电磁学部分模拟题解答

1、1. 直角坐标系中点电荷电量为 Q坐标为a,b,c，写出Q所产生的电场在空间任一点的电场强度。解：画出坐标系及空间任一点P x, y, z，则该点相对于点电荷的位矢 为r二x a, yb,zc，由点电荷Q产生的电场在P点处的场强分量ExQx - akx-a)2 + (y-b)2+(z-c)2%Ezyy - b(x-a)2 + (y-b)2+(z-c)2】z- cx - a 2 y - b 2 z - c 2 性该场强的方向沿r方向：r=x-ai y-bj z-ck在求解给定具体坐标的特殊问题时，往往用分量形式直接计算更直观更方便，还不易出错。矢量形式固然很标准化很简洁（尤其是涉及到带有散度和旋

2、度的微分方程），但一般只用于做基本证明和推导 的过程，因为矢量方程与所取的任一坐标无关。2. 一电偶极子的电偶极矩为P = ql，P点到偶极子中心的距离为r， r与I的夹角为二，在rI时，求P点的电场强度E在r = OP方 向的分量Er和垂直于r方向的分量Ej解：在极坐标系下，设点P r相对于 q和- q的位矢分别为r， 一r，它们与r的夹角分别为和-，由点电荷的场强公式有丄月E二丄鸟4 ；o 4 ；o r_在极坐标下，E可以分解为：Er = E cos： - E _cos ,E 二 E sin ： E sin -rcos其中，coscosr cos2r_sin日sin ；： = 2r又因为r

3、I，在此近似下有2r r_ r , r r_ 2r , r_ - r I cos ,带入以上各式，化简得1 2Pcos4 ； 0r3E.P sin -3_r对于此种方法的关键在于灵活运用各坐标分量间的几何与近似关系 电偶极子的问题，联系电势一节的内容，我们可以做一些归纳，下面 我们从最常用的直角坐标系出发，来推导电偶极子在空间任一点的电 势及场强公式。以偶极子两电荷连线中点为原点，以偶极矩方向为x轴方向取直角坐 标系中任一点P x, y,z，由点电荷的电势叠加可得:14 二；o-2考虑到r I的条件，有ry2z2r2 - xl rr2上式右边经过_项展开，并略去I的咼阶项（二阶及以上），得x2

4、L 2 y24“0r Iz2xl2r则P点的偶极子势为可写成矢量表达形式:F面求电偶极子的电场强度:xM2r2丿由E P =八U P ,将上式带入，有4二；0r1*r3Pcos2r(*)lr3丿其中， (p .r)= P ,r3 丿 drir3 丿Ep=1 3prr p以上（* ）和（#）式为偶极子的一般计算式3rr4(#)r5，可以在具体的坐标系中直接带入计算变换到球坐标系rj中，由于轴对称性可知，U与，无关,则E的分量为：Er12P cos 二4 o r31 :U 1 Psin= 3r 4 0 rr1计算飞的散度:r解:rv = v3r1 1r3 i3r rr5Ar32.如图所示，无限大带

5、电层，且电荷密度x，试求其产生的场强 解：此题需分三个区域进行计算：取垂直于带电层的坐标 0X（1）xa，取x到x dx之间的带电平面，取单位面积的电荷面密度为匚，则二二x dx，则该平面在x处形成的电场强度为:CTX dx2；。1 b E x/ x dx （负号代表取坐标负向。）2 - 0丿a I若卜；：常数，则 E x =2o（2） x - b，同理可得1 b Ex2 x dx (负号代表取坐标正向。)2 ya l若常数，贝S E x =2%(3) a ： x ： b，对于带电层中间的区域， 要注意x : x和x x的情况不一样，故要进行分段积分：1 X,1 b,E xx dxx dx2%

6、 a 2, x2x - a b若二常数，贝y e x -2名03. 求无限长均匀带电柱体周围的场强，已知延高方向单位长度电荷密度为，圆柱底面半径为R。解：取半径为r、高为I的同轴圆柱面为高斯面，分以下两种情况考虑:(1)r乞R时，由高斯定理，有E ds 二 2 rIE(2)当r - R时,Slr2R2 ,则 2rIE0lr2oR24. 求均匀带电球壳产生的电场中电位的分布，设球壳带电总量为半径为R解：以无穷远处作为电位零点，即U ： =0, 由真空中带电球壳的场强分布:根据电位的定义求解:- qr 4 ； odr rr _对于 r R时，U r = - E dl =对于r : R时,一 r -

