解析几何新题型的解题技巧总结

1、第七讲解析几何新题型的解题技巧【命题趋向】 解析几何例 命题趋势:1. 注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考2. 考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现3. 考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，如求轨迹，与向量结合，与求最值结合，属中档题 分值一般在17-22分之间，题型一般为 1个选择题，1个填空题，1个解答题.【考点透视】一.直线和圆的方程1 理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线

2、方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件 熟练地求出直线方程.2. 掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的/亠护¥方位置关糸.3. 了解二元一次不等式表示平面区域.4. 了解线性规划的意义，并会简单的应用.5. 了解解析几何的基本思想，了解坐标法.6. 掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程. 二.圆锥曲线方程1. 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质.2. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4. 了解圆锥曲线的初步

3、应用.【例题解析】考点1求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一例1 . （2006年安徽卷）若抛物线 y2，其解法为从曲线的性质入手，构造方程解之.2 2X . y =的右焦点重合，则p的值为（）6 2 -D . 4椭圆的基本几何性质=2px的焦点与椭圆A . -2B. 2考查意图：本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、2 2解答过程：椭圆 =1的右焦点为（2,0），所以抛物线6 2考点2.求线段的长C.-4y2 =2px的焦点为（2,0），则p=4，故选D.求线段的长也是高考题中的常见题型之一，其解法为从曲线的性质入手，找出点的坐标，利用距离公式解之例2. （2007年四川卷文）

4、已知抛物线y-x2+3上存在关于直线 x+y=0对称的相异两点 A、B,则|AB|等于A.3B.4C.3 2D.42考查意图：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用y = _x2 + 3 解：设直线 AB的方程为y=x+b，由'nx2 +x + b3 = 0= x, + x2 = -1，进而可求出 AB的中点=x + b1 111M （ -， b），又由M （, b）在直线x 0上可求出b =1 ,2 22 2二x2+x2=0，由弦长公式可求出 AB =#1 +12 J12 _4汇（一2） =3血.故选C例3. （2006年四川卷）如图，把椭圆 乂 工=的长轴2516AB

5、分成8等份，过每个分点作 X轴的垂线交椭圆的上半部 分于P,P2, P3, P4,P5, P6, P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则 PF|：jF2F - P, -P4F-iPF| -iPF |F7F 二考查意图：本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用 解答过程：由椭圆 乞£1/的方程知a2=25,.a=5.2516 -PF| 4jP2F|+RF|+P4F +P5F|+P6F +RF7 2a2二7 '：a 二7 '：5 二35.).2，焦点是（,0） , （4,0），则双曲线方程为C.x24 12121010故填35.考点3.曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热

6、点题型之一，其解法为充分利用（1）椭圆的离心率e= £ （0,1） （e越大则椭圆越扁）; a 双曲线的 离心率e= £ （1,） （e越大则双曲线开口越大a结合有关知识来解题.例4. （2007年全国卷）文（4）理（4）已知双曲线的离心率为考查意图：本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念 解答过程：e=c =2,c=4,所以.a =2,b2 =12.故选（A）.a小结：对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.例5. （2006年广东卷）已知双曲线3x2-y2

7、=9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于（）iA. 2B. L2 C. 2D.43考查意图：本题主要考查双曲线的性质和离心率e= c （1, +s ）的有关知识的应用能力.a解答过程：依题意可知a =、；§,c =pa2 +b2 =、：3+9 =23 考点4求最大（小）值求最大（小）值，是高考题中的热点题型之一其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大（小）值:特别是，一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例6. （2006年山东卷）已知抛物线y2=4x,过点P（4,0）的直线与抛物线相交于A（X1,y1）,B（X2,y2）两点，贝U y/+y22的最

8、小值是.考查意图：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大（小）值的方法.解:设过点 P（4,0）的直线为 y =k x -4 ,. k2 x2 -8x 16 =4x,.k2x2 - 8k24 x 16k2 =0,-y； 丫2=4 & X l=4 8k 2 4 =16 2 4 -32 kIk故填32.考点5圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的 解题技巧要熟记于心.例7. （2007年广东卷文）在平面直角坐标系 xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2 2的圆C与直线y=x相切于坐标原点

