机器人学第6章动力学.

1、第八章动力学Chapter VI Dynamics6. 1引言6.2拉格朗日力学6.3机械手的动力学方程6.1 弓|言(Introduction )动力学是机器人控制的基础，本章主要从控制的角度来研究 机械手的动力学问题。机械手通常是一种开链式多关节机构，是- 种复杂的动力学系统，需要采用系统的分析方法來研究它的动态特 性。本章我们运用拉格朗日力学原理来分析机械手的动力学问题， 因为拉格朗日方法能以最简单的形式求得非常复杂的系统的动力学 方程。本章的主要内容如下：运用拉格朗II力学原理分析和求取两H 口度机械于的动力学方程；介绍六自由度机械手动力学方程的求取方法和步骤：推导出完整的动力学方程，

2、然贡根据右效性分析來简化这些方程。6.2拉格朗日力学 一个简例(Lagrangian Mechanics A Simple Example )拉格朗口算子L定义为系统的动能K与势能P的差(6.1)系统的动能和势能可以用任何能使问题简化的坐标系统來农示, 并不一定要使用笛卡尔坐标。动力学方程通常表述为dLr _d dL1 dtdqi(6.2)图61两连杆的机械手其中，务是表示动能和势能的坐标值是速度，而耳是对应的力或 力矩，耳是力还是力矩，这取决于是直线坐标述是角度坐标。这 些力.力矩和坐标分别称为广义力.广义力矩和广义坐标。为了说明问题，我们看一个具 体例JS假定有如图6.1所示的两连 杆的机

3、械手，两个连杆的质量分别 为叫、血2，由连杆的端部质量代表, 两个连杆的长度分别为d、d2，机 械手直接悬挂在加速度为g的亟力场 中，广义坐标为8 1和8 2o6. 2. 1 动能和势能(The Kinetic and Potential Energy )动能的一般表达式为K =丄阳/质最的的动能可苴接写出 2K =舟(6. 3)势能弓质最的垂直高度有关，高度用，坐标表示，于是势能可直接写出P = mgdCos( )(6. 4)对J：质量 由图6.1,我们先写出直角坐标位置表达式,然后求微分，以便得到速度x2 = dS加(冈)+ dSin + %)(6. 5)乃=_dCos(6)_ dqCos

4、 + 色)(6. 6)速度的直角坐标分量为尢2 = cZCos(tS| )密 +4- t$2 )(*1 + S2 )(6. 7)y2 =KS 加(幼)j + dosing +6)(! +Q)(6. 8)速度平方的值为匕 2 = d22 * 2(&2 * 攻 2良2 十财)+ 22Cos（禺）Cos（禺+内）（父彳+幺毎）+ 2dxd2Sin(19l)Sin(l +92)(912 +AA)=|鈴2 +d（欧 2 +2&2可 +阳）+ 2皿26$（*92）（禺+久2）(6. 9)从而动能为&2 =舟加 2哲2岔2 + -An2t/22(.9|2 + 2912922 + c922)+ mQdClzC

5、osQBdQ 董 + 禺2)(6.10)质量的高度由式(6. 6)表示，从而势能就是P2 = 一加2尺“Cos(切)一niogd2Cos幼 + 内)(6. 11)6. 2. 2 拉格朗日算子(The Lagrangian )拉格朗日算子L = K-P可根据式(6.3)、(6.4)、(6.10)和(6.11)求得厶=丄(初1 + 2)12!2 +丄力2色2(&2 + 2总！彳禺？十 禺2)+ AZ?2H1&2Uo$(冷)(禺 2 + 9|)(6. 12)+(“ + m2)gdxCos ) + m2gd2Cos + 内)(6. 13)(6. 14)丹j丽=心 + 已)(6. 15)根据式(6.2)

6、,把式(6. 14)与(6. 15)相减就得到关节1的力矩7 = (m + friodydCosS) )19+ lYlyCl -7+ tTiryd j d CJOS ( 7 )2.m2dxd2Sin2 m2dxd2Sin2 )922+0巾 + m2)gSin(S)皿2加2$加(6 +%)(6. 16)为了求得动力学方程，我们现在根据式(6. 2)对拉格朗I算子进行微分+ 加 2)&22 + m26/229)2 + /n26/22t922 + 2皿2 &+ 皿2“d (小32)91d J : =(/Z2 + m2)d厂 +)9j dt。场+ ( itiqcI od2Sin(i92 )9p92 m

