机械工程控制基础(修订本)_陈康宁(3章答案)

1、第3章系统的数学模型复习思考题1. 什么是数学模型？解答：数学模型是系统动态特性的数学表达式。数学模型有多种形式，如微分方程、传递两 数、单位脉冲响应函数、频率响应函数及状态空间表达式等等。2. 线性系统的特点是什么？解答:凡是能用线性微分方程描述的系统就足线性系统。线性系统勺很多特点，共中最重要 的特点就是它满足叠加原理。所谓叠加原理是，系统在几个外加作用下所产生的响应，等于各个 外加作用单独作用的响应之和。3. 传递函数的定义和特点是什么？解答：定义：在零初始条件卜，系统输出的Laplace变换与引起该输出的输入最的Laplace 变换之比。传递函数具有以下特点（1）传递函数的分母反映了由

2、系统的结构9参数所决定的系统的固右待性，而其分子则反 映了系统与外界之间的联系。（2）当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的Laplace变换完全取决于其 传递函数。但是，一旦系统的初始状态不为零，则传递函数不能完全反映系统的动态历程。（3）传递函数分子中s的阶次不会大于分母中s的阶次。（4）传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统输出的量纲与输入的量纲。（5）不同用途、不同物理兀件组成的不同类型系统、环节或尤件，町以真右相同形式的传 递函数。（6）传递函数IE常适用于对单输入、单输出线性定常系统的动态特性进行描述。但对于多 输入、多输出系统，需要对不同的输入彊和输出最分别求传递函

3、数。另外，系统传递函数只表示 系统输入最和输出最的数学关系（描述系统的外部特性），而未表示系统中间变量之间的关系（描 述系统的内部特性）。4 传递函数的典型环节有哪些？它们的表达式是什么？5.如何计算串联、并联及反馈联结所构成系统的传递函数？6 方块图的简化法则主要冇哪些？如何应用这些法则进行简化并计算系统的传递函数？如何推导一些简单机电系统的传递函数？7. 信号流图的概念及梅逊公式的应用。8. 状态空间基本概念。10如何从高阶微分方程推出状态方程？如何由传递函数推出状态方程?3-1列出图题3-1所示各种机械系统的运动微分方程式(图中未注明X(r)均为输入位移，为*r(不计( izGg人力、图

4、題3 1解：(a)对y(r)点利用牛顿第二定律得-B|>(t)-4y(O-x(f)=0即'© + 幼(r) = b(r)(b) 对加利用牛顿第二定律得-W) - 4x(0 7(f) = my(t)整理得my(t) + B'(t) + 缺(t) = kx(t)(O对y(f)点利用牛顿第二定律得如(° -砒5)卜-双小-o整理得(0 + (5x(0 +r(O<d）对图（d）所示系统，由牛顿定律宵/（O-（O = /nx（O其中r lrk + 上222（e）对加利用牛顿第二定律得整理得wy（r）+（ + B1）y（O 酗）3-2 列出图题3-2所示系统

5、的运动微分方程式.并求输入轴上的等效转动惯量丿和等效阻尼系数万。图中门、&为输入转矩及转角，孔为输出转矩。图题3 22解：对J列写平衡方程得(1)(2)(3)(4)式中巧为厶的输出转矩，力为4的输入转矩，血为力的转角。将（3）、（4）式代入（2）式，求得血，再将求得的E代入（1）式得 "Z 2"&+耳+尽&+空兀=7输入轴上的等效转动惯最丿为J = J + J? 5丿输入轴上的等效阻尼系数3为2b=b1 + b2VI 733 求图题3-3所示各电气网络输入和输出鼠间关系的微分方程式，图中4为输入电压, 为输 出电压。Equation Section

6、(Next)(1)(2)解：(a)方法1：设流过ZC回路的电流为h利用基尔霍夫电压定律得.dz%詁2对(2)式求导得(3) 式代入(1)得LC- + ti0 =珂dr2 0'方法2：设流过ZC回路的电流为心 利用基尔霍夫电流定律得0C对上式求导，并整理得-d2uZC莎-+气=叫(b)方法1：设流过Z的电流为1,利用基尔霍夫电压定律得“严陀+ “。"。胡“消除中间变量1 (过程同(a)得方法S设流过Z的电流为“流过6. 6的电流分别为耳和4 利用基尔霍夫电流定律得1 = 11+12即协"。心。普2器对上式求导，并整理得g + c?)(1)(2)(3)Cl(e>（

