元二次方程求根公式

1、一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2 + bx + c=O(a工0)进行配方，当b2 4ac0时的根 -Z?_ 4恥 JC =为二 .该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方 法称为求根公式法，简称公式法.说明：(1) 一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2 + bx + c=0(a工0);(2) 由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数 a、b、c的值决定的;(3) 应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式 -b - Aac(1) 当b2 4ac0时

2、，方程有两个不相等的实数根 厂 “(2) 当b2 4ac=0时，方程有两个相等的实数根(3) 当b2 4acv 0时，方程没有实数根.、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破 这一难点的关键是在对四种方法都会使用的根底上，熟悉各种方法的优缺 点。(1) “开平方法一般解形如“类型的题目，如果用“公式法就显得多余的了。(2) “因式分解法是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。(3) “配方法是一种非常重要的方法，一般不使用，但假设能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法之后，“公式法之 前。如方程 -一-；用因式分解，那么6391这个数太大，不

3、易分解；用公 式法，也太繁；假设配方，那么方程化为 _ ，就易解，假设一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。(4) “公式法是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常 数项，假设方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(3) 根的判别式是指b 4ac,而不是Il；1三、典型例题讲解例1、解以下方程:分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算,解：(1)因为 a=1,c=102x1原方程可化为- 因为 a=1-，c=2所以所以一-因为 a=1, -, c二一1所以- . - - .所以- 所以 I .总结:(1) 用求根公式法解一元二次方程首先

4、将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将 其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2) 用求根公式法解方程按步骤进行.例2、用适当方法解以下方程： - 1 厂、一；| :. /：.； .：分析:要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优 缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。就直接开平方法、配方法、公 式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平 方法、因式分解法是特殊方法。 公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常 数项，假设方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元- 4

5、 士 J坍二次方程的求根公式亠求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。如，可以直接开平方，就能马上得出解；假设此时还用求根公式就 显得繁琐了。 配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用， 但并不是一定不用，假设能合理地使用，也能起到简便的作用。假设方程中的 一次项系数有因数是偶数，那么可使用，计算量也不大。如，因为 224比拟 大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2。可以利用用配方法来解，经过 配方之后得到- -一，显得很简单。 直接开平方法一般解符合型的方程，如第小题。因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题 中首先考虑的方法，假设一元二次方程的一般式的左

6、边不能分解为整数系数 因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。+ = 2解：1两边开平方，得二所以1 -配方，得二 一亠丨一所以-= ；-所以-1； 二丨1配方，得 所以：所以；_ 1 _因为心所以_ 1-=4 + 20=24_ 22# _ 17 所以“ 一l-h/61-屆X、 工 所以- :配方：Ill - : /- : J .所以：1所以 I _- - ：一 1 -整理，得二I所以11-飞 :- I. I. - I移项，提公因式，得-4- 11J所以 - -小结：以上各题请同学们用其他方法做一做，再比拟各种方法的优缺点，体会如何选用适宜的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。例3、关于x

7、的方程ax2 3x +仁0有实根，求a的取值范围.1-解：当a=0时，原方程有实根为-(3) Ai0即口 -时.假设aM 0时，当.4 原方程有两个实根.疋9Q生一故，综上所述a的取值范围是“.小结：此题要分方程ax2 3x+仁0为一元一次方程和一元二次方程时讨论，即分当a=0与aM0两种情况.例4、一元二次方程x2 4x+ k=0有两个不相等的实数根.(1) 求k的取值范围；(2) 如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2 4x + k=0与x2+ mx仁0有一个相同的根，求此时 m的值.解：(1)因为方程x2 4x + k=0有两个不相等的实数根，2所以 b 4ac=16 4k0，得

8、 k4.(2)满足k4的最大整数，即k=3.此时方程为x2 4x+ 3=0,解得Xi=1, X2=3. 当相同的根为x=1时，那么1+ m-仁0,得m=Q8m = p 当相同的根为x=3时，那么9 + 3m-仁0,得 ;_8所以m的值为0或I例5、设m为自然数，且3m40方程/-维胸-资+ 4沪-14刪+, 有两个 整数根求m的值及方程的根。解. J，J，-:-T方程有整数根，二4 (2m+ 1)是完全平方数。/ 3m40 二 72n 181 2m 1 值可以为 9, 25, 49m的值可以为4, 12, 24。当m=4时方程为-：v - 解得x=2或x=8当 m=12寸方程为；1- 解得 x=26或 x=16当 m=24寸方程为 J 二1-1 解得 x=52或 x=38总结：此题先由整数根确定2m+ 1是完全平方数，再由3m4中m为整数确定 m的值，再分别试验求x，是此题特点齐(沪-4龊?0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复