydy在a,b上一致收敛，及定理19.8,可得A

9、n1fxx,ydy在a,b上一致收敛，据函数项级数逐项求导定理即可得n1AnAn1Unxfxx,ydy=fxx,ydyn1n1AnC3.可积性即qdxccfx,ydy=fxx,ydyc定理19.11设fx,y在a,bcIx在a,b上可积，且bdx上连续，右Ix二fx,ydy在a,b上一致收敛，则cbfx,ydy=dyfx,ydxacca由定理19.9知1xa,b上连续从而可积，又由定理19.9的证明函数项级数An1fx,ydyunx在a,b上一致收敛，由逐项求积定理，即有n1An1nbbbAn1An1bbdxfx,ydy=Ixdx=Unacan1a定理19.12设fx,y在a,bxdx=dxf

10、x,ydy=dyfx,ydx=dyfx,ydxn1aAnn1Anacac上连续，若（i）fx,ydx关于y在任何闭区间c,d上一致收敛,a一致收敛，（ii）积分fx,ydy于x在任何闭区间a,b上cdxfx,ydy与dyfx,ydx（18）acca中有一个收敛，则（18）中的另一个也收敛，且dxfx,ydy=dyfx,ydxac证不妨设（18）中第一个积分收敛，由此得dxfx,ydyac也收敛.当dc时，dId=dyfx,ydxdxfx,ydycaacddyfx,ydxcaddxfx,ydydxacadfx,ydy根据条件（i）及定理19.11,可推得UnXn1IXdxfx,ydy选定A后，由

11、fx,ydy的一致收敛性，存在Mcfx,ydyd这两个结果应用到（20）式得到Id22即limId0,这就证明了(19)式.d应用的例pxsinbxsinax,(dxpsinbxsinax_.-cosxydyIdaAdxadxfx,ydydfx,ydydAdxfx,ydydxfx,ydyAddxAdfx,ydy(20)由条件（ii）,对任给的0，有G0，使当AG时，有0,使得当dM时有0,bapxsinbxsinaxdx=epx(cosxydy)dx=dyepxcosxydxdy=arctan2arctangPP例6计算sinax.dx0 xpxsinaxadxarctan由连续性sinax,_dx-F0limp0limp0pxsinaxlim.a,edx=imlarctan-sgnaxpp2计算cosrxdxx2cosrxx2exdx收敛,xcosrxdx一致收敛，类似一(e0rx2cosrx)dx=0 xexsinrxdx也一致收敛,dfx,ydy为参量x的无界函数反常积分c定义2对任给正数，总存在某正数有dfx,ydyddfx,ydy在a,bc注： 从例子中可体会到含参量的反常积分的分析性质对一些困难的反常积分的求出提供了方便但这里只是零散的例.x