第五章三角函数与三角恒等变换(教案）

1、§5.1 三角函数的概念、同角关系、诱导公式教学目的：1.熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式;2.掌握任意角的三角函数概念、符号、同角三角函数公式和诱导公式;教学重点：学会根据一个角的某个三角函数值求其余的三角函数值，要注意题设中角的范围，并就不同的象限分别讨论求值；教学难点：掌握和熟练运用诱导公式，运用诱导公式进行化简和推理，要注意诱导公式运用中的角度的象限和三角函数的符号；教学过程：一、知识梳理1 角的定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。2.角在直角坐标系中的表示：角的顶点在原点，始边在x轴的

2、非负半轴上.(1) 象限角:角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。(2) 象间角:角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象间角。(3) 与角终边相同的角的集合：|=k360°+,kZ终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。(4) 正确理解：“间的角” “第一象限的角”，“锐角”，“小于的角”，这四种角的集合分别表示为：， 。3弧度制: 规定(1)等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角,作为弧度制的单位;(2) 任一已知角的弧度数的绝对值。(3) 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。这种以“弧度”作

3、为单位来度量角的制度叫做弧度制。比值l/r与所取圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关。4弧度与角度的换算：1800=（弧度），1弧度=（180/）057018。5弧长公式:; 扇形的面积公式： 。6. 任意角三角函数的定义:在角的终边上任意一点P（x，y）与原点的距离是r（r=0），则sin=，cos=，tan=.三角函数两件事:一是符号,二是比值,且比值与P上在终边上的位置无关.7.同角三角函数关系式:sin2+cos2=1（平方关系）；=tan（商数关系）；tancot=1（倒数关系）.8.诱导公式+2k（kZ）、±、2的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函

4、数值的符号.函数名不变，符号看象限。另外：sin（）=cos，cos（）=sin.函数名改变。二、典型例题例1：已知是第二象限的角（1） 指出2所在的象限，并用图象表示其变化范围；（2） 若还满足条件|+2|4，求的取值区间;（3） 若,求的范围. 解：依题意，2k+/22k+（kZ）（1） 所以k+/4/2k+/2（kZ），若k为偶数，则/2是第一象限的角；若k为奇数，则/2是第三象限的角；其变化范围如图中的阴影部分所示（不含边界）（2） 因为|+2|4，所以62，即（2k+/2，2k+）6，2，结合数轴可知，（3/2，）（/2，2。(3)又提炼方法: 理解象限角、终边相同的角、区间角的概念

5、，掌握角的取值范围与2、/2角的取值范围间的相互关系。例2：化简（1） （） （2）; (3) 若sin·cos0，sin·tan0，化简+. 解：（1）当k为偶数时，原式=1；当k为奇数时同理可得，原式=1，故当时，原式=-1。 （2）原式=3(3)由所给条件知是第二象限角，则是第一或第三象限角.原式=关键点注:（1）分清k的奇偶，决定函数值符号是关键；（2）平方式降次是化简的重要手段之一。例3：（1）确定lg（cos6sin6）的符号； （2）若+=0，判断cos（sin）sin（cos）的符号。 解：（1）6是第四象限的角，cos60，sin60，故cos6sin60

6、；（cos6sin6）2=1-2sin6cos61，cos6sin61，lg（cos6sin6）0（2）由题意可得=0，sincos0，故在第二或第四象限。 若在第二象限，则0sin1，-1cos0，cos（sin）0，sin（cos）0；原式0。 若在第四象限，则-1sin0，0cos1，cos（sin）0，sin（cos）0；原式0。思路方法:判断角所在的象限是解决此类问题的关键。对于用弧度制表示的角不好判定所在象限时，可转化成角度来表示。例4：时钟上自7点整到分针与 时针第一次重合,求分针转过的弧度数.如果分针长11cm,求分针转过扇形的面积.解:设分针转过的弧度数的绝对值为x,则时针转

7、过的角的弧度数的绝对值为,由分针、时针转过的时间相等得：（分钟）。分针转过扇形的面积 答：分针转过，转过扇形的面积为77cm2.研讨：证明：(1)(2) 若sin=msin,tan=ntan,且,为锐角,则证明(1)法一：右边=左边法二：要证等式即证只需证 即证即显然成立,所以原等式成立。(2)(注意结论,应消去)由 由sin=msin 得,代入得ncos=mcos与平方相加得(n2-1)cos2=m2-1.是锐角, 思维点拨：证等式常用方法：从一边推另一边；化繁为简；左右归一；变形论证；综合法；比较法等.常用变形技巧：切割化弦，化异为同，凑分母，“”的代换归纳小结：1.任意角、弧度制、与角度

