历年尺规作图

1、第38章尺规作图 已知，如图，在RtAABC中，/C=90o,/BAC的角平分 线AD交BC边于Do （1）以AB边上一点O为圆心，过A,D两点作。O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与。的位置关系，并说明理由; （2）若（1）中的。O与AB边的另一个交点为E,AB=6,BD=2J3,求线段BD、 BE与劣弧DE所围成的图形面积。（结果保留根号和 【答案】（1）如图，作AD的垂直平分线交AB于点O,O为圆心，OA为半径作圆。、选择题 1.（2011浙江绍兴, 8,4分）如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 3AB 的长为半径画弧, 两弧相交于点M,N，作直线MN，交BC于点D

2、,连接AD.若 ADC A.7 的周长为10,AB7,则 B.14 D.20 二、填空题 三、解答题 1.（2011江苏扬州,26,10分） （2011山东滨州，23,9分）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线,把ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：/A与/B.AD平分/BAC OA=OD /DAC=/DAB /ODA=/DAB /DAC=/ODA /C=90o OD是。O的半径 OD/AC/ODB=/C ，/ODB=90o即：ODXBC BC是。O的切线。 （2）如图，连结DE。 设。O的半径为r,则OB=6-r, 在RtAOD

3、B中，/ODB=90o, 0B2=OD2+BD2即：(6-r)2=r2+(2V3)2 r=2OB=4.OBD=30o,/DOB=60o ODB的面积为-27322J3,扇形ODE的面积为空 2360 阴影部分的面积为2J32。 3 22 2. UU-|Iu 有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得 结论。 (1)如图ABC中，/C=90 ,/A=24 作图： 猜想： 验证： (2)如图ABC中，/C=84 ,/A=24 . (第23题图) 作图： 猜想： 验证： 【答案】 (1)作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作/ACD=/A(或/BCD=/B)两类方

4、法均可， 在边AB上找出所需要的点D,则直线CD即为所求2分 猜想：/A+/B=90 ,4分 验证：如在ABC中，/A=30 ,/B=60时，有/A+ZB=90 ,此时就能找到一条 把ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。5分 (2)答：作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作/ACD=/A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可。 在边AB上找出所需要的点D,则直线CD即为所求6分 猜想：/B=3/A 验证：如在ABC中，/A=32 ,/B=96,有/B=3/A,此时就能找到一条把ABC 恰好分割成两个等腰三角形的直线。9分 3.（2011山东威海，20,8分）我们学习

5、过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心. （1）如图，AABCADEF,ADEF能否由那BC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由.图 （2）如图，AABCZMNK,AMNK能否由AABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由. （保留必要的作图痕迹） 图图 【答案】解：（1）能，点O1就是所求作的旋转中心. （2）任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率. C dr C第IB，） 【答案】（1）只能取b,c,d三条线段，作图略 （2）四条线段中任取三条

6、共有四种等可性结果：（a,b,c）,（a,b,d）, （a,c,d）,（b,c,d）,其中能组成三角形的只有（b,c,d）,所以 1 以它们为边能作出三角形的概率是-. 4 5. （2011四川重庆，20,6分）为进一步打造宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到 广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示.请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M、位置.（要求：不写已知、求作、作法和结论， 保留作图痕迹，必须用铅笔作图） 图 （1）能，点O2就是所求作的旋转中心. 4.（2011浙江杭州，18,

7、6）四条线段a,b, （1）选择其中的三条线段为边作一个三角形 法）； 图 c,d如图，a：b:c：d=1:2：3:4. （尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出【答案】6. （2011甘肃兰州，25,9分） 如图， 在单位长度为1的正方形网格中， 一段圆弧经过网格的交点A、B、C。 （1）请完成如下操作： 以点O为原点、 竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、 网格边长为单位长， 建立平面直角坐标系；用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图 痕迹），并连结AD、CD。 （2）请在（1）的基础上，完成下列问题： 写出点的坐标：C、D; 。D的半径=（结果保留根号）； 若扇形A

8、DC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留城； 若E（7,0）,试判断直线EC与。D的位置关系并说明你的理由。 【答案】（1） 2.5 54 相切。 理由：CD=245,CE=75,DE=5 CD2+CE2=25=DE2 DCE=90即CEXCD CE与。D相切。 7. (2011重庆江津，23,10分)A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在 直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是(2,2)，点B的坐标是(7,3). (1)一辆汽车由西向行驶，在行驶过程中是否存在一点C,使C点到A、B两校的距离相 等,如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求