7、 R -U r = - E dl E dl 二 IL R:=qR 4： ； oq4 0R。5. 求无限大均匀带电平面(电荷面密度为 二)的电势分布。解：确立原点在平面上的坐标 OX设空间任一点P位于r处。取P(r)为电位零点，由无限大均匀带电平面的场强公式，有r a门,r 0E =2 0,r 02；。下面以r 0的情况来讨论：A - - F0 - - CT由电位定义有：U P -U P0 - P E d A E dlr-r2名0本题中电位零点的取法很关键，注意到：求无限大带电体周围的电位 时，不能取无穷远处为电位零点。6. 一半径为R的均匀带电圆面，电荷总量为 q，求轴线(0X上的 电位分布，

8、并画出U - x曲线。解：在圆面上取r - r dr的圆环，由于圆面的电荷面密度：q二 R2故该圆环所带电量为:磊i帥而圆环在轴线上的电位分布可以根据电位叠加法，取圆环上I - I dl的一段，取无穷远处为电位零点，由点电荷的电位公式:dUdqdq44 o Jx2 R2，得圆环在轴线上的电位分布为:qU环=0现在将此电位作为圆面在轴线上电位的积分元，即令dq二q,dU二U环，作圆面上半径的积分，可得整个圆面在轴线上的电位:R 2qrdr0 4 R2 0 . x2R2q2 R2 0 x2 R2 - xo7. 电量q均匀分布在长为2I的细直线上，求下列各处的电位：(1) 中垂面上离带电线段中心 O

9、为r处，并用梯度求Er ；(2) 延长线上离中心O为为z处，并用梯度求Ez ；(3) 通过一端的垂直面上离该点为r处，并用梯度求Er。解：根据题意，以0为原点中垂线所在直线作为x轴、延长线所在直线作为y轴建立坐标系，取无穷远处为电位零点(1) 求P r,0点的电位U P及Er :设直线上y - y dy的一段所带的电量为dq二|dy，由点电荷电位公式，它在P r,0点的电位为:-0dq：r2 y2qdyj2 y2则整段直线在P r,0点的电位为:“1 qdydU =48r2 y2In4二；0I则有Uq：r 4二；0r r212。(2)求P 0,z点的电位U P及Ez:q线元y - y dy的电

10、量仍然为dq =办dy，由点电荷电位公式，它在P 0,z点的电位为:dUdq _ qdz4二 0 z - y 8 0I z - y则整段直线在P 0,z点的电位为:则有IU = dUEzI qdz =8 ； 0I z - yq8 ； Iz IU_ q:z4二；0 z2 - 12 ,(+号对应号对应(3)求P r,I点的电位U P及Er :y同样取线元y - y dy，其电量仍然为21dq二2dy，由点电荷电位公式，它在P r,I点的电位为:dUdqqdy2y28 oh； r2y2则整段直线在Pr,1点的电位为:2IU = odU2IqdyIn21、r2 4I2则有 Er-Ur 4二；ori r

11、24121. （P44.8）如图所示一种电四极子，由两个相同的电偶极子P = ql组成，这两偶极子在一直线上，当方向相反，它们的负电荷重合在一起。求延长线上离中心（即负电荷）为 r处的电场及电位分布。-2q +q+q-1pr解一：根据电场叠加原理,三个点的电荷在 P处的场强:4 ； or2 2 4 0（ r - I）11 丿由rI，上式可以用Tayler公式展开:1 2利用公式i1! x ，并取二级近似，有q24 ； 0r1 - 2-31-2 1 212312r2q 612 3ql24 0r2 r22； 0r4rU P = E r dr -QO3qP2二；0drql2二；r以上为一种常规方法运

12、用点电荷电场叠加原理 下面介绍另一种方法，将电四极子看作两个电偶极子的组合问题， 直接运用电偶极子的电势求解：解二：由偶极子专题的分析，偶极矩为P = ql的电偶极子在空间任意1 p y 一点P处的电位为：UPr T，4o r注意这里的r指的是I中点到P点的位矢。本题中的电四极子的电位可以用两个偶极子电位的叠加来表示：ql+ 1ql24%r i、2，r + r -i2丿i2丿14二现在同样用Tayler公式展开：1 2利用公式1 M 1!x2;x ，并取二级近似，得ql2JJ22r2r丿4“r r 4r 丿E p u P U P =1 丄 3|2r4r2丿ql22二；r33ql22二；0r4即