8、制的互化，弧长、扇形面积公式；任意角的三角函数概念.2.在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限正确确定三角函数值的符号,求出相应的值.3.弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要注意公式的变形使用，要尽量减少开方运算，慎重确定符号.,并注意“1”的灵活代换:如1=sin2+cos2=sec2tan2=csc2cot2=tan·cot.4.应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀.5.，三个式子中，已知其中一个式子的值，求出其余两个式子的值。§5.2 三角恒等变

9、换 求值与化简 教学目的：1.掌握和、差、倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和证明。教学重点：掌握利用和、差、倍角公式化简、求值和证明三角恒等式方法和技巧。教学难点：三角函数式的求值的类型与方法。教学过程：一、知识梳理1.两角和与差公式所在的象限由a,b的符号而定) 2.倍角公式3. 想想这些公式的推导与联系；解题时要会“正用”，“逆用”，“变形使用”,特别是余弦的二倍角公式,要熟练掌握正用(化单角),逆用(降次)和变形运用（因式而宜）.4解三角函数问题看两个焦点:一是角的变化,二是函数名称的联系,这是合理选用公式的重要依据.5.其它公式及变形:

10、；(降次公式)由此可得半角公式:；万能公式:；6.三角函数式的求值的类型一般可分为:(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值化非特殊角为特殊角，再用公式计算;（2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值变换角,找出已知角与所求角的联系;（3）“给式求值”：给出的三角函数式的值，求其他式子的值化简已知式或所求式，再求; （4）“给值求角”：先求角的某一三角函数值,结合角的范围求出角,要特别注意角的范围对三角函数值的影响，有时需要讨论。7.三角函数式化简的目标与要求: 化为单角或同角，函数名称少，次数尽量低，尽量不含分母和根号8.证明及其基本方法: （1）化繁为简

11、法（2）左右归一法 （3）变更命题法（4）条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的区别与联系。9.无论是化简还是证明都要注意：（1）角度的差异与联系;（2）函数名称间的变换和联系，升降幂，化切为弦是常用手段;（3）角的范围对三角函数取值、符号的影响；二、典型例题例1：求值； 解(1):(2)例2：(1)设(2) 已知且求解：(1) 因为所以所以，所以故(2) 原式=又所以为第三象限角，所以思路方法: 1.三角函数变形着眼于两点：一是寻找角的变换,二是分析函数式的结构与联系，合理利用公式。2.涉及+、及的正切和差与积，通常用正切公式的变形公式。例3： 已知、（0，），sin+sin=s

12、in，cos+cos=cos，求的值.解：由已知，得sin=sinsin，cos=coscos.平方相加得（sinsin）2+（coscos）2=1.2cos（）=1.cos（）=.=±.sin=sinsin0，.=.解析：1.求角一般要先求出它的一个三角函数值;2.解题关键有二:一是消元,二是凑差角余弦公式,倒用.3.注意隐含条件sin0，否则产生增根.例4：已知为第二象限角，cos+sin=，求sincos和sin2+cos2的值.解：由cos+sin=平方得1+2sincos=，即sin=，cos=.此时k+k+.cos+sin=0，sincos=0，cos0，sin0.为第三

13、象限角.2k+2k+，kZ.sincos，即sincos0.sincos=，sin2+cos2=2sincos+12sin2=.研讨：（2005湖南）已知在ABC中，sinA（sinBcosB）sinC0，sinBcos2C0，求角A、B、C的大小.解法一 由得所以即因为所以，从而由知 从而由即由此得所以解法二：由由、，所以即由得 所以即 因为，所以由从而，知B+2C=不合要求.再由，得 所以例5：（1）已知为第四象限角，化简：（2）已知，化简(3) tan20°+4sin20°解：（1）因为为第四象限角 所以原式= （2），所以原式= (3) tan20°+4s

14、in20°=(另法:可以利用和差化积)思路方法：1.化简的一般原则是:化单角或同角，函数名称少，没有根式，能求值的要求出值；2根式形式的三角函数式化简常采用有理化如（1）或升幂公式如（2）例6：（1）已知sin(x)=，0<x<，求的值。（2）已知.解：（1）解法1：，cos(+x)=sin(-x) 又cos2x=sin(-2x)=sin2(-x)=2sin(-x)cos(-x)=2 cos(-x)=2解法2： =（2）解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得即 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故 由式和式得 .因此，由两角和的正切公式解法二：由题设条件，应用二倍角余

