5.4Gauss型积分公式ppt课件

1、Gauss型积分公式型积分公式 Newton-Cotes积分公式，可以知道n为偶数时，n1个点数值积分公式有n1阶精度。是否有更高的代数精度呢？n个点的数值积分公式，最高可以到多少代数精度？本节会解决这个问题。例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有4个未知量 可以列出4个方程： （以f(x)在-1,1为例）1010,xxaa032021111133113001122112001111001110dxxxaxadxxxaxaxdxxaxadxaa可解出：31,31, 1, 11010 xxaa可以看出，数值积分公式)31()31(11fffdx具有3阶代数精度，比梯形公式1阶代数

2、精度高n个积分点的数值积分公式，最高个积分点的数值积分公式，最高2n1阶阶baiiniiinbadxxlaxfafIdxxffI)(, )()()()(0证明：取)()()()(210 xxxxxxxxpnn易知：0)(0)(xpIxpIn也就是说，数值积分公式，对一个2n+2阶的多项式是有误差的，所以，n1个点的数值积分公式不超过2n1阶如何构造最高阶精度的公式？定理一般性，考虑积分：0)(,)()()(xWdxxfxWfIba称为权函数定义两个可积函数的内积为：badxxgxfxWgf)()()(),(两个函数正交，就是指这两个函数的内积为0以n阶正交多项式的n个零点为积分点的数值积分公式

3、有2n1阶的代数精度Gauss点点Gauss积分，记为积分，记为Gn(f)证明：bannndxxWxxxxxffIfIfE)()(,)()()(21,21xxxxfn若f为2n1次多项式，那么为n1次多项式又，)(),(xpxnn仅差一个常数零点相同）0)(fE1)(nnPfp具有一个很好的性质：nfIfGn),()(2)求出pn(x)的n个零点x1 , x2 , xn 即为Gsuss点. (1)求出区间a,b上权函数为W(x)的正交多项式pn(x) .(3)计算积分系数 Gauss型求积公式的构造方法型求积公式的构造方法)()(),()(,()(00001xpxpxpxpxxxp)()(),

4、()(,()()(),()(,()(111120000222xpxpxpxpxxpxpxpxpxxxp5321141151121142xxdxxdxxdxxdxxx解解 按按 Schemite Schemite 正交化过程作出正交多项式正交化过程作出正交多项式: : 的2点Gauss公式.求积分dxxfx)(112例：0( )1px 故两点Gauss公式为 积分系数为31)(11212211121dxxxxxxdxxlxA112212211211( )3xxAx lx dxxdxxx)()()(535331112ffdxxfxP2(x)的两个零点为的两个零点为 ,532531xx 区间-1,1

5、上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式,称为Gauss-Legendre求积公式,其Gauss点为Legendre多项式的零点. (1) Gauss-Legendre求积公式求积公式公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .几种几种Gauss型求积公式型求积公式由因此,a,b上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式为batabbaxdttabbafabdxxf)2)()()22(2)(11baniiixabbafAabdxxf1)22(2)(nxkAknxkAk10260.93246951420.66120938650.23861918610360761

6、57300.467913934620.5773502692130.774596669200.55555555560.888888888970.94910791230.74153118560.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.417959183740.86113631160.33998104360.34785484510.652145154980.96028985650.79666647740.5255324099010122853630.22238103450.31370664590.3626837834

7、50.90617984590.538469310100.23692688510.47862867050.5688888889例1积分公式计算应用两点LegendreGuass 112cosxdxxI解：558608. 0)cos(cos22112xxGxdxxI121205773503057735031.,.;xxAA 查查表表有有2222111222220 57735030 57735030 57735030 57735030 558608(cos )coscos(.) cos(.)( .) cos( .).GxxA xxA xx 例2积分公式计算应用三点LegendreGuass 22co

8、s xdxI解：1222( )()nbiiaibaabbaf x dxA fx )774597. 02cos(555556. 00cos888889. 0)774597. 02cos(555556. 02cos22 xdxI001389. 21231230 77459700 7745970 5555560 8888890 555556.,.;.,.,.xxxAAA 查查表表有有 Gauss 公式的余项：公式的余项： bankkkxfAdxxffR0)()(/* 设设P为为f 的过的过x0 xn的插值多项式的插值多项式 */ bankkkxPAdxxf0)()(/*只要只要P 的阶数不大于的阶数

9、不大于2n+1，则下一步等式成立，则下一步等式成立*/dxxPxfdxxPdxxfbababa)()()()( 插值多项式的余项插值多项式的余项Q：什么样的插值多项式在：什么样的插值多项式在 x0 xn 上有上有 2n+1 阶？阶？A：Hermite 多项式！多项式！满足满足)()(),()(kkkkxfxHxfxH badxxHxffR)()(),(,)()!22()()()!22()(2)12(2)12(badxxwnfdxxwnfbanbaxn 区间0,)上权函数W(x)=e-x的Gauss型求积公式,称为Gauss-Laguerre求积公式,其Gauss点为Laguerre多项式的零点

10、. (2) Gauss-Laguerre求积公式求积公式公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .由所以,对0, +)上权函数W(x)=1的积分,也可以构造类似的Gauss-Laguerre求积公式:00)()(dxxfeedxxfxx01)()(niixixfeAdxxfinxkAknxkAk20.58588643763.41421356230.85355339050.146446609450.26356031971.41340305913.59642577107.085810005812.64080084420.52175561050.39866681100.07594244970

11、.00361175870.000023370030.41577455672.29428036026028994508290.71109300990.27851773350.010389256560.2228466041199273632605.77514356919.837467418315.98287398060.45896467930.41700083070.11337338200.01039919750.00026101720.000000898540.32254768961.74576110114.53662029699.39507091230.6031541

12、0430.35741869240.03888790850.0005392947 (3) Gauss-Hermite求积公式求积公式公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .nxkAknxkAk20.70710678110.886226925460.43607741191.33584907042.35060497360.72462959520004530009931.224744871300.29540897511.816359000640.52464762321.65068012380.80491409000.081312835470.81628788281.67355162872.651961