一种椭圆形方程的差分格式及迭代法求解

1、一种椭圆形方程的差分格式及迭代法求解一、问题及其差分格式考虑正方形域上的Laplace方程的第一边值问题：uxx+uyy=0，（0<x，y<1），u（0，y）=u（x，0）=u（x，1）=0,u（1,y）=sin兀y.（1）容易验证方程（1）的精确解为：u（x,y）=sin兀y.在xoy平面上作两组平行直线：x=x0+ih，y=y0+jh（i，j=0，±1,±2）.（x0,y0）是xoy平面上的任意一点，取（x0,y0）为坐标原点（0,0）,步长h=，这样，整个平面就被这两组平行直线构成的正方形网格所覆盖，两组平行直线的交点称为网格结点，只考虑属于正方形区域0，

2、1；0，1的结点。若一个结点的四个相邻接点都属于0，1；0，1，则称此结点为内部结点；若一结点的四个相邻结点至少有一个不属于0，1；0，1，则称此结点为边界结点。在每一个内部结点上，用二阶中心差代替问题中的二阶导数：（uxx）=（）=（uyy）=（）=则有：（）+（）由此得到(1)的差分格式为：uij=(ui+1,j+ui-1,j+ui,j+1+ui,j-1).(i,j=1,2,n-1),其中u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=sin兀y.二、三种迭代方法及收敛性比较对线性方程组Ax=b,系数矩阵A=(aij)nXn非奇异，且A的主对角元aij*0(i=1,2-n).1

3、 .Jacobi迭代法将A分裂成A=D-(D-A),其中D=diag(a11,a22-ann),于是方程人*可以写成Dx=(D-A)x+b或x=(E-D-1A)x+D-1b(2)令B=E-D-1A,g=D-1b,则(2)可写成：x=Bx+g这样得到了迭代公式：xk=Bxk-1+g(k=1,2)(3)2 .Gauss-Seidel迭代法将A分裂成：A=D(E-L)-DU其中:D=diag(a11,a22,ann),l=0000-a000-a-00-0U=0-100-000-10000对比(2)和(3)则得出：B=L+U于是方程Ax=b可以写成：D(I-L)x=DUx+b(4)显然D和I-L都是非

4、奇异的，因此可以用（I-L）-1D-1左乘上式的两端，得出：x=（I-L）-1+Ux+（I-L）-1D-1b由此得Gauss-Seidel迭代法的迭代公式：由此可见Gauss-Seidel迭代法是Jacobi迭代法的修正。表1Jacobi和Gauss-Seidel迭代法收敛速度的比较续表其中误差容限TOL取0.5E-8,兀取3.1415926。由表1的结果可知，Jacobi迭代法比Gauss-Seidel迭代法迭代公式简单，但收敛速度比Gauss-Seidel迭代法慢。当剖分网格加细即N增大时，误差随着减小，迭代次数相应增大，所得结果在误差范围内，基本达到要求，验证了该方法的可行性。3.SOR迭代法令：（6）引入了中间变量,3为松弛因子，当3=1时，（6）即为Gauss-Seidel迭代法。把（6）中的中间量消去，可得SORt代法的迭代公式:三、三种迭代法的解与准确解的比较表2N=6,3=1.4,迭带次数k=20时的