15、弦公式得解得由由于，故在第二象限，于是.从而以下同解法一.提炼方法：（1）题：变换角： 及 ，利用余角间的三角函数的关系便可求之。（2）题是利用sin±cos与sin、cos的关系，求出了sin、cos；提醒我们解题思路的灵活性。例7：若，求+2。解：，+2,又tan2=,+2=思路方法：“给值求角分两步”：第一步，求出此角的某一三角函数值；第二步，根据此角的范围求出此角。在确定角的范围时，要尽可能地将角的范围缩小，否则易增解。例8：求证：证：左边=右边=所以左边=右边，即等式成立。思路点拨：切化弦,降次.或左右归一.研讨：在ABC中，设tanA+tanC=2tanB,求证cos(B

16、+C-A)=. 证明： 由条件得而，又而 cos(B+C-A)=法2:由tanA+tanC=-2tan(A+c)得tanAtanC=3归纳小结：1.要熟练推证公式理清公式间的推导线索（建议自己推证一遍所有公式）、熟悉公式的正用逆用和变形应用,公式应用讲究一个“活”字.2.熟悉角的变换技巧，注意倍角的相对性, 时时注意角的范围的讨论.3.证明三角等式的方法：化繁为简；左右归一；变形论证。4.三角恒等变形时,要灵活运用公式的变形,角的变形特点,及三角函数名称之间的联系. §5.3 三角函数的图象和性质教学目的：1.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质.2.能把一般的三角函数变形为

17、y=Asin(x+)的形式,并能求解它的周期、最值、单调区间以及奇偶性、图象的对称性等问题.3.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A、的物理意义 4.会由图象求y=Asin(x+)的解析式.教学重点: 三角函数的图象与各性质.教学难点：运用图象解题，数形结合，数形转化。教学过程：一、知识梳理1y=Asin(x+)的图象： 用五点法作图:五点取法由x+=0、2来求相应的x值及对应的y值，再描点作图.?00A0-A0图象变换：先平移、再伸缩两个程序A-振幅 -周期 -频率 2. 函数y=Asin(x+),xR（其中A>0,>0）的性质：周期：; 单

18、调递增区间:由2 k-x+2 k+ （kZ）可解得. 单调递减区间.由2 k+x+2 k+(kZ）可解得.类似可求,对称轴和对称中心.特别提醒：若A或是负数，单调区间应在相反的单调区间内求。y=Acos(x+)也类似。3图象的对称性y=sinx图象的对称中心(k,0), 对称轴x=k+; y=cosx呢?y=tanx图象的对称中心(,0), 渐近线x= k+; y=Asin(x+)图象的对称轴是: x+=k+,即x=? (kZ).由x+=k得对称中心为:(,0), kZ.4.给出图象确定解析式y=Asin(x+)的题，一般先找“五点”中的第一零点或第一个最大值点确定或.5.三角函数求最值的方法

19、: 化Asin(x+), 换元法,配方法,数形结合,不等式法,单调性法等.二、典型例题例1:（2003春北京）已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.解：由cos2x0得2xk+，解得x+（kZ）.所以f（x）的定义域为x|xR且x+，kZ.因为f（x）的定义域关于原点对称，且f（x）=f（x），所以f（x）是偶函数.又当x+（kZ）时，f（x）=3cos2x1=，所以f（x）的值域为y|1y或y2.提炼方法：对复杂的函数式,要先化简为Asin(x+)+m,或Acos(x+)+m的形式,再讨论性质.例2: 锐角x、y满足sinycscx=cos（x+y）且x+y，求

20、tany的最大值.和取最大值时角x的集合.解：sinycscx=cos（x+y），sinycscx=cosxcosysinxsiny，siny（sinx+cscx）=cosxcosy.tany=，当且仅当tanx=时取等号.tany的最大值为.对应角x的集合为提炼方法：先由已知变换出tany与x的函数关系，再用不等式求最值;是三角、函数、不等式知识的综合应用。例3:（2006辽宁）已知函数，.求:（I）函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；（II）函数的单调增区间.（I）解法一： 当，即时，取得最大值因此，取得最大值的自变量的集合是 解法二： 当，即时，取得最大值因此，取得最大值的自变量的集

21、合是 （II）解：由题意得，即因此，的单调增区间是 例4:是否存在实数a，使得函数在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值？若不存在，试说明理由。解：当时，令则，综上知，存在符合题意。思维点拨：化，闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。研讨:（2003江苏）已知函数上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数.求的值。解：由是偶函数，得，即，所以,对任意x都成立，且，所以得，依题设，所以解得. 由的图象关于点M对称，得，取得所以， .当k=0时，上是减函数；当k=1时，上是减函数；当时，上不是单调函数.所以，综合得. 例5:解三角不等式组(1) (2)yx0解：(1)如图：

