一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练

1、一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1:已知关于牙的方程（1）-（1-2"）工+3=°有两个不相等的实数根，且关于*的方程（2）炉-2工1=0没有实数根，问求取什么整数时，方程（1）有整数解分析：在同时满足方程（1）,（2）条件的笈的取值范围中筛选符合条件的值的整数值。解：二.方程（1）有两个不相等的实数根，.J一13方程（2）没有实数根，二一：一：解得">1;、131a于是，同时满足方程（1）,（2）条件的厘的取值范围是4其中，口的整数值有4=2或"二m当=2时，方程（1）为M4-37+1=0,无整数根

2、；当嵬=3时，方程（1）为1+$尤+6=0,有整数根。解得：1-所以，使方程（1）有整数根的盘的整数值是2=3。总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定优的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出0=3、这也正是解答本题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例1:不解方程，判别方程2y4%一了=0两根的符号。分析：对于=og，。)来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式,但只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定为一七或%十/的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定句.人或演

3、+马的正负情况。解：2/+3才一7=0,.=蒙4X2X(7)=65>0.方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为凡户7.2<0原方程有两个异号的实数根。总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中限勺<0,所以可判定方程的根为一正一负；倘若演%>0,仍需考虑甬+看的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例2:已知方程-6工十殖口-2瞪十5=0的一个根为2,求另一个根及牌的值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把花=2代入原方程，先求出端的值，再

4、通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值。解法一：把入:2代入原方程，得：2a-6x2-2m+5=0即T二，.二：解得、,二一当叼=3.啊=-1时，原方程均可化为:尤一恒+8=。解得：'二方程-6工+疝-2煨+5=0的另一个根为4,周的值为3或一1。解法二：设方程的另一个根为毛，根据题意，利用韦达定理得：=-(-6)=6£勺=4-2砌+5=2,.把=2代入马+w=-C-6)=6,可得：%=4.把覆=4代入巧.勺二感,一2斓+5,可得：疝一痴十5二8即二，.工：解得1,一.方程-6工+/-2米+5=0的另一个根为4,端的值为3或一1。

5、总结：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。例3:已知方程一+2犍-2犷+加,+4上0有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21,求端的值。分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于雁的方程，即可求得雁的值。解：:方程有两个实数根，一.解这个不等式，得逃00设方程两根为则阳+电=-2(琳-2),均丹二。+4.一-二，.二】一二J:一,L整理得：二二:解得：I'一又.名W0,.城二1总结：当求出网1=17,%=-1后，还需注意隐含条件溶工。，应舍去不合题意的烧=17。四、运用判别式及根与系数的关系解题。例5:已知均、%是关于*的一元

6、二次方程41+4(腐-1)工+加3二o的两个非零实数根，问工】和血能否同号若能同号，请求出相应的桃：的取值范围；若不能同号，请总结理由，解：因为关于T的一元二次方程41+代刑-1)74覆J0有两个非零实数根，则有一，匚I；，一m<二又王、不是方程41+4(胭-1)+加口二口的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：金+q二(m-1),玉-勺二5一假设工1、/同号,则有两种可能：(1)1<0，七(2)<I>°，勺叫+x2<0若工】<00,则有：1%勺>0；r-做1)<o-m2>0即有：14解这个不等式组，得好>V2

7、时方程才有实树根，此种情况不成立。若巧>0,七>0,则有：1*1电0（牌1）>0-AM3>0即有：4解这个不等式组，得"1;w?<m<又;2,.当2时，两根能同号总结：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。例：已知热、尸是方程一+21-5=0的两个实数根，

8、求合+胡-2值的值。分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。解法一：由于产是方程r+2”5=。的实数根，所以戌+2户-5=0设值班+2即M,值加十加与产户-5相加，得：=+戌）+2（d+斗afl-'=9+用+2仙+向-欢-5（变形目的是构造B+F和矽）根据根与系数的关系，有：©+尸=-2阳=-5于是，得:一lj,-'=44+55=0''：=0解法二：由于值、产是方程+2工-5二°的实数根，a24a1声+2a=+2；E=afx(-2)+2af=0总结：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊

9、的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时,如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。例8:已知两方程米黑+5+播=0和/一°刖泗+0至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。分析：当设两方程的相同根为热时，根据根的意义，可以构成关于胃和透的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。解：设两方程的相同根为叫根据根的意义，有:“旭

10、I_：-一cP-(7掰+1)或4+7-0两式相减，得JI_W3=当6+1二0时，6,方程的判别式工-竺38 3A=(。4伽+5)=(g)。4(-+5)=方程无实数解值2(6.+)当6刑+1=0时，有实数解6次十1代入原方程，得讶-”2+5+冽=0,所以一二于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为（5+用）（13所+7）=14x124=1736总结：（1）本题的易错点为忽略对8+1=。的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认&俄+1黄口的错误，甚至还会得出并不存在的解：1=当6泓+1=0时，6,两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根广门,729?841（掰+5）=（-I

11、-5）3=（）=的相乘积为：6636；（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：Aj=（-加-+5）三靛'-4如一20之0且-：一另外还应注意：求得的酒的值必须满足这两个不等式才有意义。【趁热打铁】一、填空题：1、如果关于X的方程r+6工+比=0的两根之差为2,那么2、已知关于尤的一元二次方程-缶+1”41=°两根互为倒数,贝"。112-十-3、已知关于近的方程了-3次工+2（朋-1）=0的两根为玉、三，且飞/则濡;O4、已知西、均是方程3-7工一4二0的两个根，那么：区+i）岛+i）=.k-l=。5、已知关于或的一元二次方程高H=Q

