极坐标和参数方程基础知识及重点题型

1、高中数学回归课本校本教材24当 0 :： e :： 1（一）基础知识参数极坐标1. 极坐标定义：M是平面上一点，亍表示OM的长度，二是/MOx，则有序实数实数对（人引，亍 叫极径，二叫极角；一般地，匚三0,2二），T ：0。2. 常见的曲线的极坐标方程（1）直线过点M（。，二），倾斜角为:.常见的等量关系：正弦定理 _OPOM ，. OMP - 二 _ : OPM 二 - _ rsin /OMP sin ZOPM（2）圆心P（监耳）半径为R的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理；（3）圆锥曲线极坐标：ep一，当e . 1时，方程表示双曲线；当e = 1时，方程表示抛物线;1 ecosT时，

2、方程表示椭圆.提醒：极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。极坐标方程P= 32 4cosT表示的曲线是 双曲线3.参数方程：（1）22 2 2圆(x-a)(x-b)=r的参数方程：xa二 r cost, xb= r sin v(2)椭圆 -1 的参数方程：x =acosv,x =bsinv a2 b22（3）直线过点M（xo,yo），倾斜角为?的参数方程：tan = y 一即生二土* =tx-xocosO sinO二需；注：co亍0，sin "平据锐角三角函数定义，T几何意义是有向线段MP的数量其中t表示直线I上以定点M0为起点，任意一点M（x, y）为终点的有向线段M0M的数量

3、M0M， 当点M在M0的上方时，t 0;当点M在M0的下方时，t : 0.（4抛物线y2=2px（p>0 的参数方程为：!x=2Pt住为参数）. ly =2pt由于y J，因此参数t的几何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.x tlx 2 亠sin2 !如：将参数方程22（日为参数）化为普通方程为y=x_2（2兰x兰3）将y=sin2日代入x=2+sin2日即可，但是y =sin -0 乞sin2v：1；4.极坐标和直角坐标互化公式：；-pboS 日佰=X2 +y2Xicos：或.y，B的象限由点(x,y)所在象限确定.y = :-sin tan v - y (x =-0)

4、ilx（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与 x轴正半轴重合.（2） 将点（：；变成直角坐标（cosv,sin v），也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。5.极坐标的几个注意点：（1）极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点（极点）女口：已知圆C的参数方程为3 2co（二.y = 2si n 日为参数），若P是圆C与y轴正半轴的交点，以圆心 C为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点 P的圆C的切线 的极坐标方程。;?cosU -5二）=26如：已知抛物线y2 =4X，以焦点F为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求抛物线的极坐标方程。即'=2。1 -

5、cos 二（2）对极坐标中的极径和参数方程中的参数的几何意义认识不足如：已知椭圆的长轴长为6,焦距 旺=42 ,过椭圆左焦点Fi作一直线，交椭圆于两点M N,设F2FM=,（0空.：二）,当a为何值时，MN与椭圆短轴长相等？或匸一6 6（3）直角坐标和极坐标一般不要混合使用：女口：已知某曲线的极坐标方程为T2_2.2?'si n（r ）_2 _0。（ 1）将上4述曲线方程化为普通方程；（2）若点P（x,y）是该曲线上任意点，求 x y的取值范围。2 _2 2,2 .2 2（二）基本计算1.求点的极坐标：有序实数实数对 （吩，叫极径，二叫极角；如：点 M的直角坐标是（-1,. 3），则点

6、M的极坐标为（2, y）提示:（2,2k二 Z都是点M的极坐标.32.求曲线轨迹的方程步骤：（1）建立坐标系；（2）在曲线上取一点P（ AT ；（3）写出等式；（4）根据匸,二几何意义用 几二表示上述等式，并化简 （注意：xHPyHB）；（5）验证。女口：长为2a的线段，其端点在 Ox轴和Oy轴正方向上滑动，从原点作这条线段的垂线，垂足为M，求点M的轨迹的极坐标方程（Ox轴为极轴），再化为直角坐标方程解：设点 M 的极坐标为（】,v），则.OBM =. AOM -v，且 |OA|=2asinv， P J OA |cos _2asin cos - a sin 2二，二点 M的轨迹的极坐标方程为r

7、二asin20 ：二：二）.由；=asin2二可得3 =2a严sin rcosn，（x2 -y2）2 2axy其直角坐标方程为（x2 y2）2 =2axy（x -0,y .0）.3. 求轨迹方程的常用方法：直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成 F（x, y）=0,是求轨迹最基本的方法待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回方程代入法（相关点法或转移法）.女口：从极点作圆：=2acosj的弦,求各弦中点的轨迹方程.解：设所求曲线上的动点 M的极坐标 为（匚吵，圆亍=2acosj上的动点的极坐标为（入引由题设可知，二“，将其代入圆的方程得：、=acosr（w：:

8、二）.R=2P22定义法：如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义，则可由曲线定义直接写岀方程.交轨法（参数法）：当动点P（x, y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中 间变量（参数）表示,得参数方程，再消去参数得普通方程.4. 参数和极径的几何意义的运用：T表示OM的长度；T几何意义是有向线段 MP的数量；女口：已知过点P（9, 3）的直线丨与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A B两点，则AB最小值为x =9 亠t cos.篇倾斜角为：，贝U AB =tt2或AB = I t1 | ' |t2 |，t19，t2cost3. .93,7、 9sin 3

9、cos，则丨（。）=+亠，丨（8= 一:sin 二cos土 sin、£2cos : 2sin :-9sin3- . 3cos :x令丨&）=0，2 2cos sin :-3tan -（3）3所以,1。9寸3tan :一 3，： =150，心）min =丨（150） "cosi s= 8.3注意：本题可以取 倾斜角的补角为如 过抛物线y2 =8x的焦点F作倾斜角为'的直线，交抛物线于A,B两点，求线段AB的长度.解：对此抛物线有4e 二1, p = 4，所以抛物线的极坐标方程为1 -cos 日A,B两点的极坐标分别为和 £， |FA|=4（1-cos

