柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱,.

1、柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，但他的理论还只能说是“比较严格”，人们不久便发现柯西的理论实际上也存在漏洞。例如，他用了许多“无 限趋近”、“想要多小就多小”等直觉描述的语言。特别是，微积分计算是在实数舞台上进行的，但直到19世纪中叶，对于什么是实数，竟还没有明确的定义。数学家们对实数系本身 仍然是以直观的方式来理解的，他们相当随意地使用无理数(如42)，而没有认真考察它们的确切意义和性质。为了进行计算，他们依靠了这样的假设：任何无理数都能用有理数来任意逼近，如、2=1.4142|。由于对实数系缺乏充分的理解，就不可能真正为微积分奠定牢固的基础。例如，柯西在证明连续

2、函数积分 (作为和式的极限) 的存在性、证明级数收敛判别准则的充分性(Sn+ -Sn对一切r和充分大的n都小于任意指定的量)以及证明中值定理-f(x) f(xo) = f(x+T(xXo )(x X。),日(0,1)1时，都需要实数的完备性， 而实数系的这种基本性质在当时并没有证实。对实数系缺乏认识不仅造成逻辑上的间断，而且实际上常常导致错误。由于没有建立一致收敛性概念，柯西得出过一个错误判断：若un(x)(n = 1,2,|)皆连续，且级数qQUn(x)=F(x)收敛，则F(X)连续；他还断定这时对收敛级数可以逐项积分n 4b - bF (x)dxun(x)dxan占a另一个在当时普遍持有的

3、错误观念是凡连续函数都是可微的。因此，当德国数学家魏尔斯特拉斯在1861年举出一个处处连续但却处处不可微的函数例子时，数学界可以说市大为震惊。魏尔斯特拉斯的例子是QOf (x) =E bn cos( a%x )n=0其中a是奇数，b 0,1为常数，使得ab 1。高斯曾经称“数学是眼睛的科学”但是要看清魏尔斯特拉斯摆在数学家们面前的这条曲线，单靠一双好眼睛是无论如何不够 的。魏尔斯特拉斯的例子使人们迫切感到彻底摆脱对几何直觉的依赖，重新认识考察分析基础的必要性。另一位德国数学家戴德金(R。Dedekind)在1858年开始讲授微积分时说过的一段话，也反映出当时的数学家不满足于柯西的标准，而寻求使

4、分析进一步严格化的途径的愿望：“我比以往任何时候更加强烈地感到这种算法缺乏真正科学的基础。在讨论一个变量逼近于一个固定的极限值的概念时，特别是在证明每个连续增加但不超过一切界限的量必定趋 向于一个极限这一定理时，我依靠的是几何上的证据。-但是，决不能认为以这种方式引 入微分学是科学的。 这一点已经得到公认。至于我本人，也无法克制这种不满意的感觉而下定决心研究这个问题，直到为无穷小分析原理建立纯粹算术的和完全严格的基础为止。”把分析建立在“纯粹算术”的基础之上，这方面的努力在19世纪后半叶酿成了数学史上著名的“分析算术化” 运动，这场运动的主将是上面已经提到的魏尔斯特拉斯。魏尔斯特拉斯认为实数赋

5、予我们极限与连续等概念，从而成为全部分析的本源。要使分析严格化，首先就要使实数系本身严格化。为此最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为整数(有理数)。这样，分析的所有概念便可由整数导出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填补。这就是 所谓“分析算术化”纲领，魏尔斯特拉斯本人和他的学生们为实现这一纲领作出了艰苦的努 力并获得了很大成功。魏尔斯特拉斯(Karl Weierstrass,1815 1897)出生于德国威斯特伐里亚地区一个海关官 员家庭，中学毕业时成绩优秀，共获7项奖，其中包括数学，但他的父亲却把他送到波恩大 学去学习法律和商业。魏尔斯特拉斯对商业和法律都毫无兴趣。在波恩大学他把相当一部分时

