天津大学结构力学第三章课件

1、1、理想桁架、理想桁架 理想桁架的假定：理想桁架的假定： （1）桁架中所有的结点均为理想铰，即光滑桁架中所有的结点均为理想铰，即光滑无摩擦铰接；无摩擦铰接； （2）桁架中所有杆的杆轴绝对平直，且通过桁架中所有杆的杆轴绝对平直，且通过其两端铰的中心；其两端铰的中心； （3）荷载和支座均在铰结点上，即桁架上所荷载和支座均在铰结点上，即桁架上所有外力为结点力。有外力为结点力。 理想桁架计算得出的内力（轴力）叫主理想桁架计算得出的内力（轴力）叫主内力，相应的应力叫主应力。而由于与内力，相应的应力叫主应力。而由于与理想假定偏差而产生的附加内力叫次内理想假定偏差而产生的附加内力叫次内力，相应的应力叫次应力

2、。力，相应的应力叫次应力。 理想桁架中的所有杆均是二力杆理想桁架中的所有杆均是二力杆 2、桁架的各部分名称和分类、桁架的各部分名称和分类 上弦杆上弦杆 斜腹杆斜腹杆 竖腹杆竖腹杆 桁高桁高 跨度跨度 节间长度节间长度 下弦杆下弦杆 根据桁架的几何组成分类：根据桁架的几何组成分类：简单桁架：简单桁架： 联合桁架：联合桁架： (b)联合桁架联合桁架 复杂桁架：复杂桁架： (c)复杂桁架复杂桁架 (a)简单桁架简单桁架 3、内力计算方法：、内力计算方法： 静定桁架的内力计算基本方法分为：静定桁架的内力计算基本方法分为： 实际应用一般是这两种基本方法的实际应用一般是这两种基本方法的灵活选择、联合应用灵

3、活选择、联合应用。 结点法结点法截面法截面法YYXXNLFLFLF简称：力与杆长比例式简称：力与杆长比例式图图3-4-1 桁架杆轴力以受拉为正。桁架杆轴力以受拉为正。 在同一坐标中，桁架杆的轴力及投影与杆长及在同一坐标中，桁架杆的轴力及投影与杆长及投影有比例关系如下：投影有比例关系如下：规定规定1 1、结点法：、结点法：每次取一个结点为隔离体，利用结点平衡条件，每次取一个结点为隔离体，利用结点平衡条件，求解杆轴力的方法。求解杆轴力的方法。例例3-4-1 用结点法计算图用结点法计算图(a)所示静定桁架。所示静定桁架。 (a) (b) b4bDEACKPF /2PFPFPFPF /2F =2FAy

4、PF=0AxF=2FByPPF /2PFPFPFPF /2对于简单桁架，可以用结点法求出全部杆件的对于简单桁架，可以用结点法求出全部杆件的轴力。轴力。 要点是按拆二元体的顺序，依次取结点（每次要点是按拆二元体的顺序，依次取结点（每次截断两根未计算的杆件）为隔离体，可不解联截断两根未计算的杆件）为隔离体，可不解联立方程。立方程。 解解: :对本例，用结点法计算如下：对本例，用结点法计算如下： 结点结点A： F =2FAyPF=0AxF=2FByPPF /2PFPFPFPF /2FNAGF=2FAyPFNAEF=0Ax(c) PF /2A51sin52cos 0YF022sinPPNAGFFFPN

5、AGFF253 0XF0cosNAGNAEFFPNAEFF3(a) (b) FNAGF=2FAyPFNAEF=0AxPF /2A利用比例式时，结点利用比例式时，结点A的受力图见图的受力图见图(d)， FYAGF =2FAyPFNAEF=0AxFXAG(d) PF /22A 0YF022PPYAGFFF23PYAGFF由比例关系，得：由比例关系，得： PYAGYAGAGNAGFFLLF253 (a) 0XF0XAGNAEFFPXAGNAEFFF3 (b) FYAGF =2FAyPFNAEF=0AxFXAGPF /22A结点结点E： 0YF0NEGF 0XFPNEDFF3 (c) (d) F =2

6、FAyPF =0AxF =2FByPPF /2PFPFPFPF /2FNEGFNED3FP(e) E结点结点G： F =2FAyPF =0AxF =2FByPPF /2PFPFPFPF /2FNGDFNGCPF253(f) PFxyP3 5F2当两个待求轴力杆都为斜杆时，若要不使结当两个待求轴力杆都为斜杆时，若要不使结点的两个平衡方程耦联，只要点的两个平衡方程耦联，只要将直角坐标的将直角坐标的一个坐标轴与其中的一个杆轴重合，先建立一个坐标轴与其中的一个杆轴重合，先建立另一个坐标轴的投影方程即可。另一个坐标轴的投影方程即可。方法一方法一: : 0YF0cos2sinPNGDFFPNGDFF25

