一级倒立摆的建模与控制分析

1、研究生现代控制理论及其应用课程小论文一级倒立摆的建模与控制分析院级名号学班姓学机械工程学院机研131尹润丰2013212020162014年6月2日目录1. 问题描述及状态空间表达式建立-0-1.1 问题描述.-0-1.2 状态空间表达式的建立-0-1.2.1 直线一级倒立摆的数学模型-0-1.2.2 直线一级倒立摆系统的状态方程-4-2. 应用MATLA吩析系统性能-5-2.1 直线一级倒立摆闭环系统稳定性分析-5-2.2 系统可控性分析-6-2.3 系统可观测性分析-6-3. 应用matlab进行综合设计-7-3.1 状态反馈原理-7-3.2 全维状态反馈观测器和simulink仿真-8-

2、4. 应用Matlab进行系统最优控制设计-10-5. 总结-12-1 .问题描述及状态空间表达式建立1.1 问题描述倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。下对于倒立摆系统，经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，它就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典

3、力学理论建立系统的动力学方程。下面采用其中的牛顿一欧拉方法建立直线一级倒立摆系统的数学模型。1.2 状态空间表达式的建立1.2.1 直线一级倒立摆的数学模型图i.i直线一级倒立摆系统本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表i.i所示表直线一级倒立摆系统参数符号意义实际数值M小车艇量1.096kg接杆质量0,109kgf小车摩擦力0JN/nisec1提杆招动轴心到杆质心的长度0.25m1撰科惯后600223kg*m图1.2是系统中小车的受力分析图。其中,Nff口P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。NP图1.2系统中小车的受力分析图图1.3是系统中摆杆的受力分析图。Fs

4、是摆杆受到的水平方向的干扰力，Fh是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为a的干扰力Fg0图1.3摆杆受力分析图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：11MxFfxN设摆杆受到与垂直方向夹角为a的干扰力Fg,可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS垂直干扰力Fh产生的力矩。FSFg sin1 2Fh Fg cos对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:N FSSdm一dt即:N mx ml cos ml 2 sinFf sin对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程:P mg Fhd2mlicosdt2即P m

5、g Fg cos力矩平衡方程如下：FJ sin cosFJ cos sing g代入可口 N,得到方程：22Fgl sin cos 2Fgl cos sin I ml co。 gg2ml sin ml cos1 6Pl sin Nl cos I 01 7mglsin ml2 2sin2 mkcos 0 1 8设，（小是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），代入上式假设小<<1,则可进行近似处理:d 2cos 1,sin , 0,cos2 1,sin2dt19由于：Iml23方程化为：4 .2Fa sin cos ml mg g3令：Ff Fq sin cos ，则1 9可化

6、为： gmx4 , 2Ff - ml mg mx1 101 10即是化简后的直线一级倒立摆系统微分方程。带入实际数据后，微分方程为:Ff29.43x2111m当忽略了Ff时，系统的微分方程如式（1-12）所示29.43x112忽略干扰力后，直线一级倒立摆系统是单输入二输出的四阶系统，考虑干扰力后，直线一级倒立摆系统是二输入二输出的四阶系统。其内部的4个状态量分别是小车的位移x、小车的速度x、摆杆的角度8、摆杆的角速度。系统输出的观测量为小车的位移x、摆杆的角度8。其控制量为小车的加速度13将微分方程(1-12)化为关于加速度输入量和角度输出量的传递函数:Rss229.41.2.2直线一级倒立摆

7、系统的状态方程实验所使用的直线一级倒立摆系系统是加速度x作为系统的控制输入，所以根据式(1-12)建立系统的状态方程为：xxxx3g34l4l整理后得到系统状态方程:01000x0000丫1x00010003g03g4l4lx1000x000100将实际参数代入得到一级倒立摆系统的状态空间方程为:x0100x0x0000x1000100029.403x1000x00010000A00100000029.4001001 B032.应用MATLA吩析系统性能2.1 直线一级倒立摆闭环系统稳定性分析构建如图1.4所示闭环系统，则系统的闭环极点为（-5.1381）、（5.1381）RG)图1.4闭环系

8、统结构图由于有实部为正的极点，所以闭环系统不稳定，必须设计控制器使系统稳定。可以通过MATLABSimulink中对其进行仿真，判断其稳定性。构建图1.4所示系统的仿真程序e1，加入1m/s2的阶跃信号0.2-Time offset 0由上图也能清楚的知道一级倒立摆系统是不稳定的2.2 系统可控性分析系统的可控性可根据秩判据进行可控性判断。线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是：rank(BABAn1B)n,其中n为系统矩阵A的阶次,M(BABAn1B)为系统的可控性矩阵。matlab程序及运行结果如下：> >A=0100;0000;0001;0029.40;> >B