13、得P点的场强。2. 如图所示为另一种电四极子，设q和l都已知，P点到正方形的中4 ；r心0距离为x，PO与正方形的一对边平行，求 P点的电场强度及电位分布。解一:将本题中的电四极子看作分别由和两个偶极子的组合，则有 偶极子在中垂线上P点的电场强度为:E1414oP/ 严，方向向下,X + 2丿偶极子在中垂线上P点的电场强度为:E237r3，方向向上，x则合场强:E 二 E23E14P4二；0由X丨，上式可以用Tayler公式展开:1 2利用公式1 X，仁- X,并取二级近似，有P4 0x3-I1If |、3I 1二 2x丿1I1(l、3 I1 +丄I 2x丿313131313ql2x2x2x2

14、x2丿4二 0x于是有U P =xE x dx QO3q40二 dx =x4ql24 0x3此题的扩展问题：考虑P点不在中垂面上，求解如下:+qP(r, B)极轴 2丿+q解二：如图所示，在极坐标下P点的坐标r ,先考虑P点的电位:U P - U1 U2 U3 U U1 U4 U2 U3由偶极子专题的分析，偶极矩为P - ql的电偶极子在空间任意一点 P处的电位为：U P =丄.二二rl.3同样这里的r指的是i中点到p点的位矢。设P点相对于偶极子和的位矢分别为1，2对应的与极轴的夹角为分别为S，二则有:P r1 cos 日U1 U412 1丿3r1又由几何关系有1r -cos121Pr2 si

15、n 日 245%3r2/a、r1sinr2 sin 233r1r2丿PAsiz厂 rsin4 ；o4二；oU25 二_3r1=r2si nj，且r cos2，化简略去二阶小量得Prsin 日/11_ Prsin（3lr2 cos日）4%33r2丿4“0r6U3ql2s卄 cos714二 0r3由 E P U PU P9ql2 sinrcosr4 or2即得P点的场强。3. 如图所示。两条均匀带电的无限长平行直线(与图纸垂直)，电荷的线密度分别为- e，相距为2a，求空间任一点P x, y的电位。解：取坐标原点0点的电位为零,即 U 0 = 0。则根据无线长直导线的电位分布公式，有:e导线在P点

16、的电位为:ri dr U O In a 2 二；0r2二；oJLyP(x,y)-He-plenGkaYxari-e导线在P点的电位为:f2 二dr 2(0)=二1 n 旦 a 2二；or2二；0 r2x a2 y2，在直角坐标系中，* = J(x - a)2 + y2，所以P点的电位为:a aIn - ln JnU P = U U -2叫 Iri亠In gaiy2 亠lJXFy：2；o ,、x-a2 y24o x-a y本题要注意零电位的取法，对于无限的带电体，不能再取无限远处为 零电位点。另外，几种典型模型(如无限大带电平面、无限长直导线、 带电圆环、带电圆面、带电球面及带电球的电场强度和电

17、位的分布要 熟悉掌握，在处理具体问题的时候都可以直接运用它们的结果。 )8. 半径为a的导体，带电量为Q，球内有两个半径分别为b、c的球心空腔，中心处有电荷qi、q2。计算导体球内、球外空间的电位和场强。解：以无穷远处作为电位零点，即 U ： =0,=Q qq?4 ； 0r(1) 导体球外：离球心距离r a处的电位由此得场强：巳一 Ui/Fy24rUi(2)导体球上：即r=a的电位为UQ-q24a导体内部的场强E = 0 ；(3)空腔1内：假设离空腔球心距离r1处的电位为由边界条件：rib时U3 =U2，i *Q + q + q? q、4“o i ab 丿由此得场强：E3八 U 32?；40r

18、i3由边界条件:rc 时 U4 2，得 C2i 也+ Q + qi +q? goa由此得场强：qi丄iQ + qi 24一iFi 亠 Q + q 十 q?qi ”go*4%ab丿 a )处有一点电荷q 求空间电位分布。解：此题参考上课时讲的例题。io.点电荷q处在导体壳的中心，壳的内外半径分别为 Ri、R2， 求场强的分布。并画出E - r和U - r曲线。解：根据题意，导体达到静电平衡时，导体内的场强为零，导体为等 势体，在r = &的导体面上均匀分布电量为- q的感应电荷，r = R2 的导体面上均匀分布电量为q的感应电荷。Q0亠一R2E00 qR2drq4 0R2(1) 考虑r R2的区

