与圆的切线有关的计算与证明

1、与圆的切线有关的计算与证明类型之一与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图Z12-1,0O的切线PC交直径AB的延长线于点P,C为切点，若/P=30°,0。的半径为1,贝UPB的长为_1【解析】如答图，连结0c?PC为00的切线，？?/PC390°,在RtOC冲,V0C=1,ZP=30°,?0P= 20C= 2,图 Z12- 1经典母题答图?PB=OF-0B=2-1=1.【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直.【中考变形】2017天津已知AB是00的直径，AT是00的切线，/ABT=

2、50°,BT交00于点C,E是AB上一点，延长CE交00于点D(1)如图Z12-2,求/T和/CDB的大小；(2)如图，当BE=BC时，求/CD0的大小.图Z12-2解：（1）如答图，连结AC/ AB 匚 40A CD* / CAB= 40中考变形答图中考变形答图?AT是。0的切线，AB是。0的直径,?AT±AB,即/TAB=90°,?/AB匚50°,AZT=90°由AB是O。的直径，得/AC*90?/CAB=90°/ABC=40如答图，连结AD,在八BCE中,BE*BC,/EBC*50°,/./BCE-/BEC*65

3、76;,A/BA/BC*65°VOA*OD二/OD*/OA*65°,?/AD(*/ABC*50°,?/CD*/Ok/AD(*65°50°*15【中考预测】B, BC 为。O的弦，OCL OA OA2017宿迁如图Z123,AB与OO相切于点与BC相交于点P.(1)求证：AP*AB中考预测答图若O44,AB=3,求线段BP的长.图Z12-3解：(1)证明：VO(*OB?/OC*/OBCvAB是OO的切线,二OBLAB,?/OBA=90,?/ABPA/OB*90vOCAQ?/ACG90,:±OCB-ZCPO=90,vZAPBZCPQ?/A

4、PB=ZABP二AP=AB;如答图，作OHLBC于H在RtOAB,vOB=4,A吐3,?O心32+42=5,vAP=AB=3,?PO=2.在RtPOB,PC=OC+OP=25,1 1v-PC-OHk-OC-OP22'OP-OC45PC_5一OH=16y5,v ofL Bq ?ch= bhBC=2CH=CH=oCoH=?BP=BC-PC=M2艮座5类型之二与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】经典母题答图已知：如图Z124,A是。0外一点，AO的延长线交OO于点C,点B在圆上,且A吐BC,ZA=30°,求证：直线AB是O0的切线.图Z124证明：如答图，连结OBvOB=OCA

5、J±BC,ZA=30?ZOBC=ZC=ZA=30°,?/AOff/C+/OBG60vZABO=18。一(/AO+ZA)=180°(60°+30°)=90°,?AB±OB又vOB为OO半径，二AB是OO的切线.【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”.【中考变形】1.2016黄石如图Z12-5,OO的直径为幽黑CO痢解于A,E),AD±CD(1)若BC=3,AB=5,求AC的值；(2)若AC是ZDAB的平分线，求证：直线图Z125中考变形1答图解：(1)vAB是OO直径，C在OO上

6、，?'?ZACB=90°,又vBC=3,AB=5,?由勾股定理，得AC=4;证明：如答图，连结OCvAC是ZDABB平分线，ZDAC=ZBAC又vADLDC?/ADC=ZACB=90°,?ADSAACB?/DCAZCBA又vOA=OC?ZOA3ZOCAvZOA(+ZOBC=90,:ZO(+ZAC4ZOCffi90°,?直线CDOO的切线.2.2017南充如图Z126,在RtACB中,ZACB=90°,以AC为直径作OO交AB于点D,E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.(1)求证：DE是OO的切线；若CF-2,DF=4,求。0直径的长

7、.图Z12-中考变形2答图6【解析】连结0D欲证DE是。O的切线，需证ODLDE需证/0D490°,而/AC*90°,连结CD根据“等边对等角”可知/ODEZOCE=90°,从而得证；(2)在RtZOD叶，利用勾股定理建立关于半径的方程求解.解：(1)证明：如答图，连结ODCD?AC是8的直径,?/ADJ900.?ZBDG90.又TE为BC的中点，1DE=2BC*CE?/EDC=ZECDTOD=OC?/O*ZOCD?ZED(ZOD*ZECDZOCZAC*90?ZOD*9O,?DE是OO的切线；(2)设O。的半径为x.在RtOD叶,OD+DF*OF,即x2+42*(

8、x+2)2,解得x*3.AOO的直径为6.【中考预测】如图Z12-7,AB是OO的直径，点C,D在OO上,ZA*2ZBCDaE在AB的延长线上，ZAEDZABC(1)求证：DE与OO相切；若BF*2,DF*10,求OO的半径.图Z12-7中考预测答图解：（1）证明：如答图，连结0D?AB是的直径，?/ACB=90°,?/A+/ABC=90°,?/BOB2/BCD/A=2/BCD?/BOB/A,vZAED=ZABCB+OZAED=90°,?/ODE=90,即口ODLDE二DE与OO相切；如答图，连结BD,过点D作D*BF于点HvDE与OO相切，?/AC+ZBC-ZOD+ZBDE=90vZAC-ZOBDZOB庄ZODB