定积分习题与讲解

1、a,ba,b-第四部分定积分选择题 容易题 1 36 ，中等题 37 86 ，难题 87 117 。1积分中值定理ab f ( x)dxf ( )(ba) ，其中（）。(A) 是 a, b 内任一点；(B).是 a, b 内必定存在的某一点；(C).是内唯一的某一点；(D).是的中点。答 Bxtf (t )dt2F (x)0,x0,其中 f (x) 在 x0处连续， 且 f ( 0)0 若x2,x0cF ( x) 在 x0 处连续，则 c（）。(A). c0 ;(B). c 1 ;(C).c不存在；(D). c1.答 A3 Ilim nn a x sin 1 dx, (a 为常数）由积分中值定

2、理得nxn a1dx1，则nxsina sinx-I （）。(A)lim asin 1lim a sin 1a 2 sin 1;naa(B). lim asin 10 ;0(C).(D).lim a sin1a ;lim asin 1.答 C4设 f (x) 在 a,b 连续， (x) ax f (t)dt ，则（）。(A).(x) 是 f ( x) 在 a, b 上的一个原函数；(B).f ( x) 是 (x) 的一个原函数 ;(C).(x) 是 f ( x) 在 a, b 上唯一的原函数 ;(D). f (x) 是 ( x) 在 a, b 上唯一的原函数 .答 A5设 ab f (x)dx

3、 0 且 f (x) 在 a, b 连续，则（）。(A).f (x) 0 ;(B). 必存在 x 使 f (x) 0；(C). 存在唯一的一点 x 使 f ( x) 0 ；(D). 不一定存在点 x 使 f ( x) 0 。答 B6设 I0a x3 f ( x 2 ) dx ( a. 0 ), 则（）。-(A).(B).I0a 2xf (x)dx ;I0a xf (x)dx ;(C).(D).1a2I2 0xf (x)dx ;I1axf ( x) dx .20答 C1)7 (1 x) 1 x2 dx (1（A ）（ B）（C）2（ D ）24答（A）sin xx，则f ( x) cos2xdx

4、 ()8设 f ( x)30其余0（A） 3（B） 3（C ）1（D） 144答（ B）12，则 2f (cos 2 x) sin 2xdx ()9设 f C 0 , 1 ，且 f ( x) dx00（A ）2（ B）3（C ）4（D）1答（A）10 定积分的值与哪些因素无关？ ()(A) 积分变量。(B) 被积函数。(C) 积分区间的长度。-(D) 积分区间的位置。答 A11 闭区间上的连续函数当然是可积的。假如在该区间的某个点上改变该函数的值，即出现 一个有限的间断点，问结果如何？ ( )(A) 必将破坏可积性。(B) 可能破坏可积性。(C) 不会破坏可积性，但必将改变积分值。(D) 既不

5、破坏可积性，也不影响积分值。答 D12 定积分的定义为bnf (x)dx limf ( i ) xi ，以下哪些任意性a0i 1是错误的？ ()(A) 随然要求当max xi 0 时，f ( i ) xi 的极限存在且有ii限，但极限值仍是任意的。(B) 积分区间 a, b 所分成的分数 n 是任意的。(C) 对给定的份数 n ，如何将 a,b 分成 n 份的分法也是任意的，即除区间端点ax0 ,bxn 外，各个分点x1x2xn 1的取法是任意的。(D) 对指定的一组分点， 各个 i xi 1 , xi 的取法也是任意的。答 A-13 d 2 sin x2 dx 等于 ()dx 0（ A ）0

6、（B）1（C ）1（ D ）2答 A14 定积分（ A ）（ C ）答 Asin xsin 3 xdx 等于 ()04（B）032（ D ）33215 定积分 0cos x cos3 xdx 等于 ()（ A ）0（ B）（C ）4（ D ）3答 C324316 定积分2 | sin xcosx | dx 等于 ()0（ A ）0（ B）1（ C ）2 1（ D ）2(21)答 D17 定积分2maxx3 , x2 ,1 dx 等于 ()2（ A ）0（B） 4-（C ）答 D16（D） 9731218 当sin x是 x 的()x 0时，函数f (x)0tan t 2 dt（A ）1 阶无穷