12、的两根为巧和巧,且工1f=则却=；+/）"=/=6、如果关于汽的一元二次方程6+及苏+良二口的一个根是1-收,那么另一个根是,1的值为。7、已知2+后是4工+上二0的一根，则另一根为，上的值为08、一个一元二次方程的两个根是2+&和"质，那么这个一元二次方程为:0二、求值题：1、已知不、的是方程2-31-1=Q的两个根，利用根与系数的关系，求工1%+工1婷的值。2、已知百、巧是方程3招2x-1=U的两个根，利用根与系数的关系，求（媪-元/产的值。3、已知巧、巧是方程2/+3或-4=0的两个根，利用根与系数的关系，求工；引.短引的值。4、已知两数的和等于6,这两数的积

13、是4,求这两数。5、已知关于x的方程犷-（附T）工+加41二。的两根满足关系式-4二1，求附的值及方程的两个根。6、已知方程工"十座十4二0和一（熠一2泣-16=0有一个相同的根，求朋的值及这个相同的根。三、能力提升题：1、实数止在什么范围取值时，方程反°-2%+伏-1）=°有正的实数根工*+g-2）汗1掰一3=02、已知关于左的一元二次方程2（1）求证：无论幽取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）若这个方程的两个实数根F、叼满足2工1+工士=加+1,求我的值a1工一（幽+的川=03、若是1口，关于龙的方程4有两个相等的正的实数根,m求用的值。4、是

14、否存在实数比，使关于汽的方程9/一（独+6/=0的两个实根=-工卜巧，满足电2,如果存在，试求出所有满足条件的北的值，如果不存在，请总结理由。5、已知关于正的一元二次方程网/*20-期）工+1=0（栩¥0）的两实数11m-十根为勺,若不七,求明的值。6、实数叫、咒分别满足方程19叫99活+1=0和19+99超+捏*=0,求代数式答案与提示:一、填空题:1、提示："勺，瓦一十=4,（亚+/）=/二4.(-6y-4上=4，解得：k=8,厘+1_1a2 -12、提示：由韦达定理得：/+/二匚i:笳+1厂士十呵=rr解得：速=±d2,代入a1检验，有意义，.厘二±

15、;<2。113+=3、提示：由于韦达定理得：巧+勺=3加，"占二2（附-1），.飞勺4%+马三3母31二一二不3二瓦4,2（博-1）4,解得：3074、提示：由韦达定理得：/+一5,再3=-2,婷二（为十方-2亚0-)3-2x(-25=/.,d=-2-f-+1=-宴''4；5i+D(W+l)=可马一(瓦+)+122；-2可判定方程的两根异号。有两种情况：设七0,吃0,则工一心二瓦一工3=（瓦一勺）-+2再,血652 x (-2)二42；设玉05、提小：由韦达定理得:<0,%>0,则”讣&万)-2瞪二一2,.玉.=3,.一工+产=（_2了=-8

16、。6、提示：设e-W,由韦达定理得：为+&=一6,H，.二1-/+/=-.，解得：勺=-1,同0二辽二（一也一1）二",即篇=&c7、提示：设勺=2+陋，由韦达定理得：工1+J=4,/F=上，.2+",3?也，'（2-拘（2+#"18、提示：设所求的一元二次方程为l+p+g=。，那么工】+/=一歹，二三二?.C+疯+12-而=4,即p=-4*=（2+晌（2-#）二-2；.设所求的一元二次方程为：.4二：二、求值题：3_l1、提示：由韦达定理得：工】十勺二万演为二一3，小%+工志二通双行+V）_1个1,13三亚/困+工/-2工内-5MHm+_

17、2_12、提示：由韦达定理得：/+/一与勺一5,.（婷-才了=15+个）OlM=国+小应+马尸-4&2=（城刈于-4X”和=丽3药+工3=凸3、提示：由韦达定理得：2%飞二2.，_+_一.；一；）.一+.：/+-：3日.99二.马尸（内+勺）（瓦+为尸-%为广H）父（-万）（-5）-3艾（-2）=-了4、提示：设这两个数为不、可，于是有*%=6，玉,覆=4,因此勺、巧可看作方程炉+P工+年=0的两根，即W+与=_召=6,工/=0=4,所以可得方程：-6汇+4=0,解得：位二升小，。二?一石，所以所求的两个数分别是3+后,3-君。储-1的+1而+邑二司马二_i5、提示：由韦达定理得2，2

18、,巧一占=1,（工修）?2（三-5+餐）-4"=1,-2/2，化简得：疝一10用1。；解得：叼=11,%=-1；以下分两种情况:当所2=-1时,占-匕=1 ,组成方程组:/一1_5当叼二11时，讨十万一亍-，同=1,组成方程组:%十羽二5（I）药一/=1,解这个方程组得:(1)(2)解这个方程组得：町二一16、提示：设1十座十4=0和-（第一2）工-16=°相同的根为或=也,于是可得方程组：a1十。的十4二0/_忒m-2）-1E=0；+得：4f-6=0,解这个方程得：%=2：以下分两种情况：（1）当时，代入得3；（2）当心二时,代入得啊=-日。所以十*+4=0和/一（那一2

19、»-16=0相同的根为,=-工心=2产的13%二一A值分别为3,叫。三、能力提升题：1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：判别式学0;%.勺>0,玉+%>0；于是可得不等式组：42无月-4丘世-1）至0A-1人>-0.k解这个不等式组得：>1X2+（22）A-I-加一3二口2、提示：（1）2的判别式4=力"-4己r=（W2-2）*4（；附一3"）=/-6想+1（附一可、70,所以无论播取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）利用韦达定理，并根据已知条件可得：j玉+/二一伽-2）12丑十马二超+1解这个关于巧、三的方程组，可得到：工产2加-1,%=3-3网由于-m3m-3'2j921）（33?k）.i2，所以可得2