7、c）方法1：设流过&的电流为x流过G的电流为©利用基尔霍夫电压定律得% =(h + ) + f (.h+l2由(1)得(4)（4）代入（2）并后求导得(5)（5）、（4）代入（3）后,求导，再整理得&G 吗+（冬+9+1）虬丄叨 X烫+（色+9）虬丄4-dr2 & G <lr 心 -dr2 & C. dr 心方法2：设流过&的电流为小流过Ci的电流为流过&、6的电流为电阻C2上的电压为如2,利用基尔霍夫电流定律得 = "+12即4-% 汁广仕&1 dt马(1)吗一 , c血C、 马7 dr(2)由式（2）得如胡叭

8、-硒?-恥 C 】&空& A(3)将式（3）及其一阶导数代入（2）.并整理得尽q 血 1 “出坷尺CJ'dkj 1也矿+（瓦+房7石+貳。一也亍+（可+可）不+农（d）解法1:设流过回路的电流为h利用基尔霍夫电压定律得姙二和+*J池+览(1) XC1- (2) XC2得(1)(2)(3)q吗-（G + cjg恥一也对（2）求导得（3）代入（4）并整理得dt dt C2(4)譽自存宀警詁(& + 尽)g 芽+G + eg = Eg #+ Cm解法2：利用基尔霍夫电流定律.过程略。3-4 列出图题3-4所示机械系统的作用力丿0）£位移x（f）之间关系的澈分

9、方程。图题34/（I） 皿）图 ®3-5解：设杠杆转角为2对加使用牛顿第二定律得af(f)CQS0bcosO一 Bx(t) 一 kx(t) = mx(f)整理得丿衣(r) + Bx(f)+kx(f)=罗")b3-5 如图题3 5所示的系统，当外力几)作用F系统时"1和加2仃不同的位移输ttl xi(f)和X2(t), 试求y©与KO)的关系，列出微分方程式。(1)解：对血使用牛顿第二定律得-A(0 -(01 -后i(f) - *A(0对加2使用牛顿第二定律得(2)/(f) 屍y-坊比坊加為(f)由公式(2)得1(0 =叫乂2®+(B2 + A)

10、(0 - /(0(3)(4)对(1)式等号两边同时求微分一次得爼(0-召(f)-烦叭筑将(3)式表示的爼°)及其二、三阶导数代入(4)并整理得到加S d+ ® § + " 0 + % ) d 计。+ (加伙 + BQ d+ % )atatof*arw啤+耳岐+处)1 dr3 s dr 八3-6 求图题3-6所示的各机械系统的传递函数。才不计嵐按riltyaXZ(c)图題3-6(a)卩)中：X0输入.%(/)输出(c)、(d)中：Xj(/)输入，x2(t)输出解：(a)对加利用牛顿第二定律得f (t) 一 kx(t) = ntx(t)艮卩ntx(t) +

11、loc(t) =令X(s)=qx(r), F(s)=M),在初始条件为0的条件K等号两边同时做拉普拉斯变换得(ins2 + k)X(s) = F(s)由此得该系统的传递两数为(b)对加利用牛顿第二定律得/(0 -盹)- (0=(0即inx(t) + m(t) + Ax(0 = f(t)令X(s)=zx(r), F(s)=Z/),在初始条件为0的条件下，等号两边同时做拉 普拉斯变换得Biz *(ins2 + Bs + k)X(s) = F(s)jr(l)位移由此得该系统的传递函数为，K减F(s) ms2 + Bs + lc s2 + 2 做s + 吋 式中：K = t，铲耳rad宀A缶(O引入中

12、间变量X3(r),分别对X2(r)点和X3(r)点利用牛顿第二定律得-恥2 (0 - 士3 (01-也(t) = 0-恥3 (0- £2 (01-纽心(0- (01 = 0令i(s>Zxi©, X2(s)=Lx2(t'), X3(s)=Lx3(f),在初始条件为 0 的条件 下，对上两式等号两边同时做拉普拉斯变换得(Bs + 上2 )*2 ($) + BsX (j) - 0-®+&)匕($)+ BsX2(5)1 + 站(£) 0D |3(0(c)(1)(2)由(1)式得*3(S)=Bs代入(2)式并整理得此系统的传递函数为S鶉囂+站

