回归系数的显着性检验-Read

1、907907求多元线形回归方程及预报一.功能x1,x2,x3,.xp为自变量，Y为随机变量，求线形回归方程丫=bo+bxi+bpxp+其中bob，。，bp为常数，”是随机变量，且&N(0,62)来描述Y与X的变化规律。并用T检验法检验线形回归是否显著。如果线性回归显著，可用经验回归平面方程对Y作出预报，并给出预报值的置信区间。二.算法间介16,15(1)求回归方程设x1,x2xp是确定变量，Y是随机变量，他们之间有关系Y=bo+bx1+bpxp+其中bb，。，bp为常数，名是随机变量，且名N(0,62),这是P元线性回归模型，我们讨论P1的情形。作n次独立试验，得到n组数据(xk1+xk2+,

2、xkpYpME,2,n)、一一一1n记Xj=L-Xkjj=1,2,网(1)式可写为nY=2+b(x1-X1)+bp(xp-xp)+8其中8同于(1)中之而N=b0+bX1+bp又P对上面得到的几组试验数据，便有Y=2+bi(XkXi)+bp(XkP-Xp)%k其中6独立分布：Sk-N(0,62)。为了用最小乘法求(2)中bl，b2,.，bp的估计值，我们引如下述符号bXii_Xi,X12-X2.Xp_Xp1Y=i1X2i_Xi,X22-X2.X2P-XPXniXi，Xn2-X2Xnp-XPj,k=i,2,.,(Xik-Xk)，y，p,n0.002(XiiXi)2.2(XiiXi)A=XtX=i

3、i.1Y=-nYii1nLjk=(Xj一Xj)i=1nLjyJXijXj)i苴0_(Xip(X1pXp)0(Xip、(XiiX.oLno-一一I I- -pppppp12-12-p pLLLL- -L L12221222一P2P2LL-LLL-L11Ml1211Ml12 p pLL-LLL-L00-o00-oA为准对角阵，子块L是P介实对称可逆阵。，即A为L=L11L21Ll2L22LIpL2P_LpiLp2B=XTYZYI、YI(Xii-Xi)Lpp-平YI【L1YY(X1P-Xp)由此得正规方程组-A1uAb1Ab2yjl1y12y,PY-BP11py利用分块乘法得yib111y1b2bp

4、12yJpy从而得估计计算公式b1Ab2=L,AbpLiylL2y_Lpy经验回归方程为Y=bxbpXp(2)假设检验线性回归的显著性检验.在线性模型中b1=0,b2=0,bp=0由QI=nnoo-nCnc_22、(YI-YI?)2(Y?-Y)2=V(YI-Yl32%(YI?-Y)i1i1i1利正规方程组，可知右边第三项为0,从而nn_Qi=(YI-YI?)2)=(Y?-Y)2i1i1n记Qe=v(Yi-Yi?)2i1作假设He2(YI-Y0(YI-Y)n_pcQ2=:(Yi?Y)2=l?Bji=1j=P其中Bj(j=1,2,，哥正规方程组的右端项.QE称为剩余离差(平方和),是由试验或仃2引

5、起的误差；Q2称为回归离差(平方和)，是由线性回归引起.由分解定理知：工QE服从自由度为n-p-1的x2分布CT工Q服从自由度为P的X2分布CTCT2_QEY_Q2记SE-!，S2-则F=S2s2F(P，n-P1)由该式计算出F值,对给出的显著性水平a,F(p,n-p-1),F=F(p,n-p-1)则拒H0,即认为线性回归显著；则接受H0,认为线性回归不显著.用复相关系数R,且R2=Q2,也可说明Y与自变量的密切程度,0R21,R2Q1越大越密切回归系数的显著性检验若经检验线性回归显著，即说明回归系数b1,b2,bp全为0,但是不能说明每个自变量对Y都是重要的，如果某个系数为0或接近于0相应的

6、自变量对Y不起作用或作用很小，可以忽略，因而检验每个回归系数bj(1=j=p)是否为0,相当于检验相应的Xj对Y的值是否起作用。在线性回归模型上作假设H0:bj=0,其中j固定，1=j=-I：则拒绝假设H0,即认为b,显著地不等于0或说b于0有显著差别;否则接受H0,即认为b于0无显著差别。(3)预报所谓预报，就是给出X1=X01,X2=X02,Xp=Xop,对Y的值Y0作去件估计，即求出Y0,并指出它的置信区间(置信度1-a给出时),一+/)-+.+对Y0作点估计。为了作区间估计，须讨论Y0-Y0的概率分布。可知E(匕-=0D(匕-宜)=/*+EECLJ-X)(xx)界i-1j-l其中Cij