9、=0;1;0;3;> >T=ctrb(A,B);> >rank(T)ans=4由于rank(Ic)=4,可见该系统是完全可控的。2.3 系统可观测性分析系统的可控性可根据秩判据进行可控性判断。线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是：CCArankNrankn或rank(CTATCT(AT)2CT(AT)n1CT)n其中n为系数矩阵A的阶次。matlab程序及运行结果如下：> >A=0100;0000;0001;0029.40;> >C=1000;0010;> >T0=obsv(A,C);rank(T0)ans=4由于rank(T0)

10、=4，故该系统是可观测的。3.应用matlab进行综合设计3.1 状态反馈原理设n维线性定常系统：xAxBu,yCx其中x,u,y分别是n维、p维、q维向量；ARCh别是n*n维，n*p维，n*q维实数矩阵。状态反馈系统的控制量u取为状态x的线性函数：uvKx其中，v为p参考输入向量，K为p*n维实反馈增益矩阵。加入状态反馈后系统的结构图如图3.1所示：A<“二K<ZI图3.1系统的全状态反馈结构图则系统状态反馈的动态方程为：xABKxBv,yCx3.2全维状态反馈观测器和simulink仿真状态反馈的的实现是利用状态反馈使系统的闭环极点位于所希望的极点位置。而状态反馈任意配置闭环

11、极点的充分必要条件是被控系统可控。直线一级倒立摆系统是可控的。设系统期望极点为1234=2343i43i,则系统期望特征多项式为：*assis2s3s4列写状态反馈系统的特征多项式：detSIABK令两个特征多项式各项系数对应相等，则可解出K阵。由matlab求出状态反馈矩阵K,编程如下：A=0100;0000;0001;0029.40;>>B=0;1;0;3;>>K=acker(A,B,-2-3-4+3i-4-3i)K=-5.1020-5.884435.16736.2948系统加入0.1m/s2的阶跃输入，在构成的状态反馈调节器控制下，MATLAB进行系统的阶跃响应仿

12、真，编程如下：A=0100000000010029.40;B1=0103;C=1000010000100001;D1=0000'dt=0.005;ieof=801;fori=1:ieof;U(:,i)=0.1;T(i)=i*dt;end;%离散化op=-2%期望极点-3-4+3i-4-3i;K=place(A,B1,op)Ak0=(A-B1*K);Bk0=B1;Ck0=C;Dk0=D1;lqrop=eig(Ak0);x=0000'dt=0.005;%离散时dA,dB=c2d(Ak0,Bk0,dt);%经离散化得到离散状态方程Ak1=(A-B1*K);Bk1=B1;Ck1=C;D

13、k1=D1;sys=ss(Ak1,Bk1,Ck1,Dk1);Y,X=lsim(sys,U,T);plot(T,-Y),grid;legend('Cart','VCart','single','Vs');图3.2极点配置为卜2-3-4+3i-4-3i时的全状态反馈仿真图横轴时间单位秒，从图中可以看出，系统稳定。4.应用Matlab进行系统最优控制设计最优控制问题就是寻找一个控制系统的最优控制方案或最优控制规律，使系统能最优地达到预期的目标。对于线性连续系统，提出二次型目标函数：1 1tfJx(tf)Sx(tf)xtQtxtutRtu

14、tdt2 2t0其中，R(t)正定，S及Q半正定，且设它们为对称矩阵，t0,tf固定。当tf趋近无穷时，在y(t)x(t)情况下，该问题即为无限时间输出调节器问题。此时稳态误差项趋于零，在此题目中假设二次型最优控制性能指标为：JxTQxuTRudt0500000其中：QR=1030000050000010Matlab编程如下:A=0100;0000;0001;0029.40;B=0；1；0；3；C=1000;0100;0010;0001;D=0000;Q=500000;03000;00500;00010;R=1;>>K,P,e=lqr(A,B,Q,R)K=-22.3607-17.469770.104113.2462在simulink下进行仿真模型的建立，如图4.1:图4.1LQR仿真模型将K输入后，进行仿真，结果如图4.2:图4.2LQR仿真结果由图可见，在二次型最优控制下系统稳定性得到明显改善。5.总结通过对一级倒立摆的分析可知，在开环情况下，倒立摆的平衡系统是不稳定的的；通过秩判据可知，其系统是可控可观测的；通