13、;1 1 + lrr®尺2 7式中：t£, 7； = | + |(d)对Q©点利用牛顿第二定律得勺(/)耳為(f)- (0-*2(0-(0- (01 - o即31 + 3,)!,(/)+ (& + k2)x2 (0 =坊爼(f)+ &X(f)令z(s)=Zxi(r),基(S)=ZX2©,在初始条件为0的条件下，等号两边同 时做拉普拉斯变换得(坊 + B2)s+( + )J(s) (B* + 钠(s)由此得该系统的传递函数为%)一 X,s)_耳 s + h= h kj_k £s + l禺(s) 0 +鸟)S + &+匕)g

14、 4 +场V+妬忘 + 1化+ h 1式中:T峠,%比+ B?kZ3-7图题37所示夬0为输入力.系统的弹费刚度为乙 轴的转动惯屋为/阻尼系数为系统的输出为轴的转角&(r),轴的半径为厂。求系统的传递函数。解：利用相应力学定律得处)_碗)_肱(0=盹)即J0(t) + B0(t) + k0(t) = rft)令F(s)=M), ®(s)=Z&(f),在初始条件为0的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得Js20(s) + Bs&(s) + 坷s) = rF(s)所以传递函数为F(s) Js° + Bs + k3-8 证明图题3-8(a)和(b)所示的系

15、统是相似系统。图题3 3证明：(a)在33题中已经得到图题38 (a)所示电路的微分方程为令q（s）=z吗（r）b q（s）=z心（纫，在初始条件为o的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得ECfq（s）+（菩+ ? + l）sq（s） +為/（S）胡 cyq（s）+（菩+ ?）sq（s） +為 q（s） % C2弘2人C2人5由此得其传递函数为迪分二约分(RCS + R2C2s +1)分顾式(&Cs + l)(gs +1) + &C?s分子仙剛叱Cs +可）©S + ）（Rs + 右）gs + 右）+ 善 S戒分子分母狗除c）cKClC2（b）引入中间变量X,分别对X

16、和X2利用牛顿第二定律得-坊（x2-x'）-Bl（禺-幼-«（x? -书=0-B2（x- x- k2x= 0令Xi（s）=Zxi（r）, X2（s）=Lx2（f）, X（s）=Zx（f）,在初始条件为0的条件卜，等号两边同时做拉普 拉斯变换得-耳s*2(S)-祝(S) - BxsX2 (s) - sX (s) - kX2 (s) - X、(s) = 0 一耳宓-sX2 (s)-叫X®= 0消上X（s）得X、（s）（耳s + k）（B2s + 匕）+ B2k2s（a）和（b）貝有相似的传递函数.故这两个系统为相似系统。比较两式可知，两者参数相似关系为ky oc B2

17、8 &B严 C、B2 <xC2ococ 【注】若两个系统的数学模型(如微分方程、传递函数等)具有相同的形式，则称为相似系统。 在相似系统数学模型中占据相同位置的物理量，称为相似量。3-9 若某系统在阶跃输入x(0=l©作用时，系统的输出响应为y(r)=l-e-2z + e-试求系统的 传递函数和脉冲响应函数。解：(1)求传递函数传递函数是在初始条件为零的情况下，系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之 比。因为y(0)=ll+lH0,所以，题中所给的单位阶跃响应为非0初始条件下的响应，因此，不 能直接利用y(t)的拉氏变换求系统的传递函数。方法1：由响应可知，系统的

18、稳态响应为1,所以系统的静态增益为1；系统的瞬态响应有2 项指数衰减项，所以，系统的传递函数有两个极点，分别为-2和-1，即系统为二阶系统，何且 因为稳态响应为1，故町知系统微分方程的特解为1,由此可知，系统微分方程中不存在输入的 微分项，所以，系统的微分方程形式为+2金 磐+魔曲)=號x©在考堪初始条件的情况下，对上式做拉氏变换得s 眩(s)-莎(0) - yf(0) + 2 利s Y(s) - 2 轨y (0) + 強 Y(s)=強 X(s) 即(s? + 2 利s + 血)Y(s)=同 X(s) + 剪(0) + ”(0) + 2了晳(0) 亦即(1)YCs= 泾+ 吓(0)