7、是C=A-1第I行第j列元素，62可用下式计算n-p-l、ipp一一t己d0=1Cii(X0i-Xi)(X0j-Xj)ni1jTA则(Y。Y)N(022d2)A从而U=Y0-Y0-N(0,1)二do由此知AY0-Y0/八T-(n-p-1)二d0给出置信概率1-a,那么Y0的置信区间为（：;.二2NFJ-;.,+ta/2（n-p-1）cd。式中da可用（18）式计算后经开方得到。三、程序说明程序中分主程序与子程序，子程序有五个。子程序（1）求线性回归方程子程序（2）线性回归的显著性检验子程序（3）回归系数的显著检验子程序（4）预报子程序（5）计算正规方程组系数矩阵之逆阵注意，当检验出线性回归不显

8、著时，就不再执行子程序（3）和（4）四、程序使用说明1、输入参数p实数，自变量个数N实数，实验次数R实数，给定的显著性水平，可取R=0.05FR实数FR=Fa(p,n-p-1),查表得到TR实数，TR=ta/2(n-p-1),由表给出A(N,P)二维实数组，P1=p+1,存放原始数据2、输入参数(1)对1中输入的参数全部打印输出(2)计算回归方程的一些中间运算结果及最后结果。X0(P1)一维实数组，存放各变量的均值L(p,p)正规方程组的系数矩阵LY(p)正规方程的右端项C(p,p)L(p,p)的逆矩阵B(p)回归系数回归方程(3)检验线性回归显著性的一些中间运算结果和检验结果方差分析表检验结

9、果RR复相关系数，0RR=FRTHEN510ELSE520LPRINT线形回归显著：GOTO530LPRINT线形回归不显著”IFF=TRTHEN620ELSE630LPRINTB(J;0治)显著差异:GOTO640LPRINTB(J;0无显著差异”NEXTJLPRINT*INPUTWW=:WWIFWW=0THEN690ELSE700LPRINTTAB(3);WW=WW:GOTO1000LPRINT:LPRINTTAB(3);T(J)：550560570580590600610620630640650660670680690700FORJ=1TOP710INPUT“X(J)=；X(J)720N

10、EXTJ730GOSUB1980740LPRINT:LPRINTTAB(3);预报：X(J):“750FORJ=1TOP760LPRINTX(J);:LPRINT;770IF(J/5)*5=JTHENLPRINT780NEXTJ790LPRINT800LPRINTTAB(12);Y0=”;Y0810LPRINTTAB(3);Y1;Y0”；Y2820LPRINT:GOTO670830DATA2,18,50,4.3302,7,9,40,3.6485,5,14,46,4.4830840DATA12,3,43,5.5468,1,20,64,5.4970,3,12,40,3.1125850DATA3,1

11、7,64,5.1182,6,5,39,3.8759,7,8,37,4.6700860DATA0,23,55,4.9536,3,16,60,5.0060,0,18,40,5.2701870DATA8,4,50,5.3772,6,14,51,5.4849,0,21,51,4.5960880DATA3,14,51,5.6645,7,12,56,6.0795,16,0,48,3.2194890DATA6,16,45,5.8076,0,15,52,4.7308,9,0,40,4.6805900DATA4,6,32,3.1272,0,17,47,3.6104,9,0,44,3.7174910DATA2,1

12、6,39,3.8946,9,639,2.7066,12,5,51,5.6314920DATA6,13,41,5.8152,12,7,47,5.1302,0,24,61,5.3910930DATA5,12,37,4.4533,4,15,49,4.6569,0,20,45,4.5212940DATA6,16,42,4.8650,4,17,48,5.3566,10,4,48,4.6098950DATA4,14,36,2.3815,5,13,36,3.8746,9,8,51,4.5919960DATA6,1354,5.1588,5,8,100,5.4373,5,11,44,3.9960970DATA8

13、,6,63,4.3970,2,13,50,4.0622,7,8,50,2.2905980DATA4,10,45,4.7115,10,5,40,4.5310,3,17,64,5.3637990DATA4,155,72,6.07711000END1100子程序(1)1110FORJ=1TOP11120D=01130FORI=1TON1140D=D+A(I,J)1150NEXTI1160X0(J)=D/N1170NEXTJ1180LPRINTTAB(3);各变量匀值：”1190J=1TOP11200LPRINTX0(J);:LPRINT”“1210NEXTJ1220LPRINT1230*D=0FOR

14、K=1TOND=D+(A(K,I)-X0(I)*(A(K,J)-X0(J)NEXTKL(I,J)=DNEXTJNEXTJFORI=1TOPD=0FORK=1TOND=D+(A(K,I)-X0(I)*(A(K,P1)-X0(P1)NEXTKLY(I)=DNEXTILPRINTLPRINTTAB(3);正规方程组的系数矩阵”125012601270128012901300131013201330134013501360137013801390140014101420LPRINTUSING#.#：LY(I);:LPRINTNEXTJLPRINTNEXTILPRINTLPRINTTAB(3):正规方程