7、(e) 0XF0sin2cos253PNGDPNGCFFFFPNGCFF5(f) FNGDFNGCPF253PFxyP3 5F2方法二方法二: :将力系中的某力沿其作用线上滑移到任一点分将力系中的某力沿其作用线上滑移到任一点分解，不影响原力系的平衡状态。解，不影响原力系的平衡状态。 FXGCFXGDFYGCFYGD23PFPF3 (g) PFbbbAGC 0DMPPPXGCFbFbFbF2)223(1PXGCXGCYGCYGCFFLLFPXGCXGCGCNGCFFLLF5(f) FXGCFXGDFYGCFYGD23PFPF3PFbbbAGC 0CMPPPPXGDFbFbFbFbF)2233(1

8、PXGDXGDYGDYGDFFLLF21PXGDXGDGDNGDFFLLF25 (e) FXGCFXGDFYGCFYGD23PFPF3PFbbbAGC结点结点C： 0YFPNCDFF(h) F =2FAyPF =0AxF =2FByPPF /2PFPFPFPF /2FNCDPFPF2PFPF2PFKGC结点结点D： F =2FAyPF =0AxF =2FByPPF /2PFPFPFPF /22PFPFPF3PFPF32PF(i) PFDKG该结点上的各杆轴力已有前各步计算得出，该结点上的各杆轴力已有前各步计算得出，在此用于校核。用图在此用于校核。用图(j)表示桁架内力计算表示桁架内力计算的最终

9、结果。的最终结果。DEACKPF5PF250PF3PF253PF3PF(j)H 2、结点法的特殊情况、结点法的特殊情况 单杆概念单杆概念在桁架计算所取的隔离体（结点法中的结点，在桁架计算所取的隔离体（结点法中的结点，或截面法中的桁架的一部分）所截断的杆件或截面法中的桁架的一部分）所截断的杆件中，若有一根杆件的位置或方向独立于其它中，若有一根杆件的位置或方向独立于其它杆件，使该杆的轴力可由该隔离体独立确定，杆件，使该杆的轴力可由该隔离体独立确定，则这个杆件就叫做该隔离体的单杆。则这个杆件就叫做该隔离体的单杆。 在桁架的内力计算中，利用单杆的概念，先确在桁架的内力计算中，利用单杆的概念，先确定出单

10、杆的内力，不仅简捷计算过程，有时是定出单杆的内力，不仅简捷计算过程，有时是解题的关键路径。解题的关键路径。结点单杆的情况：结点单杆的情况： (a) (b) (a) (b) 当结点上无荷载作用时，结点上单杆轴当结点上无荷载作用时，结点上单杆轴力等于零，称为零杆。力等于零，称为零杆。例例3-4-2 先判断图先判断图(a)、(b)两图所示桁架中的零杆，然两图所示桁架中的零杆，然后再说明用结点法计算余下各杆轴力的次序。后再说明用结点法计算余下各杆轴力的次序。 DCPFPF /2(a) FPC2FP (b) (a) 解：解： 图图(a)，桁架中的零杆如图，桁架中的零杆如图(a)右虚线所示。然右虚线所示。

11、然后可分别由结点后可分别由结点D、C计算余杆计算余杆 CDFPC2FP(b) 图图(b)，桁架中的零杆如图，桁架中的零杆如图(b)右虚线所示。右虚线所示。然后求支座反力，再依次取结点计算余下各然后求支座反力，再依次取结点计算余下各杆轴力。次序可为：杆轴力。次序可为：A、D、C或或 B、C、D，或分别或分别A、B再再D或再或再C。1、截面法截面法：用一个假想的截面，将桁架截成：用一个假想的截面，将桁架截成两部分，取其任一部分为隔离体，建立该隔两部分，取其任一部分为隔离体，建立该隔离体的平衡方程，求解杆轴力的方法。离体的平衡方程，求解杆轴力的方法。截面法所截开的杆件中，轴力未知的杆件一截面法所截开

12、的杆件中，轴力未知的杆件一般不应超过三根，这样可不解联立方程。般不应超过三根，这样可不解联立方程。 仍以上一节例仍以上一节例3-4-1为例，见图为例，见图3-4-1。 (a) F =2FAyPF =0AxF =2FByPPF /2PFPFPFPF /2用截面用截面II截开桁架第二节间的三根杆，取左侧部分为截开桁架第二节间的三根杆，取左侧部分为隔离体。然后，隔离体。然后，分别以截断的三根杆中的两两杆的交点分别以截断的三根杆中的两两杆的交点为矩心，建立两个力矩平衡方程，和一个力的投影平衡为矩心，建立两个力矩平衡方程，和一个力的投影平衡方程，可不解联立方程，求出该截面上的三杆的轴力。方程，可不解联立

13、方程，求出该截面上的三杆的轴力。 (b) hFNGD2bF=2FAyPF=0AxFNGCFNEDbPFPF /2AEDC参照图参照图(b)计算如下：计算如下： 0DM)2222(1bFbFbFhFPPPNGC由几何关系得：由几何关系得： 52bh 代入上式，代入上式， PNGCFF5hFNGD2bF=2FAyPF=0AxFNGCFNEDbPFPF /2AEDC 0GMPPPNEDFbFFbF3)22(2 0YF022sin)(PPPNGCNGDFFFFFPNGDFF25hFNGD2bF=2FAyPF=0AxFNGCFNEDbPFPF /2AEDC见图图(c)有时利用未知杆力在隔离体上的分力有时