9、该点坐标. (2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之各最小，通过作图在图中找出建游 乐场的位置，并求出它的坐标. y八 .B(7,3) .A(2,2) Ox 第23题图 【答案】(1)存在满足条件的点C:作出图形，如图所示，作图略;(2) C(6,2), D(2,0) （2）作出点A关于x轴的对称点Az（2,-2）,连接A,B,与x轴的交点即为所求的点P. 设A/B所在的直线的解析式为：y=kx+b,把Az（2,-2）,B（7,3）分别代入得: 所以：y=x-4当y=0时，x=4，所以交点P为（4,0） 8. （2011重庆某江，19,6分）为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某

10、镇新建一个医疗 点P,使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在 同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置. 要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹. 解：已知： 求作: 【答案】：解：已知：A、B、C三点不在同一直线上. 求作：一点P,使PA=PB=PC. （或经过A、B、C三点的外接圆圆心P） 正确作出任意两条线段的垂直平分线，并标出交点P 9. （2011江苏南京，27,9分）如图，P为ABC内一点，连接PA、PB、PC,在PAB、 PBC和APAC中，如果存在一个三角形与4ABC相似，那么就称P为4ABC的自相似点. 如图，已

11、知RtAABC中，/ACB=90,/ACB/A,CD是AB上的中线,过点B作BELCD,垂足为E,试说明E是4ABC的自相似点.7kb3 2kb2 解得: 在4ABC中，/Av/Bv/C. 如图，利用尺规作出4ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）； 1 CD-AB,CD=BD. 2 ./BCE=/ABC.BEXCD,，BEC=90 , /BEC=/ACB. BCEABC. .E是AABC的自相似点. 作图略. 作法如下：（i）在/ABC内，作/CBD=/A; (ii)在/ACB内，作/BCE=/ABC;BD交CE于点P. 则P为4ABC的自相似点. 1 .1 连接PB、PC.P为4AB

12、C的内心，.PBCABC,PCBACB. 2 2 ,P为4ABC的自相似点，.BCPAABC. /PBC=ZA,ZBCP=/ABC=2/PBC=2/A,/ACB=2/BCP=4/A.-/A+/ABC+ZACB=180 .A+2ZA+4ZA=180 . 180o A180-.，该三角形三个内角的度数分别为 7 10. （2011江苏无锡，26,6分）（本题满分6分）如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2,腰长为3,一个底角为60。正方形ABCD的边长为1,它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合。现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动。18003

13、6007200 、 777 若4ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数. 【答案】解：在RtAABC中，/ACB=90 ,CD是AB上的中线, 所围成图形的面积So 【答案】解：（1）如右图所示.（3分） 12121502 （2）S=2q兀12+4兀（V2）2+1+标兀12 11. （2011重庆市潼南，19,6分）画 ABC,使其两边为已知线段a、b,夹角为 （要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不 写作法） 已知： 求作: 【答案】已知：线段a、b、角1分 求作：4ABC使边BC=a,AC=b,/C=2分 （1）请在所给的图中，用尺

14、规画出点 A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图; （2）求正方形在整个翻滚过程中点 A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ （画图（保留作图痕迹图略） 12. （2011湖北宜昌，23,10分）如图1,RtABC两直角边的边长为AC=1,BC=2. （1）如图2,。与RtAABC的边AB相切于点X,与边CB相切于点Y.请你在图2中作 出并标明。O的圆心0;（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）P是这个RtAABC上和其内部的动点，以P为圆心的。P与RtABC的两条边相切设。P的面积为S,你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能,请你说明不能确定S的

15、最大值的理由. 【答案】解：（1）共2分.（标出了圆心，没有作图痕迹的评1分）看见垂足为Y（X）的一条垂线（或者/ABC的平分线）即评1分， （2）当。P与Rt ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是/ABC的平分线BM上的点，如图1,在/ABC的平分线BM上任意确定点P1（不为/ABC的顶点）， OX=BOsin/ABM,P1Z=BP1sin/ABM,当BP1BO时，PZOX,即P与B的距离越大，。P的面积越大.这时，BM与AC的交点P是符合题意的BP长度最大的点. （3分.此处没有证明和结论不影响后续评分） 如图2,/BPA90 ,过点P作PE，AB,垂足为E,则E在边AB上. 以P为圆心、PC为半径作圆，则。P与边CB相切于C,与边AB相切 于E,即这时的。P是符合题意的圆.（4分.此处没有证明和结论不影响后续评分）这时。P的面积就是S的最大值. .ZA=ZA,/BCA=/AEP=90 ,Rt ABCsRt APE,（5分） PA=ACPC=1x,PC=PE, 2 x=0. 2，5PAPE ABBC .AC=1,BC=2,AB=/5 （6分） 如图3,同理可得：当。P与RtAABC的边AB和AC相切时， 则2y=-,.y=-2三（7分） ,5115 如图