19、+ 丁'(0)+2和j(0)(1)式中第一项即为系统0初始条件卜的响应的拉氏变换。 由单位阶跃响应得X0)=l/(0)=1将上述结果及X(s)=l/s代入(1)式得单位阶跃响应的拉氏变换%)=二_一 丄 + 山8”，s+ 2利s +坷s r + 2现s +坷对题中给定的单位阶跃响应求拉氏变换得r(s)=4X0J =1 1 1 + s s+2 s+1s2 + 4s+ 2s(s' + 3s + 2)(2)(3)(4)因为(2)和(3)式相等，所以(3)式分母与(2)式公分母比较得2*3可=2代入(2)式得w 、21s+4了 (s)=+ s + 3s + 2 s s? + 3s +

20、4因为(1)式中第一项即为系统0初始条件下的响应的拉氏变换，所以(4)式中的第一项即为系统0初始条件下的响应的拉氏变换，即：所以系统的传递函数为2 1s +3S + 2G(s) = Z")- s' + 3s + 2 sX(s) 1s方法2：由题中单位阶跃响应可知，系统的稳态响应为1,所以系统的静态增亞为1：系统 的瞬态响应有2项，所以，系统的传递函数令两个极点，分别为-2和-1,故系统在0初始条件 下的单位阶跃响应(对线性因果系统就是零状态响应)应该具有如下形式：yv(t) = l + Ae + Be因为初始条件为6所以有jlf (0) = 1 + X + B «

21、0y； (0) - 1- 2-0联立上两式解得A=, B = 7 所以，系统在0初始条件下的单位阶跃响应为儿(r)“+宀2严其拉氏变换为八、11221y(s)=-+s s + 2 s + 1 (s + 2)(s + l)s己知输入信号为单位阶跃信号，其拉氏变换为X(s)S所以，系统的传递函数为2 1G©丄(s)_(s + ?)(s + l)7X(s)1(s + 2)(s + l) s2 +3s + 22(2)求单位脉冲响应由传递函数的定义町知加)心讥($)而兀($)=4灵)=1所以$(s) = G(s)所以L"R儿(r) = %) = =L -+ 丿2 I 5 F+3s +

22、 2s + 2 s+1=-2 严 + lel "0这样求得响应为零初始条件卜的响应(零状态响应)。3JO运用方块图简化法则，求图题3-10各系统的传递函数。R(s)(b)图® 3-10解:(a)简化过程如图题解310 (a)所示，传递怖数为1+ (RC、+ 尽 q)s +1(b)简化过程如图题解3-10 (b)所示，传递函数为GQQQ + GjGJ1 + GQH) + GGH + GQQ (1 + qGJ相加点前移恥)分支点后移消去两个反馈回路消去反馈回路R(s)EG 尺+(耳q + 片 C + 片 cjs +1图趣解3-10 (a)图题3-10 (a)的简化过程(b)恥)

23、恥)J消公反馈回路和并联回路E消去反馈回路R(s)C(s)消去反馈回路R(£)QGjG/l + GjG1 + GfiH + G2GyH2 + Gfifi5( + GfiJ图题解3-10 (b)图题3-10 (b)的简化过程nG) 人 r/U> rw.xa>/<r)3-11画出图题3-11所示系统的方块图，并写出其传 递函数。解：分别对质最加和xi(t)利用牛顿第二定律得f(t)-k2x(t)- xx(/) = mx(ox(/) - o图题3-11整理得上两式的方块图分别如图题解3J1 (a)、(b)所示。盹)上2 g($)(b)耳)心)恥)k、+k2(d)加 F(/