19、域时，导体内部的电荷对外部电场没有影响， 该区域的电场只由导体外表面的电荷产生，则Ur00 q2dr 二R 4 ； or(2) 考虑R r ” R2的区域，E = 0，电位如下:N亠OQ N NE dr E dr 二R2(3) 考虑r以Ri的区域时，假设电位为则由边界条件：r =尺时U =严孑C二-14“0尺40R2可得故R24“o jR2尺丿由此可得E U J ?4 ； 0r11. 一球形电容器内外两壳的半径分别为尺、r4，现在两壳之间放一个内外半径分别为R2、R3的同心导体球壳（1）给内壳Ri充以电量Q，求Ri和R4两壳的电位差；（2）求电容（即以尺和R4为两极的电容）。解：（1）当内壳充

20、电Q时，由于导体的静电感应作用，R2、Rs、R4 各球面上分别均匀分布电量为-Q、Q、-Q的感应电荷，故取半径 为r的同心球面为高斯面，由高斯定理可以算出不同区域的场强分布:0,0,2 ，4o rr R尺rR2R2rR3RsrR4,rR4则R1和R4两壳的电位差:R4-6 -U 厂 R E dlR1R2 _Q_Ri 4 ； 0rR3dR20 dr咼 Qr3 4 ； 0r2dr Q1 1*1 1 4%1 RR2R3R4 J（2）由电势差和极板带电量可得电容：QUU41R2R3R4丿13题图所示其中共有n器的电容为：Ci乎，总的电容为C n-10S若已知二，则有22r2 1 二360n T 二 0

21、360d，得证;12.（ P17114题）收音机里用的可变电容如个金属片。每片形状如14题图所示；相邻两片间的距离都是d，当动片转到两组片之间的夹角为 汕寸，证明：当，较大时，略去边缘效应，它的电容为C二n1 360d（其中，以度为单位）；同时运用虚功原理求电容器极板绕轴旋转时的转矩。解：将此可变电容器视为n-1个平板电容器的并联组合，每个小电容现在求转矩:由电容器的储能公式从Q2C根据虚功原理设想极板转动角度为一小量时，能量变化 W二Q2A2360dI iC 丿（n -“呂0（r22 - 口2 ）A0设极板的转矩为，则有W=二，由上式可得:Q2360d2 n - 1 二； r22 -13.一

22、平行板电容器两极板相距为 2.0mm电位差为400伏，其间充满了介电常数；r =5.0的玻璃片。略去边缘效应，求玻璃表面上 极化电荷的面密度讥。解：由题意已知u，则可以求出平板电容器中的场强：E =U，d而极化强度矢量 P = 1 - ；r ；E = 1 -；0 U，dUe= P n= P = （1_ 乩了故极化电荷面密度400。= （5 18.85 汉 10二2 茫 7.1汉0（库 /米2）231014.平行板电容器两极极板3.0cm,其间放有一层；r = 2.的介质，位置和厚度如图所示（P202页习题8的图），已知极板上面电荷密度 为匚 e0 =8.910%库/米2，略去边缘效应，求:(5

23、) 极板间各处的P、E、D ;(6) 极板间各处的电位(设Ua = O );(7) 已知极板面积为0.11米2,求电容C,并与不加介质时的电容Co比较。解：(1)分区域讨论： 对于电介质外极板间的区域，即o ： X : 1和2 ： x ： 3时，显然有P = 0，场强a8 9 疋 10二一二8如10宀100牛顿/库仑)电位移 D 0E P = 8.85 10一10 库仑 /米2 ； 对于电介质内部区域，即1 ”： x ： 2时，由高斯定理得D 八eo 二 8.9 10-10 库仑 / 米2场强a8 9汉 10一Ee0890 石:50牛顿/库仑7。2沃 8.85沃 10二2P = D -；0E=8.9 10一10-8.85 10_12 50 4.45 10_10 库/米2(2) 讨论x取不同区域极板间的电位U x : 0 x 1 cm时，由于E = 100牛/库是常数，故6= E x 二 100 0.01=1 伏； 1 ”： x ”： 2 cm 时，E = 50 牛 / 库，而0.01 . 0.02 二U2= 0*dxddx=100 0.01 + 50 0.01=1.5 伏z0.01 s z0r 0 2 x 3 c