7、小量（ B）2 阶无穷小量（C ）3 阶无穷小量（D ）4 阶无穷小量答 C19 设 f ( x) 在 a, a 上连续且为奇函数，xF ( x)f (t) dt ，则0（）。（ A ） F (x) 是奇函数；（ B） F ( x) 是偶函数；（ C ） F (x) 是非奇非偶函数；（ D ）（A ）、（ B）、（ C ）都不对。答 B20 设 f (x) 在 a,b 上连续，且b，则（）。f ( x)dx 0a（A ）在 a, b 的某个子区间上， f ( x)0 ；（B）在 a, b 上， f ( x) 0 ；（C ）在 a,b 内至少有一点c ， f ( c)0 ；（D ）在 a, b

8、内不一定有 x ，使 f (x)0。答 Cf ( x)a,bbb2f (x)dx 0 f ( x) dx021 设在上连续，且 a）。，则 a（-（ A ）一定成立；（ B）一定不成立；（ C ）仅当 f 单调时成立；（ D ）仅当 f ( x) 0 时成立。答 D22 2xdx =()x32x 20(A)4 (22 )15(B)4 (22)15(C)(D)答 A428235428235b23设 Ix dx ,则 I =()a(A) (b2a 2 )(B)(C)(b 2a 2 )1 (b b )a a )2(D)1 (b b )a a )2答 Cx2x2t dt , 则当 x0 时 , f (

9、 x) 是 g( x) 的24 设 f ( x)ln(1t ) dt , g( x)arcsin002-()(A) 同阶无穷小 ,但不等价(B) 等价无穷小(C) 低价无穷小(D) 高价无穷小答 D25 F ( x)x上有()e t costdt , 则 F ( x) 在 0,0(A) F() 为极大值 , F (0) 为最小值2(B) F ( ) 为极大值 ,但无最小值2(C)F () 为极小值 ,但无极大值2(D)F () 为最小值 , F (0) 为最大值2答 Ax26 设 F ( x)f (t)dt ,则F ( x)()0x(A) f (tt )f (t)dt0(B) f ( x) x

10、xxx(C)f (t) dtf (t )dt00xx(D)f (t )d (tt )f (t )00答 C-27 dln xt )dt =()ln(1dx 2x(A)1 ln(1lnxx) 2 ln(1 2 )x(B) 1 ln(1ln x)ln(12x)x(C)ln(1ln x)ln(12x)(D)ln(1ln x)2 ln(12x)答 A22(1 cos x)x0xx 0 ,则 f ( x) 在 x0点 ()28 f ( x) 1x1cost 2 dtx0x 0(A) 连续 ,但不可导(B) 可导 ,但导函数不连续(C) 不连续(D) 导函数连续答 Dxx29 设 I 1ln tdt, I

11、 2ln 2 tdt( x0), 则 ()ee(A) 对一切的(B) 对一切的xe, 有 I 1I 2xe, 有 I 1I 2(C) 仅当(D) 仅当xe时 ,I 1I 2xe时 ,I 1I 2答 C-30 下列积分中不为零的是()(A)2sin x10 dx21x(B)cosxsin xdx21(C)21xx 2dx)lnarcsin(11x2(D)答 D2 (1 x) cosx1sin 2 x231 下列运算正确的是()(A)(B)4cot xdx ln sin x4222cot xdx ln sin x244ln 22ln 22(C)(D)答 A1d111arctan dxarctan1

12、1 dxxx22sec2 x1tan x 202dxarctan200tan x232 曲线 yx1, yx 2 ( x0), y1 与 x 轴所围的面积等于()7(A)6(B) 23-1(C)24(D)3答 A1ex33 ex dx()1 1(A)1(B)(C)1 e1 e1 e1 e(D)1答(A)ee34 设 I 1ln xdx, I 2ln 2 xdx ，则11(A)(B)(C)(D)答(C)I 2I 120I 22I 10I 22I 1eI 22I 1eb35 定积分(xa)( xb) dx()a3(A) (ba)6(B)(ab)63-(C)(D)答(B)(ba)33b 3a3622

13、36 2e xdx（）(A)24e u du22(B)2t dte2(C)(D)0x22dxe20x22dxe2答(D)37 函 数 f (x) 在 a,b 上 连 续 是 f ( x) 在 a,b 上 可 积 的（）(A )必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)无关条件答 B38 设 函 数 f (x) 在 a, a 上 连 续 ， 则aaf ( x)dx 恒 等 于（）(A )(C )答 C2 0a f (x)dx( B )00a f (x)f (x) dx(D )0a f ( x)f (x)dx-39 设 Naa x 2 sin 3 xdx, Paa ( x3 ex21) dx,Qa

