连续统假设的否定

1、连续统假设的否定(一)陈守仁*摘要：本文用否定连续统假设某一个推论的方法来否定连续统假设。关键词：连续统假设，不可数集，凝聚点，有界闭集，一致连续。一、连续统假设的推论31在(心+ 8)的一个不可数子集E上，存在一个连续函数f(x),使得它在E的 任一个不可数子集上都不是一致连续的。下面我们证明此推论不成立。二、证明过程引理一、任何不可数集E中，都至少包含一个凝聚点 M，且M E。证：分两种情况讨论：(一)当E为有界不可数集时假设集合E不含凝聚点，下面再分三种情况探讨：(1) E中只含一些孤立点，贝U E为至多可数集，即E<a2。(2) E中只含一般的聚点，设Mi为E中一聚点，则以Mi为

2、中心的任一 邻域内都含有E中可数无限个点，集合E必包含于以Mi为中心的 某一邻域内(因E有界)，此邻域包含E中可数个点，且包含E中 全部的点，故E为可数集。即E=a。(3) E中既有孤立点，也有一般的聚点，即 E=Ei+E2。其中Ei中只含 孤立点，E2中只含一般的聚点。所以 .E=Ei2wEi+E2=a+a=a。从以上三种情况都可证出E<a和E=C的假设(因假设E为不可数集)矛 盾，故E中至少含有一个凝聚点M。下面再分两种情况讨论：(a) 若M为E的内点，贝U M E。(b) 若M为E的边界点，则M可能属于E,也可能不属于E。当M E时，问题已解决；当M?E时，因M为E的凝聚点，则以M

3、 为中心的任一邻域S内，都含有E中不可数的点。用E§表示S邻域中 所有E中点的集合，贝U E§为不可数集。因为M ? E，故M ? E§。设Mi为E冲任一点，因M ? E®而Mi E®所以MiMM。现在以Mi为 中心，S长为半径，做一个邻域 乩则就被各覆盖，于是合中也含有 E中不可数的点。因为S邻域的长是任意的，而 $比S长一倍，故爼邻 域的长也是任意的，这样，以 Mi为中心的任一 $邻域内，都含有E中 不可数的点，所以Mi为E的凝聚点，且Mi E$?E0这就证明了在任意 有界不可数集E中，皆至少含有一个属于E的E的凝聚点。（二）当E为无界不可

4、数集时当E为无界不可数集时，E中至少有一个有界不可数子集，否则若E中任一 有界子集皆为至多可数集（注解i）,则集合E就成为可数个可数集的并集，仍为 可数集，这就和E为不可数集的假设矛盾。假设集合 E中有一个有界不可数子 集Ei,根据（一）中所证，Ei中至少含有一个凝聚点 Mi，且Mi Ei。则以Mi 为中心的任一邻域内，都含有 Ei中不可数的点，因Ei?E，故以Mi为中心的任 一邻域内，都含有E中不可数的点，即Mi也是E的凝聚点，且Mi Eo这就证 明了无界不可数集也含有属于它的凝聚点。综上所述，任何不可数集E中，都至少含有一个凝聚点 M，且M E,引理 一得证。引理二、设Ei为不可数集E中所

5、有凝聚点的集合，则 Ei为不可数集。证：由于Ei为E中所有凝聚点的集合，则集合（E-Ei）中就不含凝聚点， 从引理一（一）的证明过程中就可看出 E<a如Ei不是不可数集，Ei必为至 多可数集（注解i）,则Ei<a这时E=Ei+（E-Ei） 昏+E-EiW a+a=a即E为至多可 数集，和E为不可数集的假设矛盾，所以Ei为不可数集，引理二得证。引理三、设E为不可数集，且E中所有的点都是E中的凝聚点，贝U E中任 意一个由凝聚点组成的有界子集 Ei也是不可数集（E未必有界）。证：由于Ei?E，设Mi为Ei中任一点，贝U Mi Ei?E，根据假设，Ei中所有的点 都是E中的凝聚点，Mi也

6、不例外，则以Mi为中心的任一 $邻域内，都含有E 中不可数的点。我们这样选取 $邻域：（一）、Mi为Ei的内点，选取时把$邻 域的两个端点都选在Ei的边界内，并称新选取的邻域为 $。（二）、Mi为Ei 的边界点（Mi Ei），选取时把$邻域的一个端点落在Ei的边界内，称$邻域 在Ei内部的一半为$，由于Mi为E的凝聚点，故不论Mi为Ei的内点或边界点， a邻域内都含有E中不可数的点，即 令=c。又因为E为不可数集，所以E=c； 又由于6?Ei?E，因此就得出c=(1<Ei<E=c(1)否则，若( 1)式不成立，就有=> Ei .(2)或有Ei> E.(3)但(2)、(

