6定积分的物理应用ppt课件

1、一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功二、水压力二、水压力三、引力三、引力 定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用 由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为sFW . 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想. 一、变力沿直线所作的功即功元素为drrqkdW2 于是所求的功为 例1 电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处, 它所产生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从ra处移动到rb(ab)处, 求电场力对单位正电荷所作的功.

2、 解 在 r 轴上, 当单位正电荷从 r 移动到 r+dr 时, 电场力对它所作的功近似为drrqk2 )11(12bakqrkqdrrkqWbaba)11(12bakqrkqdrrkqWbaba 于是所求的功为 例2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体. 在等温条件下, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个活塞从点a处推移到点b处. 计算在移动过程中, 气体压力所作的功. 解 在点x处, 因为VxS, xkSxSkSpFxkSxSkSpF 当活塞从 x 移动到 xdx 时 变力所作的功近似为dxxk 即功元素为dxxkdW abkxkdxxkWbabalnlnabkxkdxxkWbaba

3、lnln 所以作用在活塞上的力为 点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例 3 一圆柱形蓄水池高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？ 解解建立坐标系如图xoxdxx 取x为积分变量， 5 , 0 x5取任一小区间,dxxx , xoxdxx 5这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dx238 . 9 功元素为功元素为,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦) 由物理学知道，在水深为h处的压强为hp ，这里 是水的比重如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一侧所受的水压力为ApP

4、如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强p不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想 二、水压力解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图xo取取x为为积积分分变变量量，, 0Rx 取取任任一一小小区区间间,dxxx xdxx 小矩形片上各处的压强近小矩形片上各处的压强近似相等似相等小矩形片的面积为小矩形片的面积为.222dxxR ,xp 小小矩矩形形片片的的压压力力元元素素为为dxxRxdP222 端端面面上上所所受受的的压压力力dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R 三。 转动惯量 在在刚刚体体力力学学中中转

5、转动动惯惯量量是是一一个个重重要要的的物物理理量量，若若质质点点质质量量为为 m，到到一一轴轴距距离离为为 r，则则该该质质点点绕绕轴轴的的转转动动惯惯量量为为 2.Imr现在考虑质量连续分布的物体绕轴的转动惯量问题，一般现在考虑质量连续分布的物体绕轴的转动惯量问题，一般地，如果物体形状对称，并且质量为均匀分布时，则可以用定地，如果物体形状对称，并且质量为均匀分布时，则可以用定积分来解决积分来解决. . 解解 选选择择坐坐标标系系（如如下下页页图图）. . 先求转动惯量微元先求转动惯量微元 Id，为此考虑细杆上，为此考虑细杆上 d,xxx一一段，它的质量为段，它的质量为 xlmd，把这一小段杆

6、设想为位于，把这一小段杆设想为位于 x处的处的一个质点，它到转动轴距离为一个质点，它到转动轴距离为 x，于是得微元为，于是得微元为 例例 5 5 一一均均匀匀细细杆杆长长为为 l，质质量量为为 m，试试计计算算细细杆杆绕绕过过它它的的中中点点且且垂垂直直于于杆杆的的轴轴的的转转动动惯惯量量. . .dd2xxlmI 沿沿细细杆杆从从2l到到 2l积积分分，得得整整个个细细杆杆转转动动惯惯量量为为 O y x x d x x 2l 2l32222221d.312llllmm xIxxmlll 由物理学知道，质量分别为21, mm相距为 r的两个质点间的引力的大小为221rmmkF ，其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向 如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算 四 引力2l2l xyoMa解解 建立坐标系如图建立坐标系如图取取y为积分变量为积分变量取取任任一一小小区区间间,dyyy ,2,2 lly将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,dy rydyy 小段与质点的距离为