14、利用未知杆力在隔离体上的分力表示，可避免求斜杆力臂的麻烦。表示，可避免求斜杆力臂的麻烦。FXGC2bbF =2FAyPF=0AxFYGCFXGDFNEDFYGD(c) PFPF /2对于联合桁架，若要求计算出全部杆对于联合桁架，若要求计算出全部杆的轴力，用截面法求简单桁架之间的的轴力，用截面法求简单桁架之间的约束力，是必经之路，也是关键步骤。约束力，是必经之路，也是关键步骤。试对图试对图(a)所示桁架，所示桁架，1)分析并确定求解整个桁架内力的路径；分析并确定求解整个桁架内力的路径；2)寻找只计算杆寻找只计算杆a轴力时的简捷方法，并轴力时的简捷方法，并求出杆求出杆a轴力轴力 (a) 例例3-4

15、-3D3dFPFP3dCAHGEKBa解：解：1)求整个桁架内力的一般步骤是，先求出求整个桁架内力的一般步骤是，先求出支座反力，见图支座反力，见图(b) DFPFPCBAHGEKaIFPFPIIIII (b) 利用截面利用截面II截开两简单桁架的连接处，取截截开两简单桁架的连接处，取截面任一侧为隔离体，见图面任一侧为隔离体，见图(c) FNGEDFPAGKFPFNKHFNDC (c) 由图由图(c)所示截面左侧隔离体所示截面左侧隔离体求出截面截断的三根杆的轴求出截面截断的三根杆的轴力后，即可依次按结点法求力后，即可依次按结点法求出所有杆的轴力。出所有杆的轴力。 2) 方法方法1： 结点法结点法

16、 FXaAHEFNEGFNECFPBFYa取截面取截面IIII下为隔离体，见图下为隔离体，见图(e) BFXaAEFNEGFNECFPFNHBHFNHKFYa(e) 方法方法2： 该隔离体上有该隔离体上有5根被截断的杆件，但有根被截断的杆件，但有4根是交根是交于一点于一点A的，因此利用以铰的，因此利用以铰A为矩心的力矩方程，为矩心的力矩方程，可直接求出杆可直接求出杆a的轴力。的轴力。 将杆将杆a轴力在轴力在B点分解，由点分解，由 0AMPPYaFdFdF32)2(31PPYaYaaNaFFFlLF35)32(25截面法单杆分两种情况，即在截面上截断的全截面法单杆分两种情况，即在截面上截断的全部

17、杆件中，部杆件中， 1) 除了一根单杆外，其它杆全部交于一点；除了一根单杆外，其它杆全部交于一点； 2) 除了一根单杆外，其它杆杆轴均相互平行。除了一根单杆外，其它杆杆轴均相互平行。 见图见图3-4-5所示所示 2、截面法的特殊情况、截面法的特殊情况 (a) (b) 图图3-4-5 例例3-4-4：计算杆：计算杆AJ的内力的内力 dFPddd(a) EGBJKDA1)由上部结构的整体平衡条件，求的支座反由上部结构的整体平衡条件，求的支座反力如图力如图(b)所示。所示。 解：解：IIF=F /2ByPF =F /2AyPF=FAxP (b) PF取截面取截面II右，可求该截面上的单杆右，可求该截

18、面上的单杆AK的轴力。的轴力。取坐标轴如图，则计算如下：取坐标轴如图，则计算如下： 0YF022222PNKAFF2PFNKAF2)计算指定杆轴力：计算指定杆轴力： 图图(d) 结点结点A：0XF 2022PNAJPFFFPNAJFF22FNAJFNADF =F /2AyPF=FAxPF /2P(d) A既有梁式杆又有桁架杆的结构称作组合结构。既有梁式杆又有桁架杆的结构称作组合结构。见图见图3-4-6所示。所示。 图图3-4-6 组合结构内力计算的一般途径是：组合结构内力计算的一般途径是：先计算桁架杆，再计算梁式杆。先计算桁架杆，再计算梁式杆。 例例3-4-5 计算图计算图(a)所示组合结构，求出二力杆中的轴所示组合结构，求出二力杆中的轴力，并作梁式杆的弯矩图。力，并作梁式杆的弯矩图。 3mDE2m3m1.5m2mq=10kNmHGCBA(a) 1) 计算支座反力计算支座反力 见图见图(b) IF =12.5kNByIHBECF=0AxF =37.5kNAyq=10kNmGDA(b) 解：解：2) 取截面取截面II右侧，计算杆右侧，计算杆DE的轴力和铰的轴力和铰C处的约束力，见图处的约束力，见图(e) 12.5kNBHEF=41.67kNNEDCF=