9、O.椭圆兰兰=1与圆C孑"9的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1) 求圆C的方程；(2) 试探究圆C上是否存在异于原点的点 Q,使Q到椭圆右焦点 坐标；若不存在，请说明理由解答过程(1)设圆C的圆心为(m, n)则m =，jn .2 =2.：Z解得m - 2n =2.F的距离等于线段 OF的长.若存在，请求出点 Q的考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决考查目的本小题主要考查直线、 椭圆等平面解析几何的基础知识， 问题的能力.所求的圆的方程为 由已知可得 椭圆的方程为整理得 si 心=3 cOs .2, 2代入 sin2 v - cos2 -1 .八 _12逅±

10、;屈 M2逅±2运 cos 'T1得:10cos2 v 12一2 cos V - 7 =01010:-1 -2 2(x 2) (y -2) =82a 二 10 , a =5 .2 2Z红=1 ,右焦点为F( 4, 0);259假设存在 Q 点 _2 2 2co,2 2.2sin 二使 QF =0F ,因此不存在符合题意的Q点.例8.( 2007年安徽卷理)如图，曲线G的方程为y2=2x(y_0).以原点为圆心，以t(t 0为半径的圆分别与曲线AB与x轴相交于点(I)求点 A的横坐标a与点C(H)设曲线G上点D的横坐标为G和y轴的C.的横坐标c的关系式；a - 2,求证：直线C

11、D的斜率为定值.正半轴相交于 A与点B考查目的本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力解答过程(I)由题意知， A(a, 2a).因为 |OA|=t,所以a2 2a =t2.由于 t -0,故有t = a22a.(1)由点B(0, t), C (c, 0)的坐标知，直线 BC的方程为x + yc t又因点将(1)A在直线BC上，故有a+2 =c t ,代入上式，得 a*2a=解得 c =a +2= 2(a+2).c . a(a ' 2)'(II)因为D(

12、a 2 2(a)，所以直线CD的斜率为,_*2(a 七)l2(a+2)_ ：2(a+2) _ kCD1 ?a +2 ca +2 -(a +2 + 寸 2(a +2)一胡2(a +2)所以直线CD的斜率为定值.2 2例9已知椭圆E：x 爲 j(a b 0), AB是它的一条弦， M(2,1)是弦AB的中点，若以点 M(2,1)为焦点，椭圆Ea b的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4, -1)，若椭圆离心率e和双曲线离心率e1之间满足ee = 1,求：(1)椭圆E的离心率;(2)双曲线C的方程.解答过程:(1)B坐标分别为AgyJBgy)，2 则x12土上 _1，2 ! 2a二式相减

13、得:k y1 y 2kAB X1 _X2b(xX )b22-(y1y2)a2b2 一k2MNaJ-(-1-1,2-4所以 a2 =2b2 =2(a2 -c2)，-2c2，(2)椭圆E的右准线为xa2 _ ( 2 c)2c=2c，双曲线的离心率c设P(x, y)是双曲线上任一点，则:|PM | _ .(x 一2) 2由椭圆1 y ；求得两焦点为(-2,0),(2,0),84-对于双曲线C:c=2，又yf3x为双曲线C的一条渐近b = 3 解得 a2 =1,b2 =3, a (y 一1)2 = 2 , |x -2c| 一 |x -2c|-'两端平方且将 N(4, -1)代入得:c =1 或

14、c =3，当C =1时，双曲线方程为：(x -2)2 -(y -1)2 =0，不合题意，舍去;当C = 3时，双曲线方程为：(x _10)2 _(y _1)2 =32，即为所求小结：(1)“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；(2)求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义 考点6利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算 典型例题：2 2例10. (2006年山东卷)双曲线 C与椭圆£ r胡有相同的焦点，直线 y= 3x为C的一条渐近线84(1)求双曲线C的方程;过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A,B两点，交