6、间花在自学他所喜欢的数学上，攻读了包括拉普拉斯的天体力学在内的一些名著。他在波恩的另一部分时间则花在了击剑上。魏尔斯特拉斯体魄魁伟，击剑时出手准确，加上旋风般的速度，很快就成为波恩人心目中的击剑明星。这样在波恩大学度过四年之后，魏尔斯特拉斯回到家里，没有得到他父亲所希望的法律博士学位，连硕士学位也没有得到。 这使他父亲勃然大怒，呵斥他是一个“从躯壳到灵魂都患病的人”。这时多亏他家的一位朋友建议， 魏尔斯特拉斯被送到明斯特去准备教师资格考试。1841年，他正式通过了教师资格考试。在这期间，他的数学老师居德曼认识到他的才能。居德曼(C.Guderma nn )是一位椭圆函数论专家，他的椭圆函数论给

7、了魏尔斯特拉斯很大影响，魏尔斯特拉斯为通过教师资格考试而提交的一篇论文的主题就是求椭圆函数的幕级数展开。居德曼在这篇论文的评语中写道：“论文显示了一位难得的数学人才，只要不被埋没荒废，一定会对科学的进步作出贡献”。居德曼的评语并没有引起任何重视，魏尔斯特拉斯在获得中学教师资格后开始了漫长的中学教师生活。他在两处偏僻的地方中学度过了包括30岁到40岁的这段数学家的黄金岁月。他在中学不光是教数学， 还教物理、德文、地理甚至体育和书法课，而所得薪金连进行科学 通信的邮资都付不起。但魏尔斯特拉斯以惊人的毅力，过着一种双重的生活。他白天教课， 晚上攻读研究阿贝尔等人的数学著作，并写了许多论文。其中有少数

8、发表在当时德国中学发行的一种不定期刊物“教学简介”上，但正如魏尔斯特拉斯后来的学生、瑞典数学家米塔。 列夫勒所说的那样：“没有人会到中学的教学简介中去寻找有划时代意义的数学论文”。不过魏尔斯特拉斯这一段时间的业余研究，却奠定了他一生数学创造的基础。一直到1853年，魏尔斯特拉斯将一篇关于阿贝尔函数的论文寄给了德国数学家克雷尔 主办的纯粹与应用数学杂志(常常简称数学杂志)，这才使他时来运转。克雷尔的杂志素以向有创造力的年青数学家开放而著称。阿贝尔的论文在受到柯西等名家冷落的情况下却被克雷尔杂志在 1827年刊登出来；雅可比的椭圆函数论论文、格林的位势论论文等数学 史上的重要文献，也都是在别处得不

9、到发表而在克雷尔的帮助下用他的杂志发表的。这一次克雷尔又出场了。他接受了魏尔斯特拉斯的论文并在第二年就发表出来，随即引起了轰动。 哥尼斯堡大学一位数学教授亲自到魏尔斯特拉斯当时任教的布伦斯堡中学向他颁发了哥尼 斯堡大学博士学位证书。 普鲁士教育部宣布晋升魏尔斯特拉斯，并给了他一年假期带职从事研究。此后，他再也没有回到布伦斯堡。1856年，也就是他当了 15年中学教师后，魏尔斯特拉斯被任命为柏林工业大学数学教授，同年被选进柏林科学院。 他后来又转到柏林大学任教授直到去世，晚年享有很高的声誉，几乎被看成德意志的民族英雄。在数学史上，魏尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。这种严格化的突出表现是创造了一套；-：语言，用以重建分析体系。他批评柯西等前人采用的“无限地趋近”等说法具有明显的运动学含义，代之以更严密的；表述，用这种方式重新定义了极限、连续、导数等分析基本概念，特别是通过引进以往被忽视的一致收敛性 而消除了微积分中不断出现的各种异议和混乱。可以说，数学分析达到今天所具有的严密形式，本质上归功于魏尔斯特拉斯的工作。魏尔斯特拉斯很少正式发表自己的研究成果， 他的许多思想和方法主要是通过他在柏林 工业大学和柏林大学的课堂讲授而传播的，其中有一些后来由