24、) + k2x(t) /(r) + 从(f)xe 2严在初始条件为0的情况下，对上两式等号两边同时做拉普拉斯变换得(ins2 + 焉)X(s) =尸($)+闰禺($)ms +kx +Ar2«2图题解311(O所示,化简得方块图(d)o将方块图(a)、(b)合并得系统的方块图，如图解3J1系统的传递函数为G(s)=型二_F(s) 1 k；ms2 +k2 任 + k2说明本题也可以先求出两个串联弹簧的等效刚度 Jr上=4一，然后用一个方程即可求出传递函数。3-12画出图题3-12所示系统的方块图，该系统在开始时处于 静止状态，系统的输入为外力丿，输出为位移X©,并写 出系统的传

25、递函数。ft?：设加1的位移为xi(O,如图题312所示。分别対质彊血 和加2利用牛顿第二定律得图 03-12-5(/)- x(/)- AjXjCO- MjViCO/(O- 5i(O-勺焉x(f) - WjV(/) 整理得Wj3q(/) + 8$(f)+ 心不(f) Bx(t)WjX(f) + Bx(t) + k2x(t) = /(/) + 5xx(r) 在初始条件为0的条件下，对上两式等号两边同时做拉普拉斯变换得(inxs2 + Bs + 殆禺(s) = BsX(s)(in2s2 + Bs + Jc2)X(s) = F(s) + BsX、(s)即X(s) =m2s2 + Bs + k2F +

26、&X】(s)上两式的方块图分别如图题解312 (a)、(b)所示。Bsns2 + Bs + hh(s)(b)图题解312X(s) _m2s2 +Bs + k2F(s)_F?1将方块图(a)、(b)合并得系统的方块图.如图解312 (c)所示，化简一次得方块图(d)o 系统的传递函数为G(s)二mg + Bs + & m2s2 +Bs + k2mxs2 + Bs + k、+ (叫 + m2)Bs3 + (加禹 + 叫+ & + kJBs + kyk23-13求图题3-13所示系统的传递函数。3)图® 3-13解：利用梅逊公式(a )前向通路只有一条，该前向通路的

27、传递函数为1 1 L Z?4 = lx x xb = s s s有两条回路，传递函数分别为Ai = -x(-al) = -ssA2 =-X-X(-2) = - s ss因为所有两个回路具有一条公共支路，所以没有不接触回路，因此特征式为/=1-(厶 1 + 三)=1-(-企-冬)=1 +虫 + 冬s s s s'因为两个回路都与唯一的前向通路相接触，故从A中去掉两个回路的传递曲数即可得到前 向通路的特征式的余因子1=1将上述结果代入梅逊公式得到系统的传递函数为C(s)也b=R(s) Z A i +鱼 + 鱼+axs + a2s s2(b)前向通路有两条，这婀条前向通路的传递函数分别为g

28、= 1 X X & = SSf = x x xb2 =冬s s s有两条回路，传递函数分别为厶 I =lx(_q) = _SST 11/、 a2厶2 =-X-X(_d2)= Vs ss因为所有两个回路具有一条公共支路，所以没有不接触回路，因此特征式为4=1-(厶 i + A->)=i-(-工)=i+- s s° s s'因为两个回路都与两个前向通路相接触，故从中去掉两个回路的传递函数即可得到两个前向通路的特征式的余因子 1=1戸1将上述结果代入梅逊公式得到系统的传递函数为C(s)R®sb】+ b2s' + OjS + a2岑4_也+展岭+1吟z

29、 211+鱼召S S3-14图题3-14所小为发动机速度控制系统的方块图。发动机速度由转速测量装置进行测量。 试画出该系统的信号流图。负朝十扰解:其信号流图如图题解3 J4所示。3-15对传递函数u(s)=G(s)s° + 6$ + 8s' + 4s + 3试推导对应的状态方程表达式。解法1:(套公式一笨办法)。竺一G(s)-d8_ 】s + 5 +U(s)s?+4s + 3?+4s + 3 1与教材式(3-121)比较得到n = 2, Oq 3» 珂=-4 b；=5, b； = 2, b2=l 代入教材式(3-130)得状态空间表达式为式中，"为输入变量。解法 2：(参考现代控制工程一Modem Control Engineering.美Katsuhiko Ogata绪方胜 彦著.卢伯英，于海勋等译.北京：电子工业出版社，2000年5月第3版)令00 = = 1A = $ - 几=6-4x1= 202 =4-0-绻00 =8-4x 2-3x1 = -3式中，00, 01由下式确定代入上式得所以状态空间表达式为y