15、组的右端项”FORI=1TOPLPRINTUSING#.#LY(I);:LPRINTNEXTILPRINT*FORI=1TOPFORJ=1TOPS(I,J)=L(I,J)NEXTJS(I,P1)=LY(I)143014401450146014701480149015001510152015301540155015601570158015901610GOSUB2130LPRINTLPRINTTAB(3);系数矢!阵L(P,P)的逆阵”FIRI=1TOPFORJ=1TOPLPRINTUSING#.#；C(I,J):;LPRINTNEXTJLPRINTNEXTI*BO=XO(P1)FORJ=1TOP

16、B0=B0-B(J)*X0(J)NEXTJLPRINTRETURN子程序216201630164016501660167016801690169116921693169416951696169716981701Q1=Q1/B(K)*LY(K)1702NEXTK1703FORI=1TON1704QT=QT/(A(I,P1)-X0(P1)八21705NEXTI1706Q2=QT-Q11708P2=N-P11709S1=Q1/P:S2=Q2/P217101711F=S1/S21712RR=SQR(Q1/QT)1713RETURN1714子程序31715FORJ=1TOP1716T(J)=B(J)/(

17、SQR(C(J,J)*S2)1717NEXTJ1718子程序41719Y0=0:H=01720FORJ=1TOP1721Y0=Y0/B(J)*X(J)1707*1723Y0=Y0+B01725FORI=1TOP1726FORJ=1TOP1727H=H+C(I,J)*(X(I)-X0(I)*(X(J)-X0(J)1728NEXTJ,I1729D0=SQR(1+1/N+H)1730YY=TR*D0*SQR(S2)1731Y1=Y0-YY:Y2=Y0+YY1732RETURN1733子程序51734FORK=1TOP1735A=1/S(K,K)1736FORI=1TOP1737FORJ=1TOP11

18、738IFIKANDJKTHENS(I,J)*-S(I,J)-S(I,K)*S(K,J)*A1739NEXTJ1740NEXTI1741FORJ=1TOP11742S(K,J)=S(K,J)*A1743IFJP1THENS(,K)=-S(J,K)*A1724*1745FORI=1TOP1746FORJ=1TOP1747C(I,J)=S(I,J)1748NEXTJ1749NEXTI1750*1751FORI=1TOP1752B(I)=S(I,P)1753NEXTI1754RETURN例:P=3N=49P=3N=49序号X1X1X2X2X3X3Y Y1 12 2181850504.33024.33

19、022 27 79 940403.64853.64853 35 5141446464.4834.4834 412123 343435.54685.54685 51 1202064645.11285.11286 63 3121240403.87593.87597 73 3171764645.11285.11288 86 65 539393.87593.87599 97 78 837374.674.6710100 0232355554.95364.953611113 3161660605.0065.00612120 0181840405.27105.271013138 84 450505.3772

20、5.377214146 6141451515.48495.484915150 0212151514.5964.59616163 3141451515.66455.664517177 7121256566.07956.0795181816160 048483.21943.219419196 6161645455.80765.807620200 0151552524.73064.730621219 90 040404.68054.680522224 46 632323.12723.127223230 0171747473.61043.610424249 90 044443.71743.717425

21、252 2161639393.89463.894626269 96 639392.70662.7066272712125 551515.63145.631428286 6131341415.81525.8152292912127 747475.13025.130230300 0242461615.3915.39131315 5121237374.45334.453332324 4151549494.55694.556933330 0202045454.52124.521234346 6161642424.8654.86535354 4171748485.25635.2563363610104

22、448484.600854.6008537374 4141450502.38152.381538385 5121250503.37483.374839399 98 851514.59194.591940406 6131354545.15385.153841415 58 81001005.43735.437342425 5111144443.9903.99043438 86 663634.3974.39744442 2131350504.86224.862245457 78 850502.28052.280546464 4101045454.71154.7115474710105 540404.

23、5314.53148483 3171764645.36375.363749494 4151572726.07716.0771各变量均值：5.2857145.28571411.7959211.7959248.9187348.918734.0022844.002284662.000662.000-918.143-918.143-324.857-324.857918.143918.1431753.9601753.960714.184714.184324.857324.857714.184714.1846295.6746295.674正规方程组的系数矩阵-11.717-11.71774.33474.334240.118240.118正规方程组的右端顶0.0055250.0055250.0029110.002911-0.000045-0.0000450.0029110.0029110.0021310.002131-0.000092-