15、x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合) 人十=8时，求Q点的坐标123,以及运用数形结合思想，方程和转化的考查意图：本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力 思想解决问题的能力2 2线解答过程：设双曲线方程为务古=1,.双曲线c的方程为x 2L i3(n)解法一：由题意知直线丨的斜率k存在且不等于零.设丨的方程：y =kx 4A(Xi,yJ， B(X22)则 Q(_4,0) k:"PQ = 1QA，(4,=，1(X1 上，y)_44_k Sk4yi :kk44 x,一匚二'i(X -)kk =I 4 = 'iyiA(xi,yi)在双曲线C上,00.-i

16、632 ,ii6i2-i6k2-k22 =0(花乂2).；32“ i6_dk2=0.33同理有：22i 6 2(i k)'2'32'2'i 6 八0.若i6k2 9,则直线丨过顶点，不合题意 i6_ks,"2是二次方程(i6k2)x2导"的两根.32k2 -i68 ,. k2 =4，此时二-0,. k = 2.3.所求Q的坐标为(-2,0).解法二：由题意知直线丨的斜率k存在且不等于零设丨的方程，y 二kx 4,A(x,yi), B(X2,y2)，贝V Q(4,0).k：'PQ = iQA， . Q 分 PA 的比为'i.由定

17、比分点坐标公式得4,、，X k<T <0=yiXi4(i :九) k i4yi :A下同解法一解法三：由题意知直线丨的斜率k存在且不等于零设丨的方程：y =kx 4A(x,yJ, B(X2,y2)，则 Q(_4,0) k444PQ = 'iQA 二 sQB， .(_,v)-i(xi,yi)-'2(X2，曲kkka 4 口 4'-! = -，2 :yiy2又8'2 "8，=，即 3(yiy2) 2yiy2 .3将y = kx 4代入yi y22X2 丄=i 得(3-k2)y2 -24y 48 _3k2 =0 .3T3-k2 =0,否则丨与渐近

18、线平行.2448 Hk2y2 Kyi"k243 _k2=2248 _3k3 _k2.k = 2.Q( 20).解法四：由题意知直线I得斜率k存在且不等于零，设1 的方程：y=kx 4，A(x,yi),B(X2,y2),则 Q(_4,o)ki =一X4 +k4:EiE(¥(Xl4.同理kxi 4448kX2 4 3即 2k2xx2 5k(x X2) 8=0.(*)y =kx 4 又2X2 丄=1I 3消去y得(3 _k2)x当 3 -k2 =0时，由韦达定理有：代入(*)式得XX2 =8k3k219XX2 _3kk2 =4,k = 2.2-8kx -19 =0.则直线I与双曲

19、线得渐近线平行，不合题意，3-k2=0.-所求Q点的坐标为(_2,0). 例11. (2007年江西卷理) 设动点P到点A(-1, 0)和B(1, 0)的距离分别为d1和d2,/ APB = 2 0，且存在常数 入(0 v入v 1 =,使得d1 d2 sin2 B =入.(1) 证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出 C的方程；(2) 过点B作直线交双曲线 C的右支于M、N两点试确定入的范围， 使OM， ON = 0,其中点O为坐标原点.考查目的本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合 运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.解答过程解法 1： (1)在 PAB 中,

20、AB =2，即 22 =d' d2 -2dd cos2二, 4 =(dt -d2)2 4did2 sin2 J，即 d1 -d2 = . 4 -4d1d2 sin2 =2,1-，：:2 (常数)，点P的轨迹C是以A, B为焦点，实轴长2a =2.口 的双曲线.2 2方程为：_z_ _y_ =1.1 k z(2)设 m (X1, %) , N(X2, y2)当MN垂直于X轴时，MN的方程为x =1 , M (1,1) , N(1,-1)在双曲线上. 即丄 _! =1= .2 . . _1 丸 _5，因为 0 ：: ,1，所以，土1 .1 _， 2 2当MN不垂直于X轴时，设MN的方程为y

21、二k(x -1).r 22x y由:1得:1 - y =k(x -1)X1X2 - y“2 =0X1 - X2oX1X2 .0k2k2由知,解法2: (1)2同解法,(1 _ J 22-1'(1) I 25 -1= - -11 2 2 -102 3(2)设 Mg, yi)，N(X2, y2)，MN 的中点为 E(Xo, yo)-当MB1=， 一1 =0，1 一九因为0 ： _：1，所以竹._(1 一.沐2 X2 2(1 )k2x _(1 _.)(k2 ) =0 ,2n由题意知：，所以二穿，心疋：2 k2,2y2 二k (X1 -1)(X2 一1)=2 -(1 _')k因为OM，