7、2dxd2Sin&2 )922用拉格朗日算子对禺和虫求偏微分，进而得到关节2的力矩方程a9丄22=/M2Z2t9l + /n2d2i92 + m/d ?CcsQ9JS2(6. 17)J2 9 2 z = ns 6 + 皿卫 f $2 + Hipdd?CosJ9工)3、-2外卜bS加）6&2(6. 18)誇=叫样加22）（歼+ 02） m2gcl ,Sin+(6. 19)(6. 20)D (6.21)于是关节2的力矩为T2 = _m2c/2 -+- m26/IcZ2C7o5,(i92 y 4- m26Z2?92+ m26/16/2SZzz(t92 )9I24-m272SZH(.9I + 92)将

8、式(6和(6. 20)重写为如下形式丁 = D 胡 + D2 + D11A2 + DM + D g + D2$T2 = D129, + D2292 + O2l ,9/ + D222.922 + D2I29,A + Q 22)在方程(6.21)和(6.22)中各项系数D的含义如下:Djj一 关节 i 的等效惯量(Effective inertia ),关节i的加速度使关节i产生的力矩Djj关节i与关节j之间的耦合惯量(Coupling inertia)关节i或关节j的加速度分别使关节j或i产生的力矩1祸和山关节j的速度产生的作用在关节i上的向心力Pjp；系数(Centripetal force

9、)Dik 作用在关节i上的复合向心力(哥氏力Coriolis force)的组合项D肿+ D肿j系数，这是关节j和关节k的速度产生的结果Dj 作用在关节i上的重力(Gravity)把方程(6.16)、(6.20)与(6.21)、(6.22)比较，我们就得到各项系数的值：等效惯量Dn = (mi + m2)dl2 + m2d22 + 2m2d1d2cos(02 )(6.23)D22=m2d22(6.24)耦合惯鼠D12= m2d22 + m2dld2cos(02)(6.25)向心加速度系数Dlll = (6.26)D122 = 一 m2dld2sin(02 )(6.27)D2II = m2d1d

10、2sin(02 )(6.28)D222 = 0(6.29)町氏加速度系数D112 = D2 = 一 ndasin)(6.30)D212=D221 = 0(6.31)重力项为D)= (m, + m2)gd|Sin(0|) + mjgdjSinCO + 02)(6.32)D2 = m2gd2Sin(0 + 02 )(6.33)下而给两连杆机械手赋予具体数值，并且对于静止状态(& =為=0)和 在无亟力环境中的机械手求解方程(6.21)和(6.22)。求解在下列两种条件卜进 行：关节2处丁锁定状态(总=0)：关节2处丁白由状态(T2=0 )o在第一种 条件下，方程(6.21)和(6.22)简化为刁=

11、d 1 禺(6. 34)(6. 35)在第二种条件下，T2 = (),我们町以由方程(6.22)解出区，再把它代入方 程(6.21),得到T+ 厂222兀=02禺代入方程(6.21)有(6. 36)现在，取d, = d2 = 1 , m严2,而对于三个不同的m?值，分别求出各个 系数：m2= 1,表示机械手无负找怙:况；ni2 = 4,表示有菽我：m2 = 100 ,表 示位于外太空(无垂力环境)的机械手的负戯。在外太空，没有亟力负载，允许 非常大的工作负载。根据求得的系数以及方程(6.34)和(6.35),分别对应关节2的 四种不同的锁怎状态h.和自由状态，计算关节1的惯虽如下表所示(表中I

12、L表示锁定状态，If表示自由状态)O1 , d2=1表6. 1mi = 2 , m2=1 , di =e2COS0 2DnD】2D22IIIfo16216290041143180-120122270041143表6. 2m1 = 2 ,叫=4,d = 1,d2 =1COS0 2DnD12D22IIIf0118841829001044106180-12042227001044106表6. 3m1 = 2 ,1112=100,=1=102COS0 2Dn%D22IIJ014022001004022900202100100202102180-120100222700202100100202102上面

