正项级数敛散性的判别ppt课件

1、复习复习1、常数项级数敛散性判断：、常数项级数敛散性判断：nnuuus 21)1 计算部分和：计算部分和：nns lim)2 计算极限计算极限 发散发散不存在，则不存在，则收敛收敛存在，则存在，则nnuu2、常数项级数发散的判断方法：、常数项级数发散的判断方法： 发发散散。则则级级数数若若nnnuu, 0lim)1发发散散。发发散散，则则收收敛敛，若若 )()2nnnnvuvu敛散性敛散性、 01nnaq 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,1qq 1nn12、调调和和级级数数.发发散散7.2 正项级数敛散性的判别正项级数敛散性的判别 一、正项级数的概念一、正项级数的概念 二、比较判别法二、

2、比较判别法 三、比值判别法三、比值判别法 四、四、*根值判别法根值判别法一、正项级数一、正项级数定义定义这这种种级级数数中中各各项项均均有有如如果果级级数数, 01 nnnuu称为正项级数称为正项级数. .正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件.nS正正项项级级数数收收敛敛部部分分和和数数列列有有上上界界存存在在收收敛敛，即即分分析析：nSu n1nnlimnlimSn 根根据据单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限：存存在在。nnn1nS0SSS nu）证证：有有上上界界知知是是单单调调递递增增数数列列，而而已已SSnn1120,(1,2,),.(1)(1)(1)nnnnaanaaa

3、 例例 设设证证明明级级数数收收敛敛证证明明：1211212(1)(1)(1)(1)(1)(1)nnaaaaaaaaa 111(1)a 11211(1)(1)(1)aaa 1211211(1)(1)(1)(1)(1)(1)nnaaaaaa 1211(1)(1)(1)naaa 1 nS有有界界. .nS显显然然，该该级级数数为为正正项项级级数数. .从从而而原原级级数数收收敛敛二、比较判别法二、比较判别法均均为为正正项项级级数数，和和设设 11nnnnvu注：大的收敛，则小的收敛；小的发散则大的发散。注：大的收敛，则小的收敛；小的发散则大的发散。注：比较判别法在使用时，两个级数的项的不等式关系注

4、：比较判别法在使用时，两个级数的项的不等式关系从第一项开始就要满足，而有些级数也许一开始不从第一项开始就要满足，而有些级数也许一开始不满足而从某一项开始满足，针对此给出下面推论满足而从某一项开始满足，针对此给出下面推论,nnnNucv 使使得得当当时时 有有则则.211发发散散发发散散时时，）当当（ nnnnvu11,c,nnnnuvN 设设和和都都是是正正项项级级数数 且且存存在在常常数数 和和自自然然数数;111收收敛敛收收敛敛时时，）当当（ nnnnuv1nnu 判判断断的的敛敛散散性性. .nu nv对欲求级数进行放大应放大为收敛级数. nc对欲求级数进行缩小应缩小为发散级数.敛散性已

5、知的级数,如p级数，几何级数，调和级数等.放大，缩小的方向放大，缩小的方向1,p 当当解解,11nnp .级级数数发发散散则则 p1111111.234pppppnpnn 例例 讨讨论论级级数数的的敛敛散散性性(0)p 1,p 当当oyx1234)1(1 pxyp1npndxx 21pdxx 12p32pdxx 13p1pn11111234nppppSn 231211111npppndxdxdxxxx 111npdxx 111111npp x 111111ppn 111 p,nS即即有有上上界界.级数收敛级数收敛则则 pP-P-级数的结论级数的结论( (记住记住!)!) 发发散散时时当当收收敛

6、敛时时当当级级数数,1,11:1ppnpnp的的特特例例！级级数数均均为为和和级级数数 11211-p11npnnnnn11nn 5141nn 211.(1)nnn 例例 判判断断级级数数的的敛敛散散性性解解：2211(1)nnn 211,nn 且且收收敛敛.所所以以原原级级数数收收敛敛11.ln(1)nn 例例 判判断断级级数数的的敛敛散散性性解解：11ln(1)1nn 11,1nn 且且发发散散.所所以以原原级级数数发发散散1.21nnnn 例例 判判断断级级数数的的敛敛散散性性解解：21nnn 11,2nn 且且收收敛敛.所所以以原原级级数数收收敛敛12n 44111.nnn 例例 判判

7、断断级级数数- -的的敛敛散散性性解解：4411nn- -212,nn 且且收收敛敛.所所以以原原级级数数收收敛敛44211nn 421n 22n 三、比较判别法的极限形式三、比较判别法的极限形式定理定理( (比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式) )nnn11,lim,nnnnuul 设设与与均均为为正正项项级级数数 且且有有则则nn11(1)0,nnlu 若若则则级级数数与与同同时时收收敛敛或或发发散散, 0)2( l若若,)3( l若若nn11,;nnu 且且收收敛敛 则则收收敛敛nn11,nnu 且且发发散散 则则发发散散n1,nu 一一般般是是判判断断的的敛敛散散性性n1nv 选

8、选择择合合适适的的级级数数使使用用该该判判别别法法. .11nn 调调和和级级数数，11pnn p-p-级级数数，1.nnaq 几几何何级级数数11sin.nn 例例 判判定定级级数数的的收收敛敛性性解解因为因为, 111sinlim nnn,11发散发散而级数而级数 nn11sin.nn 级级数数发发散散11ln(1).nn 例例 判判定定级级数数的的收收敛敛性性解解因为因为1ln(1)lim1,1nnn ,11发散发散而级数而级数 nn11ln(1).nn 级级数数发发散散2151.23nnnn 例例 判判定定级级数数的的收收敛敛性性解解因为因为25123lim1nnnnn 11,nn 而