22、解集为(2)由图得解集为：提示: 利用三角函数线或单调性求解,先求出一个周期上的解再写出全部。例6:（2006重庆）设函数（其中），且的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为。（）求的值；（）如果在区间上的最小值为，求的值。 提炼方法：1.先化简,再由图象求解析式利用第一个最大值点求;2.借助三角函数线,或三角函数图象求取值范围.例7:（2005全国卷）设函数图像的一条对称轴是直线。（）求； （）求函数y=f(x)的单调增区间；（）画出函数y=f(x)在区间0,上的图像。解：（）的图像的对称轴， （）由（）知由得 函数y=f(x)的的单调区间为（）由x0y1010故函数题型方法:1.求单调区间把

23、复合角放到单调区间内,解x的范围；2画图：关键是确定“五点”对应的x值；不是整齐的“五点”间的一段时，要再描出端点。_y_1_M_N_P_o_x例8:（2006浙江）如图，函数y=2sin(x+),xR,(其中0)的图象与y轴交于点（0，1）. ()求的值； ()设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求解：（I）因为函数图像过点，所以即因为，所以.（II）由函数及其图像，得所以从而 ，I_t0300-300故.题型方法:1.利用图象所给信息求解析式；2三角函数与向量的综合题是一个新的命题方向。研讨:已知电流I与时间t的关系式为（）右图是（0，）在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析

24、式；（）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？ 解:（）由图可知 A300设t1，t2， 则周期T2（t2t1）2（） 150 又当t时，I0，即sin（150·）0，150·=0 故所求的解析式为 （）依题意，周期T，即，（>0） 300942，又N*，故最小正整数943 提炼方法：1.关键是将图形语言转化为符号语言2.利用相邻两零点间的距离是半个周期求,利用第一个零点求 .归纳小结：1.熟记三角函数的图象与各性质很重要. 正、余弦、正切函数图象的画法、变换及对称性;2.设参可以帮助理解,熟练了以后可以省却这个过程;3.要

25、善于运用图象解题，数形结合，数形转化;4深刻理解图象变换与函数式变换（参数变化）的关系，掌握由图象求解析式的方法。§5.4 三角函数应用教学目的: 会利用三角函数的图象和性质，解决与三角函数有关的最值问题、不等式问题、奇偶问题等.会解决给出一定实际背景的问题.教学重点：函数的周期、最值、奇偶、特殊值.教学难点：解决与三角函数有关的最值问题、不等式问题、奇偶问题等.教学过程：一、知识梳理1. 给出函数的解析式确认其大致图象的选择题，通常用排除法. 2. 审题，画散点图，建模（确定函数解析式、方程、不等式），解模等， 要求熟练运用函数图象求值.3. 已知条件是形如A2+B2=常数，求最值

26、的问题，常考虑三角换元.4. 给出平面图形的应用题解决时一般可考虑：建立直角坐标系、引入三角函数、直接由条件寻找待求量用x表示的关系式等.5.证明形如f(x)g(x)的不等式，可构造函数h(x)=f(x)-g(x)，求出h(x)的单调性及最值得到解决.二、典型例题例1：函数y=tan1x-3在一个周期内的图象是( )解析:由tan(12×23-3）=0得函数图象过点（23，0），排除C、D.由周期T=2，排除B，选A例2： 某港口的水深y(米)与时间t(0t24，单位：时）的函数关系记为y=f(t)，下面是该港口某日的水深数据表：t（时）03691215182124y(米)10.01

27、3.09.97.010.013.010.17.010.0由上述数据描出函数y=f(t)的图象（如图），经过长期的观察和拟合知该图象可近似地看作函数y=Asint+B的图象.(1)试根据所给数据和图象，求出函数的表达式；(2)在一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不得小于4.5米才能保证航行的安全，如果某船的吃水深度（船底距水面的距离）为7米，那么该船在何时段内航行时才是安全的？ 分析:运用前面所学的由图象确定y=Asin(x+)+B系数的方法，马上可得f(t)的解析式，由条件寻找含t的不等式，再解此不等式即可得.解析: (1)根据表中的数据并结合图象可知,A=（13.0-7.0）2=3，B=10.0,T=12,=6,y=3sin6×t+10.0t0，24.(2）依题意，要使船安全通过，水深不得少于11.5米,令y11.5得3sin(6)t+1011.5,sin(6)t12,6+2k(6)t56+2k,1+12kt5+12k(kZ