22、ON =0，且M , N在双曲线右支上，所以卢22当11k22 R MN-上iJ 一丸丸又 kMN =kBE匹所以(1-')yf = £-'X。；X0 1由 / MON =2得 Xo y2 =，由第二定义得二-TX0 1 一1 2X)(1 八)-2x0 1 - 所以(1 - ) y0 =，x0 2(1 - )X0 * (1 - J? 于疋由(1 _，) y0 =，X0 -，x0,得 (1 _x° 二.(1 - )y0 = 'x° -2(1 -，)xo '( - ) ,2 3，因为 X01，所以(1 -')21，又 0 ：:

23、：:1 ,2 £九解得： 旦：是由知 上! Z 2323考点7利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关B两点，且系容易例12.设椭圆E的中心在坐标原点 O,焦点在x轴上，离心率为 亠，过点C( -1,0)的直线交椭圆E于A、3CA =2BC，求当 AOB的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程解答过程：因为椭圆的离心率为_2，故可设椭圆方程为 2x2 3yt(t 0)，直线方程为my二x -1,3- 2 2由 2x 3y t得：（2m2 3）y2 _4my 2-t =0，设 A（X1,yJ,B（x

24、 | my -x 1则2 =22m 3又 CA 2BC ,故（xi 1,yJ =2（_1_X2,-y2），即 一 创2由得:yi8m-4m=23，y2ms，则S AOB_y2|=6|2_m| =66，22m2 +33 - 22|m| +|m|当m23，即m=_£时，JAOB面积取最大值,_ 2此时yy2 _t2m2 3所以，直线方程为232m ，即 t =10 , _（2m23）2x y1=0，椭圆方程为2x2 3y10.小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易求| 2x _3y -12|的最大值和最小值例 13已知 pa =（x5,y） , PB =

25、（x _ 5, y），且 |PA| - |PB|=6 , 解答过程：设 P（x, y），A（_、5,0）, B（ .5,0），因为 |PA| |PB|=6，且 |AB|=2.,5 ：:6，所以，动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为 6的椭圆,2 2椭圆方程为 0 .厶t，令x = 3cos v = 2sin v ,94则 |2x -3y -12| = |6.2cosC 一）-12 |，4当 cos（r 匸）-1 时，|2x -3y -12|取最大值 12 -,4当 cos（T 二）=1 时，|2x -3y -12|取最小值 12-6-, 2.4小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化

26、为简单的三角运算考点8禾U用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题2例14. （2006年福建卷）已知椭圆的左焦点为F,2O为坐标原点（I） 求过点0、F，并且与椭圆的左准线 丨相切的圆的方程；（II） 设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点， 线段AB的垂直平分线与 x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围 考查意图：本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力解答过程：（I） Ta2 2,b2 =1,. c ；1,F（-1,0）,丨：x 2丁圆过点0

27、、F, -圆心M在直线x = -1上2设M（,t）,则圆半径r =（） _（_2）=二.2 2 2由om兀得.(一;)2=3， 解得 t =_.2.所求圆的方程为(x -1)2(y_.2)2 =92 一4(II)设直线AB的方程为y =k(x 1)(k =0),2代入 L+y2 =1 整理得(1+2k2)x2 +4k2x+2k2 2 =0.2 ，丁直线AB过椭圆的左焦点F, 方程有两个不等实根记 AgyJ, B(X2,y2),AB 中点 N(x°, y。),2则 1 % 二：，1.AB的垂直平分线NG的方程为1y _y°(x _X°).k令y =0,得k22厂2k