9、而级级数数发发散散1215.1312nnnn 级级数数发发散散225lim23nnnnn 215lim1312nnnn 5 21.31nnn 例例 判判定定级级数数的的收收敛敛性性解解因为因为23231lim1nnnn 322lim31nn nn 22lim31nnn 13 3121,nn 而而级级数数收收敛敛21.31nnn 级级数数收收敛敛.311的的敛敛散散性性判判定定级级数数 nnnnnnn3131lim nnn311lim 解解, 1 ,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.例例nnnn 33lim例例解解11,01nnaa 判定级数判定级数的敛散性。的敛散性。11lim1n

10、nnaa 1limnnnaa 1, 01, 11,21aaa11nna 收收敛敛，原级数收敛，原级数收敛，11nna 发发散散，原级数发散，原级数发散， 0111lim1nnaa时时，当当原级数发散。原级数发散。时，时，当当1 a时，时，当当1 a1lnnnn 1lnnnn 21lnnnn lnlim1nnnn limlnnn lnlim1nnnn 11,nn 发发散散1ln.nnn 发发散散,事事实实上上ln1(3),nnnn1111,nnnn且且发发散散11lnln,.nnnnnn发发散散limlnnn 11,nn 发发散散1ln.nnn 发发散散 ln1(3)nnnn21lnnnn 22

11、lnlim1nnnn limlnnn 211,nn 而而收收敛敛21ln.nnn 的的敛敛散散性性依依据据该该定定理理无无法法判判别别232lnlim1nnnn 12lnlimnnn lnlimxxx 1lim12xxx 1lim 2xx 03121,nn 而而收收敛敛21ln.nnn 收收敛敛例：用比较判别法或其极限形式判断例：用比较判别法或其极限形式判断 敛散性。敛散性。 1lnnpnn解：解：,1p时时当当 ),3(1ln nnnnpp发散，发散，而而 pn1所以原级数发散。所以原级数发散。时，时，当当1 p )1(1lnlim00ppnnnppn0lnlimppnnn 0lnlimpp

12、xxx 0)(1lim0ppxxpp 0 收敛，收敛， 01pn所以原级数收敛。所以原级数收敛。四、比值判别法四、比值判别法设设 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果)(lim1 为为数数或或 nnnuu 比值收敛法的优点：不必找参考级数比值收敛法的优点：不必找参考级数. . ,11发发散散级级数数例例 nn,112收收敛敛级级数数 nn)1( 1limnnnuu 11lim1nnn lim1nnn 1 1limnnnuu 2211lim1nnn 2lim1nnn 1 1nnu 即即：收收敛敛1lim1.nnnuu 1nnu 发发散散1lim1.nnnuu 11,nn 级级数数发发散散,

13、112收收敛敛级级数数 nn11nnuu ?1lim1.nnnuu 11,nn 级级数数发发散散111nnunun 1lim1.nnnuu 1!(2)10nnn 11(1)!10limlim!10nnnnnnnunu 101lim nn 1!.10nnn 发发散散1(1)! 10lim10!nnnnn 10012(1)nnn 110011002(1)limlim2nnnnnnunun 11001002lim(1)2nnnnn 100100lim2(1)nnn 100lim21nnn 2 1, 10012.nnn 发发散散1!(3)nnnn 11(1)!(1)limlim!nnnnnnnunnu

14、n 1(1)!lim(1)!nnnnnnn lim(1)nnnnn 1lim1nnnn 1lim1(1)nnn 1e 1, 1!.nnnn 收收敛敛lim1nnnn 121(4)2tan4nnn 221122tan4(1)limlim2tan4nnnnnnunun 22tan4(1)lim2tan4nnn 224(1)lim24nnn 22lim2(1)nnn 2lim21nnn 22 lim1nnn 21 1212tan.4nnn 发发散散221sin5(5)5nnnn 221122(1)(1) sin55limlimsin55nnnnnnnnunun 222(1)sin115lim5sin

15、5nnnnn 222(1)115lim55nnnnn 411lim5nnn 115错误做法！错误做法！221sin5(5)5nnnn 222sin555nnnnn 21,5nnn 对对级级数数而而言言2112(1)5limlim5nnnnnnnunu 211lim5nnn 11521,5nnn 级级数数收收敛敛221sin5.5nnnn 从从而而收收敛敛3,2n112( 1)22( 1) nnnnuu 但但12( 1)2nnn 收收敛敛. .1limnnnuu 不不存存在在。2( 1)2nnnu 解解：12( 1)2nnn 例例 13,2nn 而而收收敛敛n为为偶偶数数16n为为奇奇数数32五

16、、五、* *根值判别法根值判别法,1 ,1 nnn设级数设级数例如例如1limlimnnnnnnun 1limnn 定理：定理：注：当级数中含有注：当级数中含有n次方时，通常采用根式判别法次方时，通常采用根式判别法.nn1,limnnnuur 对对于于正正项项级级数数若若有有r1(= ), 当当时时 级级数数发发散散; ;,1r级级数数收收敛敛时时则则当当 1r 时时不不能能判判断断. .0 1 11.nnn 级级数数收收敛敛解：解：12.32nnnn 例例 判判定定级级数数的的收收敛敛性性2lim32nnnnn 2lim32nnn 21312.32nnnn 收收敛敛解：解：12( 1).2nnn 例例 判判定定级级数数的的收收敛敛性性解：解：1limlim2( 1)2nnnnnnu n为为偶偶数数n为为奇奇数数1lim32nn 121lim12nn 121212( 1).2nnn 收收敛敛判断级数敛散性的一般步骤：判断级数敛散性的一般步骤：（1）?0lim nnu（2比式判别法或根式判别法通项中含有比式判别法或根式判别法通项中含有n次幂）次