空间角的计算及距离(学生版)-复制doc

1、空间的角的计算（1）cos a ba b预习目标：能用向量方法解决线线、 线面的夹角的计算问题预习重点：异线角与线面角的计算预习难点：异线角与线面角的计算预习过程一、创设情景1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法2、向量的夹角公式二、建构数学1、法向量在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平面角1 与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2。2、法向量在求线面角中的应用：原理：设平面的斜线 l 与平面所的角为| a | | b |（ 2 ） 若 A( x , y , z )， B( x , y , z ) ， 则111222AB一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点

2、的坐标减去起点的坐标。三、数学运用（教师精讲点拨典型例题）1、例 1在正方体 ABCD A1 B1 C1 D1 中 ,E1，1F1 分别在 A 1B1,C1D1 上，且 E1B 1= A 1B 1，41D 1C1 ，求 BE 1 与 DF1 所成的角的大D 1F1=4小。解 1：1，斜线 l 与平面的法向量所成角2，则1与2或与2的补解 2：角。课前准备：2、数量积（ 1）设 a, b 是空间两个非零向量，我们把数量 | a | b | cosa,b叫作向量 a,b 的数量积，记作 ab ，即解 3：ab （2）向量的 夹 角：a( 1 a , 1 b , 1 c ),b2( a, b,c)探

3、究一 ：1直角三角形 ABC中， ABC 900 , 现将 ABC沿着平面 ABC的法向量平移到 A1B1C1位置，已知 BC CA，取A1B1的中点D1，CC1AC1 1F1，求 BD1与 AF1所成的角的余弦值。F1C1B1D13、补充例题在三棱锥SABC中， SAB= SAC= ACB=90°， AC=2 ， BC=13 ，SB=29zS（ 1）求证： SC BC；（ 2）求 SC 与 AB 所成角的余弦值AByxCA1CAB2、例 2在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, F分别是 BC的中点，点 E 在 DC 上, 且11D1 E11D1C1,试求直线 E1F 与平面 D

4、1AC所4成角的大小zE1D1C1A 1B 1DCyFABx练习：探究二：1 在长方体 ABCD ABCD , AB5, AD 8,AA14, M 为 BC1上的点，且 B1M2，点 N 在线段 A1D上， A1D AN。（）求证：A1D AM1（2）求 AD与平面 ANM 所成的角A1D1NB1 MC1ADBC2正方体 ABCDA1 B1C1D1的棱长为 1.求 B1C1与面 ABC1所成的角A1D1B1C1ADBC如图：二面角-l -的大小为，A，B l， AC， BD AC, l ， BD l则 =< AC , BD>=< CA , DB>方法二：先求出二面角一个

5、面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。PPAlBlAO课题：空间的角的计算（2）预习目标：能用向量方法解决二面角的计算问题预习重点：二面角的计算预习难点：二面角的计算预习过程一、创设情景1、二面角的定义及求解方法2、平面的法向量的定义二、建构数学利用向量求二面角的大小。方法一： 转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角 （注意：要特别关注两个向量的方图（ 1）图（ 2）如图（ 1）：已知二面角-l- ，在 内取一点P，过 P 作 PO ，及 PA l,连 AO，则 AO l 成立， PAO 就是二面角的平面角用向量可求出 |PA|及

6、|PO|，然后解三角形 PAO求出 PAO。方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。如图（ 2）P 为二面角-l- 内一点，作 PA ，PB，则 APB 与二面角的平面角互补。三、数学运用1、例 3 在正方体ABCDA1 B1 C1 D1 中 , 求二面角 A1BDC1 的余弦值。D1C1A1B1向）lDCAECABBD（法一）探究三：如图所示：ABCD 是直角梯形，ABC90 0，SA平面 ABCD， SAABBC1, AD1，求面SCD与面 SBA2所成二面角的余弦值。（法二）SBCAD2、例4已知E,F 分别是正方体ABCDA1 B1C1 D1 的棱BC和CD的中点，求：（

7、 1） A1D 与 EF 所成角的大小；（2） A1F 与平面 B1EB 所成角的大小；（3）二面角 CD1 B1B 的大小。zD1C1B 1DFCyEABx课题：空间的距离预习目标：能用向量方法进行有关距离的计算预习重、难点：向量方法求点到面的距离预习过程一、创设情景1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离， 平行直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离， 两个平行平面间的距离。 这些距离的定义各不相同， 但都是转化为平面上两点间的距离来计算的。2、距离的特征：距离是指相应线段的长度；此线段是所有相关线段中最短的；除两点间的距离外，其余总与垂直相联系。3

8、、求空间中的距离有直接法，即直接求 x 出垂线段的长度； 转化法， 转化为线面距或面面距，或转化为某三棱锥的高，由等积法或等面积法求解；向量法求解。二、建构数学1、两点间的距离公式设空间两点A x1 , y1, z1 , B x2 , y2 , z2 ，则d AB2、向量法在求异面直线间的距离设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a ，与这两条异面直线都垂直的向量为n ，则两异面直线间的距离例1. ABCD 是正方形， SB面 ABCD ，且 SA与面 ABCD 所成的角为 45 ，点 S到面 ABCD 的距离为 1，求 AC与 SD的距离。zSAByCD例 2、已知正方形 ABC

9、D 的边长为 4， CG 平面 ABCD ，CG=2,E 、 F 分别是 AB 、AD 的中点，求点 B 到平面 GEF 的距离。zG是 a 在 n 方向上的正射影向量的模。d=4、向量法在求点到平面的距离中（1）设分别以平面外一点P 与平面内一点x DCFM 为起点和终点的向量为a ，平面的法向量AEBy为 n ，则 P 到平面的距离d 等于 a 在 n 方向上正射影向量的模。d=例 3、在边长为 1的正方体2、例 5（ 2006 年福建卷）如图，四面体 ABCDABCD-A 1B1C 1D 1 中， M 、 N、 E 、 F 分别中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，CA CBCD BD2是棱AB、 A D、BC、CD的中点，AB AD21 11 11 111求平面 AMN 与平面 EFDB 的距离。（ I）求证： AO平面 BCD ；D1FC1（ II ）求异面直线AB