3.6二维随机变量函数的分布ppt课件

1、第五节第五节 二维随机变量的函数的分布二维随机变量的函数的分布 的分布的分布 M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 小结小结 ZXY 在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论: 当随机变量当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何的联合分布已知时，如何求出它们的函数求出它们的函数Z = g ( X, Y ) 的分布的分布?引言引言一、二维离散型随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量函数的分布设设 (, )X Y是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量, ,其联合分布列为其联合分布列为 (, )Zg X Y那么那么 是一维的离散型随机变量是一维的离

2、散型随机变量 其分布列为其分布列为 ,.)2 , 1,( ,jipyYxXPijji,.)2 , 1,( ,(jipyxgZPijji(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp11p12pijZ=g(X,Y) g(x1,y1) g(x1,y2)g(xi,yj) 例例 1 1 设设 的联合分布列为的联合分布列为 (, )X Y YX-2-1100.20.10.310.300.1分别求出分别求出1X+Y；（；（2X-Y；（；（3X2+Y-2的的分布列分布列解解 由由X X，Y Y的联合分布列可得如下表格的联合分布列可得如下表格 (0,-2)(0,-1)(0,1)(1,-2)(1,

3、-1)(1,1)概率0.20.10.30.300.1-2-11-10221-1320-4-3-1-3-20(, )X YXYXY22XY 解解 得所求的各分布列为得所求的各分布列为 X+Y-2-1012概率0.20.400.30.1X-Y-10123概率0.30.10.10.20.3X2+Y-2-4-3-2-10概率0.20.400.30.11、Z=X+Y 例例2 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f (x,y) , 求求 Z=X+Y 的概的概率密度率密度. Ddxdyyxf),(这里积分区域这里积分区域 D=(x, y): x+y z解解Z=X+Y的分布函数是的分布函数是: ZFzP Z

4、z P XYz 它是直线它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面及其左下方的半平面.xyzy0二、二维连续型随机变量函数的分布二、二维连续型随机变量函数的分布 化成累次积分化成累次积分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( 固定固定z和和y,对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换, 令令 x=u-y,得得 zZdyduyyufzF),()( zdudyyyuf),(变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序xyzxy0y由概率密度与分布函数的关系由概率密度与分布函数的关系, 即得即得Z=X+Y的概率的概率密度为密度为: 由由X和和Y的对称性

5、的对称性, fZ (z)又可写又可写成成 dyyyzfzFzfZZ),()()(以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()( zZdudyyyufzF),()( 特别地，当特别地，当 X 和和 Y 独立，设独立，设 (X,Y) 关于关于 X , Y 的边的边缘密度分别为缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为则上述两式化为: dyyfyzfzfYXZ)()()(dxxzfxfzfYXZ)()()(下面我们用卷积公式来求下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的概率密度. 卷积公式卷积公

6、式 例例3 若若X和和Y 是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量 , 具具有相同的分布有相同的分布 N(0,1) , 求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.dxxzfxfzfYXZ)()()(解解 由卷积公式由卷积公式 222212z xxeedx 22()4212zzxeedx 22()212zxzxeedx 22()4212zzxeedx 令令,2ztx得得 Zfz 22412zteedt 2412ze 2222122ze 可见可见 Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2).用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明: ),(222121NYXZ 若若X和和Y 独立独立

7、,),(),(222211NYNX 结论又如何呢结论又如何呢? 此结论可以推广到此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论请自行写出结论. 若若X和和Y 独立独立 , 具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1) , 则则Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2). 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布分布.更一般地更一般地, 可以证明可以证明:2iiiNX，相互独立，如果随机变量nXXX21个实常数，为，又naaan21niiiXaZ1令niiiniiiaaNZ1221，则2、M=max(X,Y)及