7、3)两式皆和8?Ei?E矛盾，因此都不能成立。最后由(1)式得出c圣i=c即Ei=c，所以Ei为不可数集，引理三得证。引理四、在有界闭集E上连续的函数f(x)在E上一致连续。证：设xo为E中任一点，x为E中异于xo任一点(即xx)，因假设f(x) 在E上连续，故f(x)在xo也必连续(因xo E)。因此对于任意给定的£ >0,必 存在一个 a >0，当 |x-xo|v a 时，就有 |f(x)-f(xo)|v & 成立。我们假设f(x)在E上不一致连续，则对于某一个®>o,不管a多麽小，在闭集E上总可找到两点xi和血，虽然| Xi-X2|S,但仍有

8、|f(Xi)-f(X2)|(i)由于f(x)在E上连续，故f(x)在X2也应该连续(因X2 E)，则当|Xi-X2| V a o( ao为某一正数，ao随&而定)，有|f(x i)-f(x 2)| V © (2)这就和(i)式矛盾，所以f(x)在E上一致连续，引理四证毕。在这里，我们应注意两点：(一) 此引理是数学分析中康托定理 3的推广，康托定理只通用于闭区间，而此 引理却适用于任意有界闭集。(二) 集合 E 有界且为闭集这两个条件缺一不可，否则此引理就不成立，请看 以下两个反例 3 ：a) f(x)=x2在(-g ,+x)连续，但在(4 ,+x)却不一致连续(因(-g ,

9、+x)无界)。b) f(x)=在(o,i)连续，但在(o,i)却不一致连续(因(o,i)为开集)。定理一、(推论3的否定) 设E为(-8,+x)中的任一个不可数子集，f(x) 是定义在 E 上的任一个连续函数，则至少存在 E 的一个有界不可数子集 E1，0 使 f(x)在Ei上一致连续。证：因E为不可数集，根据引理一，E中至少含有一个E的凝聚点M，且 M E。设E中所有凝聚点的集合为Ei，根据引理二，Ei为不可数集。由于f(x) 在E上连续，则f(x)在E的子集Ei上也连续，否则若f(x)在E的子集Ei上某一 点xi间断，由于Xi Ei? E，所以f(x)在E上就有间断点xi，和f(x)在E上

10、连续 的假设矛盾。又由于Ei为E中所有凝聚点的集合，故Ei为完全集(注解2)，也是 闭集，但 Ei 未必有界。下面分两种情况讨论：(一) 、当Ei无界时，可在Ei中选取有界的一段Ei0选取时要把Ei0的边 界点放在Ei0内，这时Ei就成为有界闭集(注解3), f(x)既在E上连续，则f(x)在 Ei的子集Ei上也连续(其证法和f(x)在Ei上连续的方法相同)，根据引理四， f(x)在Ei°上一致连续，又因为Ei为不可数集，且Ei全由凝聚点组成，根据引理 三，Ei的有界子集Ei 也是不可数集。(可以证明 Ei中都是凝聚点)(二) 、当Ei有界时，可把Ei记作Ei,前面已证出Ei即Ei为

11、不可数集， 且Ei即Ei0为有界闭集，又证明了 f(x)在Ei即Ei上连续，根据引理四，f(x)在Ei 即 Ei 上一致连续。0这样对(-,+8)中的任一个不可数子集E上的任一个连续函数f(x),都至少 存在E的一个有界不可数子集Ei。(因Ei?Ei?E)，使f(x)在Ei上一致连续，这 就和推论 3矛盾，因此推论 3被推翻。三、连续统假设的否定任何命题都和其逆否命题等价， 推论 3 是在连续统假设成立的假设下推导出 来的，现在证出了推论 3不成立， 说明连续统假设也不成立。 通常所说的连续统 假设指的是狭义连续统假设， 它是广义连续统假设的特殊情况， 狭义连续统假设 不成立，广义连续统假设也不能成立。这样，这个百余年来号称第一数学难题的命题，终于得到彻底解决注解（1）：这里我们假设a和c之间没有中间势，即假设连续统假设成立。推论 3 是在连续统假设成立的假设下推导出来的， 现在根据同样的假设又证出推 论 3 不成立，这就发生矛盾，这就说明连续统假设不成立。注解（2）:即卩Ei中所有的点都是E的凝聚点，也都是Ei的凝聚点；而且E 中所有的凝聚点（也就是Ei中所有的凝聚点）都在Ei中，故曰为完全集。注解（3）:集合Ei有界是有意构 造的，由于Ei0?Ei，仿照前面证明f（x）在 Ei上连续的证法，可以证出Ei中所有的内点和边界点都是 E的凝聚点，也都是 Ei的凝聚点，而且这些点都属