28、 1 2k 1 k =0,Xg ：0,2k2112k 12 4k 2.点G横坐标的取值范围为2例15.已知双曲线C: L2 a1(,0).2=0,b a0)，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足|OA |,|OB|,| OF|b，成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P,(1) 求证：PA OP =PA FP ；(2) 若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E，求双曲线C的离心率e的取值范围.解答过程：(1)因|OA|,|OB|o?i成等比数列，故直线 I : y = _a(x _C)，by = _a(x -c)by =-xL aa2 ab ，= P

29、(,)， c c故：PA =(0ab ta2 ab T,-一),OP),FP =(cc cc ca2b2则：PA OP 2 PA FP，即 PA OP = PA c(或 PA (OP -FP) =PA (PF-PO) =PA OF =0，即, y (x -c) 2 a4 2 a4a4c22 2(2)由 < b= (b2 -p)x2+2-ycx -(+ab2) =0 ,.2 22 22bbbJb x -a y =a b4 2a c 22 (百+a2b2)4由 x/2 =b4 : 0 得：bb2 ab它(或由 kDF kDo = - - b = bb ab2 =c2-a2 a2= e2 2=

30、 e . J2.a2 = e22= e 2)小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标例16.已知 a 二(x,0) , b = (1,y) , (a .b) _ (a -、3b),(1)求点P(x, y)的轨迹C的方程;(2)若直线y =kx m(m - 0)与曲线C交于A、B两点，D(0, -1)，且|AD |=|BD |,试求m的取值范围.解答过程：(1) a J3b = (x,0)、3(1,y) =(x、一 3y),a -3b = (x,0) -3(1, y) = (x 3, - 3y),因(a ,.3b) _ (a - J3b)，故

31、(a j3b) (a -3b) =0 ,即(x ,3y)(X=x2 -3y2 -3=0,2故P点的轨迹方程为-y2 =1.3y = kx + m222(2)由22 得：(13k2)x2 6kmx 3m2 3=0 ,lx2 _3y2 =3设 A(x i,yJ,B(x 2$2)，A、B 的中点为 M(x°,y°)则汽=(6km)2-4(1-3k2)(-3m2-3)=12(m2 1-3k2) 0,6 kmx<x23kmx1 x2 ，2 ， y 01-3k221 -3k23 km m 、即A、B的中点为(2，2),1 -3k2 1 -3k2则线段AB的垂直平分线为：y巴三=(

32、-丄)(x -仝二)，1-3k k 1-3k将D(0, -1)的坐标代入，化简得:24m =3k -1 ,则由口2一如0得：4m =3k -1-4m 0，解之得m ： 0或m 4 ,2又 4m =3k -1-1，所以 m1 I I故m的取值范围是(，0)U(4, ：).4小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象考点9利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理,若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立例17已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点，点 A是长轴的一个顶点,BC过椭

33、圆的中心0,且AC BC|BC| =2|AC|，(1)求椭圆的方程;(2)如果椭圆上的两点 P,Q使.PCQ的平分线垂直于 0A，是否总存在实数入，使得?请说明理由;解答过程：(1)以0为原点，0A所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则 A(2,0),设椭圆方程为x y厂1，不妨设C在x轴上方,由椭圆的对称性,|Bc2|AC2|0cH|ACH又AC BC =0= AC _0C ,即卩AOCA为等腰直角三角形,由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：b2二2 2即卩，椭圆方程为y =1 ；44(2)假设总存在实数 入，使得PQ二AAB，即AB / PQ ,由cd得B(-1，-1)，则晞=當

34、=3，若设 CP: y 二 k(x -1) 1，则 CQ: y = -k(x -1) 1 ,'2 2x-也=12 2244- (1 3k )x -6k(k -1)x 3k -6k -0,y =k(x -1) 1由 C(1,1)得 x -1 是方程(1 3k )x -6k(k -1)x 3k -6k-1=0的一个根,由韦达定理得:xP =xP3k2 -6k -11 3k2以-k代k得xQ3k2 6k -11 3k2故kPQyp -yQk(x p Xq) -2k 3故 AB / PQ ,xp _Xq即总存在实数入，使得PQ= 2AB 评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、