8、及N=min(X,Y)的分布的分布 设设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为布函数分别为FX(x) 和和 FY(y),我们来求我们来求 M = max(X,Y) 及及 N = min(X,Y) 的分布函数的分布函数.FM(z)=P(Mz) =P(Xz,Yz)由于由于 X 和和 Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到 M = max(X,Y) 的分的分布函数为布函数为: =P(Xz)P(Yz)FM(z)1. M = max(X,Y) 的分布函数的分布函数即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) Mz XzYz 即有即有 FN(z)= 1-

9、1-FX(z)1-FY(z) =1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz) =1-P(Nz)2. N = min(X,Y) 的分布函数的分布函数Nz XzYz 由于由于 X 和和 Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到 N = min(X,Y) 的分布的分布函数为函数为: =1- P(Xz)P(Yz)FN(z) 设设 X1,Xn 是是 n 个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们它们的分布函数分别为的分布函数分别为 我们来求我们来求 M=max(X1,Xn) 和和N=min(X1,Xn)的分布函数的分布函数.(i = 1, , n) 用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的方法

10、，可得 N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为: 12nMXXXFzFz FzFz 121111nNXXXFzFzFzFz iXFz 特别地，当特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同相互独立且具有相同分布函数分布函数F(x)时，有时，有 nMFzF z 1 1nNFzF z 例例7 设系统设系统 L 由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统 连接而成连接而成,连接的方式分别为连接的方式分别为 (i) 串联串联, (ii) 并联并联, (iii)备用备用 (当系统当系统 损坏时损坏时, 系统系统 开始工作开始工作) , 如下图如下图

11、所示所示.设设 的寿命分别为的寿命分别为 已知它们的概已知它们的概率密度分别为率密度分别为12,L L12,L L1L2L, ,X Y ,0 ,0 ,0 ,xXexfxx ,0 ,0 ,0 ,yYeyfyy 0,0 其中其中 且且 试分别就以上三种连接方试分别就以上三种连接方式写出式写出 的寿命的寿命 的概率密度的概率密度. LZXY1L2LXY1L2L1LXY2LXY1L2L解解 (i) 串联的情况串联的情况 由于当系统由于当系统 中有一个损坏时中有一个损坏时, 系统系统 L 就停就停止工作止工作,12,L L所以此时所以此时 L 的寿命为的寿命为 min,ZX Y ,0 ,0 ,0 ,xX

12、exfxx 由于由于 X 的概率密度为的概率密度为所以所以 X 的分布函数为的分布函数为 xXXFxft dt xXXFxft dt x0 xx 0 xXFxdt 0 当当 x 0 时时 , 000 xtXFxdtedt 1xe 当当 x 0 时时 , 1,0 ,0 ,0 ,xXexFxx 故故 类似地类似地 , 1,0 ,0 ,0 ,yYeyFyy 可求得可求得 Y 的分布函数为的分布函数为于是于是 的分布函数为的分布函数为 min,ZX Y = 1-1-FX(z)1-FY(z) minFz()1,0 ,0 ,0 , zezz 的概率密度为的概率密度为 min,ZX Y (),0 ,0 ,0

13、 , z ezz minminfzFz XY1L2L(ii) 并联的情况并联的情况 由于当且仅当系统由于当且仅当系统 都损坏时都损坏时, 系统系统 L 才停才停止工作止工作,12,L L所以此时所以此时 L 的寿命为的寿命为 max,ZX Y 故故 的分布函数为的分布函数为 max,ZX Y maxXYFzFx Fy (1)(1) ,0 ,0 ,0 ,zzeezz XY1L2L maxmaxfzFz (),0 ,0 ,0 ,zz ee ezz 于是于是 的概率密度为的概率密度为 max,ZX Y (iii) 备用的情况备用的情况因此整个系统因此整个系统 L 的寿命为的寿命为 由于当系统由于当系统 损坏时损坏时, 系统系统 才开始工作才开始工作,1L2LZXY dyyfyzfzfYXZ)()()(当当 z 0 时时 , 0.Zfz 当当 z 0 时时 , 0z