13、三个表格中，靠右两列衣明关节1的等效惯量。衣6.1说明， 对于无负载的机械手來说，8 2从0变为180 ,在锁定状态情况 下，等效惯量I：的变化为3:lo同时，在6 2=0时，锁定状态（IL ） 和自由状态（If ）等效惯量的变化也为3:1。从表6. 2可以看出，刈于加載机械手，6 :从0变为180 ,在 锁定状态悄况卜，等效惯量、的变化为9:lo而白山状态等效惯量If 的变化为3:1。对于表6. 3所示的负载为100的外太空机械手，在不同状态下惯量 的变化竟为201:1。这些关联的变化情况对于机械于的控制问题将有 重要的影响。6. 3 机械手动力学方程（The Manipulator Dyn

14、amics Equation ）推导机械手的动力学方程可按下述五个步骤进行首先计算机械手任意连杆上任意一点的速度么；再计算它的动能K；然后推导势能P ;形成拉格朗日算子L二K P；对拉格朗日算子进行微分得到动力学方程尸（/（ /（ / o山两两6. 3. 1 机械手上一点的速度(The Velocity of a Point on the Manipulator )假定机械手的连杆i I有一个点h它在基坐标中的位置为是，它的速度就是(6. 37)(6. 38)或者用矩阵形式表为(-)2 = Tracer r )(6. 39)dt根拥方程（G. 38）nf得(6. 40)6. 3. 2 动能(T

15、he Kinetic Energy )在连杆i上S处，质量为dm的质点动能是= Trace 2y-i A-i(6.41)于足，连杆/的动能就是=dKTrace 乞券( link 乙 J=1 k= q j(6. 42)dKi link/Trace 尹dm2 七仁 叽式(6.42)中的积分称为伪惯量矩阵，可由下式确定J xdmj ydmJ x zjdtnj dmlink,linkflinllinkfj lydmj 1 y2 dinj yzdmj 1 ydmJi= f i八丁dm =linklink.link,linkj(6. 43)1 Jlink,J 1 xlzdmlylzdmJ dmJ zdml

16、in%linlinktlink.j x dmr,亦j 1 zdmdtn link,link,link,叭冋顾下转动惯量，惯量叉积和物体的阶动量的定义为Ixx =J(/+Z2)m】xy = J xydmnix J xdmIyy =j(x2 + z2)dmIx: = j xzdmmy = j ydmAz=J（）+）為I、： = J yzdmmz = J ：dm从而J a 2 dm = _ * I* (y $ + 乙 2)加十 * J(” 十乙2 )dm j*(j2 + a2 )dm=(一/心+ /” + /J/2(6. 44)j*(x2 + z?)t/w+ J(y2 + x2 )dm= (+6_M

17、J/2(6. 45)j*Z1 dm 二 + * J(y2 4- z)d加 + *( +j (y2 + x2)dm=（+ + 心一4）/2(6. 46)一/+/ +/M ixv M iyy * izzj2十 hxx - hyy + 】iZZ4 =lizy2于是，就能农示为“ XiyinijXilg + hyy lizz(6. 47)2MM机械手的总动能就是6 | 6K = K =-Trace(6. 48)匕1何这个方程表示了机械手结构的动能，然而，动能还有另外一个巫耍 组成部分，即各个关节的传动机构的动能（对非直接驱动机械手而言）。我 们通过传动机构的惯晕以及有关的关节速度表示这部分动能aetu

18、atof在棱柱形滑动关节的情况下，1“成为一个等价质量。把Trace运算和求和运算相互交换一下，冉加上传动机构的动能部分, 最后得到机械手的总动能为(6. 49)6. 3. 3 势能(The Potential Energy )在重力场g中，一个物体的质量为加，位于某个参考零点Z上的髙度 为h,它的势能为P = mgh(6.50)如果由重力引起的加速度农示为欠量g,物体质心的位置表为矢量7 ,那 么式(6.50)就变为p -mg r(6.51)例如，在重力场中，;? = 0/ + 0/-32.2A, r = 10/ + 20/- + 30k ,位于广处的 质量加就有势能966 n mo如果连杆i的质心用欠量林农示，它相对于坐标系7；的势能为(6. 52)Pi=-gT：t其中(6. 53)8yg =0(6. 54)从而，机械手的总势能就是1=16. 3. 4 拉格朗日算子(The Lagrangian )由式(6. 49)和(6. 54)得到的攵和 只 可计算拉格朗日算子L = K 一 P= “込需 j,爭)$ & + 当土 +士 “ f厶