35、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等, 是一道很好的综合题.考点10禾U用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的 情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围例18.设G、M分别是 ABC的重心和外心,A(0, a) , B(O,a)(a .0)，且 GM(1) 求点C的轨迹方程；(2) 是否存在直线 m,使m过点(a,0)并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且OP QQ = 0 ?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由解答过程：(1)设C(x, y)，则G(X,-)，3 3因为 GM A

36、B，所以 GM /AB，则 M(X,0)，3由M为厶ABC的外心，则| MA冃MC|，即，.(；)2 a22 2x y整理得：2=1(x=0)；3a a(2)假设直线m存在，设方程为y =k(x -a)，y = k(x -a)由 x2 v2得：(1 3k2)x2 6k2ax 3a2(k2 -10，痔 / =1(x =0)设P(X1,yJ,Q(X2,y2)，则 X1 X26k 2a1 3k2x1x23a2(k2 -1)1 3k22y1 计 k (x- a) 2x2 2-2 k a咲 T Of,1 3k2由 OP OQ =0得:xny2 = 0,2 2 2 2即 3ar1 3k21 3k2又点(a

37、,0)在椭圆的内部,直线 m过点(a,0),故存在直线m,其方程为y 士口3(x -a).小结：(1)解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断;(2)直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题【专题训练与高考预测】一、选择题1.如果双曲线经过点(6.3)，且它的两条渐近线方程是2 2A . -y136922.已知椭圆丄3m22 2B. x -y =18192 和双曲线C.2x 2.y 19y =，那么双曲线方程是()32 2D . 丄=11831有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为( 2m

38、2 3n2A.x =B.2C. x 3y D. y= 93x442 23.已知F,F2为椭圆 孕+厶/但“沁)的焦点，M为椭圆上一点， MF,垂直于x轴,a b且FMF2 =60。，则椭圆的离心率为()A. - B.二 C_J D._I22322 24.二次曲线 y 1 ,当m三2 _1时，该曲线的离心率 e的取值范围是( ) mB. FT2 2C.D.空5.直线m的方程为y =kx _1，双曲线C的方程为X?_y2=1，若直线m与双曲线C的右支相交于不重合的两点，则实数k的取值范围是()a. (- .2, .2)B.(1, .2)c._、2, .2)d.i, .2)6.已知圆的方程为x2 y

39、2 =4，若抛物线过点 A(-1,0) , B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程7.已知P是以F1、F2为焦点的椭圆2 2X2y2 =1(a b 0)上一点，若 PF1 PF2a btan. PF1 F-，则椭圆的离心率为28.已知椭圆x2+2y2=12 , A是x轴正方向上的一定点，若过点 A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为4 13，点A的3坐标是2 29. P是椭圆L y 1上的点,43F,F2是椭圆的左右焦点，设|PFI'|P£l=k，则k的最大值与最小值之差是10.给出下列命题： 圆(x 2)2 (y -1)2 =1关于点2 2 双曲线x_ _

40、y_ =右支上一点169M( -1,2)对称的圆的方程是(x 3)2 (y -3)2 =1 ;P到左准线的距离为 18,那么该点到右焦点的距离为顶点在原点，对称轴是坐标轴,且经过点(-4, -3)的抛物线方程只能是y2 = X ；4P、Q是椭圆x2 4y2 =16上的两个动点，O为原点，直线OP,OQ的斜率之积为，贝V |OP|2 |OQ|2等于定值20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上三、解答题11.已知两点A( - 2,0) , B(i 2,0)，动点P在y轴上的射影为Q, PA PB= 2PQ2 ,(1) 求动点P的轨迹E的方程；(2) 设直线 m过点A，斜率为k，当0 k ：1时，

41、曲线E 试求k的值及此时点C的坐标.的上支上有且仅有点 C到直线m的距离为 2 ,12.如图，日(-3,0) , F2(3,0)是双曲线C的两焦点，直y矗MP线x=4是双曲线C的右准线，A1,A2是3，为()2222A.xy_=1(y-0)B. xy=1(y ")34432222C.xy_=1(x-0)D.y=1(x =0)3443、填空题双曲线C的两个顶点，点P是双曲线C右支上异于A2的一动点，直线 A1P、A2P交双曲线C的右准线分别于 M,N两点，(1) 求双曲线C的方程；(2) 求证：fM fN是定值.13.已知COFQ的面积为S,且OF ?Q=1,建立如图所示坐标系，(1)