10、：4）=4（2 -Q），44|FB = 4 （1 cosfc4_4（,22）5.参数方程的应用-求最值:|AB|#FA| |FB|=16.线段 AB 的长度为 16.如：已知点P（x, y）是圆x2 - y2 =2y上的动点，（1）求2x ' y的取值范围；（2）若x ' y - 0恒成立，求实数 a的取值范围。r51,.5 1. （2） x+y+a =cos&+sin 8+1+a 畠0 眨1,切.x2 y2x=4cosV如：在椭圆1上找一点，使这一点到直线x -2y -12 =0的距离的最小值.解：设椭圆的参数方程为一.16 12y=2J3sin 日4cos 日 T

11、応sin 8 12aj5戶.4 5 cos日73sinT32cos（n §）-3当 cos（v=1，即 r 时,3dmin 二甘，此5时所求点为（2, -3）.C.选修4 -4参数方程与极坐标已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与X轴的正半轴重合。若曲线C1的方程为r2=8Jsinr-15,曲线C2的方程为x为参数）。y =72 sin a（1 ）将Ci的方程化为直角坐标方程;（2）若C2上的点Q对应的参数为 = , P为C1上的动点，求PQ的最小值。4提示：(1) x2 y2 -8y 15=0.3 TT(2)当=时，得 Q(-2,1),4点Q到C/勺圆心的距离为13 所以

12、PQ的最小值为13-1.在极坐标系中，求经过三点0（0, 0）,A（2，2），B（2 2，；）的圆的极坐标方程.解：设P（二,巧是所求圆上的任意一点，则OP =OBcosC 一），故所求的圆的极坐标方程为44已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与X轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为（1）把直线I的极坐标方程化为直角坐标系方程;2X（2）已知P为椭圆C : 一162-1上一点（已知曲线9X 4cos otC的参数方程为t'（a为参数），）求P到直线l的_y =3si na距离的最大值.解：（1）直线I的极坐标方程sin IJ一4心，则右s"尹d 2 ,即：?sin

13、 r -cosv - 6 ,所以直线I的直角坐标方程为x - y 6 = 0;2 2（2） p为椭圆計1上-点,设 P（4cos： ,3sin ：），其中二三0,2二）,则P到直线l的距离d4cos 3si " 6|5cos L 6|，其中cos5所以当cosr） =1时，d的最大值为 11.22在极坐标系中，圆 C的方程为f=2.2sin），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标4r x =t系，直线I的参数方程为1（ t为参数），判断直线I和圆C的位置关系.y =1 +2t解：消去参数t，得直线I的直角坐标方程为 y =2x 1 ；亍=2 2（sin二）即二2（si

14、ncos扪,4两边同乘以 匸得 沪=2（si nr ；-coi），得O C的直角坐标方程为：（x-1）2 （x-1）2 = 2,圆心c到直线I的距离d2二1_11 = 兰 2，所以直线I和O C相交.J22 +1253x = _3t ' 2,已知曲线C的极坐标方程是 Q=2si nr，直线I的参数方程是5（ t为参数）.（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线I与x轴的交点是M , N是曲线C上一动点，求MN的最大值.解：（1）曲线C的极坐标方程可化为专=2：、sinr又 x2 +y2 = 0 , x = Pcos 日,y = Psi ng,2 2所以曲线C的直角坐标方

15、程为 x - y -2y =0（2）将直线I的参数方程化为直角坐标方程，得y = _4（x 一2）3令y =0 ,得x =2，即M点的坐标为（2,0）.又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（1,0），半径r =1，则MC = 5所以 MN < MC r =.：；51OP -OQ卜 1,在极坐标系中，已知点A（2,0）到直线Isin （八二）二mm0的距离为3. 1求实数m的值；2设P是直线I上的动点，Q在线段OP上，且满足 求点Q的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形.解析：1以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，则点A勺直角坐标为（、.2,0）,=1 m = 3,所以m = 2.直线I

16、的直角坐标方程为x-y r亦=0.因为A到直线I的距离d =|2由1得直线I的方程为，sin（r -'4）=2设p（0j0）,Q（F）,贝y因为点P（ ?0,丸）在直线I上，所以r0si n（r0）=2.将代入，得sin C ）=2,4P4即? =1sin）.这就是点Q的轨迹方程.24化为直角坐标方程为（x+竝）2 +（y -返）2 =丄因此点Q的轨迹是以（-，竺）为圆心，丄为半径的圆.88164 44变式训练（2010浙江卷）如图，在极坐标系Ox中，已知曲线:JIJIG：、二 4sin珥"迄）;423C2： ' = 4cos （或：2二）；4221求由曲线C1，C2

17、,C3围成的区域的面积;TE3T31（2 ）设M （4），N（2,0 ），射线日二 （卩二 °，一 < " < 一）与242曲线C1, ©分别交于A B（不同于极点O）两点.若线段 AB的中点恰好落在直线MN上，求tana的值.1 1 1解析：1由已知，E形osp2222二二-2所以S阴影部分22-2（禦-2） = 4,11故所求面积S4222 -4 =6薦-4.422 设AB的中点为G（ ?，），ONG 二，由题意知，二一 -2sin> 2cos，.cp 2sin51一os在 OGN中,ONsin OGNOGsin ONG2 2sin a +2cos。sin（冥 72 -） 一 sin :所以sin鳥" cos：sinsin （U）2