42、 若s =-，|OF|=2，求直线FQ的方程；2(2) 设|Of| :c(c 2) , S=?c，若以0为中心，F为焦点的椭圆过点4当|0Q I取得最小值时的椭圆方程14 .已知点H(彳0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点(1)当点P在y轴上移动时，求点 M的轨迹C;M在直线PQ上，且满足"HP PM =0 , "pm =-MQ，2角形，求x015.已知椭圆(2)过点T(a得|m|=2、2|n|，所以，双曲线的渐近线为仝 2|m|4通过椭圆的左焦点 R，向量AB与0M是共线向量(1) 求椭圆的离心率e;(2) 设Q是椭圆上任意一点，R、F2分别是左、右焦点，求/ F

43、1QF2的取值范围;16.已知两点 M (-1, 0), N (1 , 0)且点P使MP MN, PM PN , NM NP成公差小于零的等差数列，(I)点P的轨迹是什么曲线？(n)若点P坐标为(X0,y°)，二为PM与PN的夹角，求tan 0 .【参考答案】1. C .提示，设双曲线方程为(1 x y)(1 x _y) = ，将点(6, '、3)代入求出'即可 334. C 曲线为双曲线，且 /，故选C;或用a4 ,二_m来计算.25. B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组6. B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义二.7.解：设c为

44、为椭圆半焦距，卩戸pf2 =0 ，二Ph_PF21 又tan wPF" +|PF2=(2c) PFJ -.-|PF2 =2aPF21.PF12解得：(C)2a59,2J362x。2 .3 "4 14 = 1 X2 | X! -x2 |3 X02=4，又，即匕-23X0> 0, X0=2 , A ( 2,I 36 2x。2 .0).9. 1 ； k =| PF | PF2 | = (a ex)(a _ex)二 a2 _e2x2 .10 .11.解(1)设动点 P 的坐标为(x, y)，则点 Q(0, y) , pq =(_x,0),PA =(卫-x,-y),PB-x,

45、-y),PA PB =x2 _2 y2,因为PA PB = 2PQ2 ,所以x2 -2 y2 =2x2,即动点P的轨迹方程为:22y -x 2 ；& 解：设A(X0,0) (X°> 0),贝y直线I的方程为y=x-X0,设直线I与椭圆相交于P(X1,yj, Q(x?、y?),由y=x-x 0可得 3x2-4x0X+2x02-12=0 ,'x2+2y2=122X! X2二4, £卷二丝工，则33216x°2 8x°2 _48|x1 -X2 丨二(x1 x2)4x1x29 - -3(2)设直线 m： y =k(x - .2)(0 : k

46、 ：1),依题意，点C在与直线m平行,且与 m之间的距离为 2的直线上,设此直线为m1: y二kxb，由| 2k b| = ©，即 b22.2kb =2 ,k2 1把y = kx b代入y-x2 =2 ,整理得：(k2 -1)x2 2kbx (b2 -2) = 0 ,则 ' =4k2b2 -4(k2-1)(b2 -2) =0，即 b2 2k2 =2 ,bJ，此时，由方程组y W_x2 =212解：(1)依题意得:4，所以 a = 2，b2 =5，3所求双曲线C的方程为x245 =1 ；设 P(Xo,y。)，M(Xi,yi)，Ng?)，则 AM-2,0)，A2(2,0)，A1P =(x° “)，A2(x0 _2，y0)，A1M=碍,y1)，a2N 十細2)，因为A1P与A1M共线，故(x。2)y1103yy110y。，同理：y23(X02)2y。3(X0-2)，13则 FM =(#”1)，F2N 十|2)，所以 FM F,N = -65 y$2 = 65920y225(x2 -4)99(X0 4)99(x04)13.解：(1)因为 |OF>2，则 F(2,0)，Ot(2,0)，设 Q(x0,y°)，则乩心纵),OF FQ =2(x0 -2) =1，解得 X。1 1由S石叭皿出0匕，得y_ 5=2，1 510 ，故 Q