14、a cos2 x 3 dx(a0)则（）(A )NPQ(B )NQP(C)QPN(D )PNQ答 D40 设函数 f ( x) 在 (, ) 上是可积函数，则F ( x)xaf (t )dt 是（）(A )是偶函数(B)是奇函数(C )可能是奇、也可能是偶函数(D )非奇、非偶函数答 A41 设函数f (x) 是连续函数，且It 0s/ t f (tx)dx ，其中t0 则 I（）( A ) 依赖于 s 与 t ；( B ) 依赖于 s ，不依赖于 t ；( C ) 依赖于 t ，不依赖于 s；( D ) 不依赖于 s 与 t 。答 B42 曲线yex 与其过原点的切线及y 轴所围成的面积为(

15、)(A ) 10 (exex)dx( B)1e (ln yy ln y) dx-(C ) 1e (exxex )dx( D )01 (ln yy ln y)dx答 A43 (A )(C )d(x2t 21 tdt ) (）dx1x21x(B )x 41x2( D )x2 1x22 x51x2答 D44 下述结论错误的是 （）(A) 0xdx发散(B) 01dx 收敛1x21x2(C )xdx0( D )xdx发散1x21x 2答 C45 设 0x f (t )dt( x 1)ex ，则 1e f (ln x) dx（）x(A )e(B) 0(C )e(D)2e答 D46 设 f ( x) 在

16、1,2 上可积，且f (1)1, f (2)1, 12 f ( x)dx1则12 xf ( x)dx = （）(A)2(B)1(C)0(D)1答 A-47 设 f ( x)5 x0sin t dt ， (x)1dt ，当 x0 时， f ( x) 是 ( x)(1 t ) tsin xt0的()（A ）高阶无穷小（ B）低阶无穷小（ C ）同阶但不等价的无穷小 （ D ）等价无穷小答（C ）48 设 a , b 为任意实数，f (x) 为连续函数， 且 f (ax)f (ax) .则bf (ax)dx()b（A ）bb af ( x)dxf (x)dx（B） 2a0b（D）0（C ） 2 f

17、(a x)dx0答（ D）49 设 f (x) 为已知单调连续函数，g( x) 为 f ( x) 的反函数，则df ( x)g(t ) sin tdt()dx0t（ A ）（ C ）f (x) sin( f ( x) f (x) xxsin( f (x) f (x)f ( x)（ B）（ D ）xsin( f (x)f ( x) x sin xf (x)f ( x)答（ C）50设 I11xdx ， I 21ln(1x)dx0 1x0（A）I1I 2（B） I1I 2，则()（C） I1I2（D）不确定-答（ B）51 fC10 ,) ， g( x)为 f ( x) 的 反 函 数 ， 且 满

18、 足f ( x)31 ( x 28) ，则g (t )dt13 0 ,) 上的 f (x) ()（A） 1（B） 1（ C ） 2 x（ D） xx2x答（ B）b0,则()52. f (x) 在 a,b 上连续且 f ( x) dxa(A) 在 a,b 的某个小区间上f (x) 0(B) 在 a,b 上 f ( x) 0(C) 在 a,b 内至少有一点 x, 使 f ( x) 0(D)在 a,b 内不一定有 x, 使 f (x)0答 Cb0,则()53 f ( x) 在 a, b 上连续且 f ( x)dxa(A)b f ( x) 2 dx0一定成立a(B)b f ( x) 2 dx0 一定

19、不成立a(C)b f ( x) 2 dx0仅当 f (x) 单调时成立a-(D)b f ( x) 2 dx0 仅当 f ( x)0 时成立a答 D10 x112,则 f ( )54 设 f (x)1f ( x)dx ,其中 的情况是 ()0x 102(A)在 0,1 内至少有一点,使该式成立(B) 不存在 0,1 内的点 ,使该式成立(C)在 0,1, 1 ,1 都存在,使该式成立22(D)在 0,1 中存在 ,使该式成立2答 Bs55 设 f ( x) 为连续函数 , It0, s 0, 则 I 的值 ()t f (tx) dx ,其中 t0(A) 依赖于 s 和 t(B) 依赖于 s ,

20、x 和 t(C) 依赖于 x 和 t ,不依赖于 s(D) 依赖于 s ,不依赖于 t答 D56设 Ixdx ,则下列说法中不正确的是 ()111 x 22(A)可以令 xsin t , Isin t dt02-(B) 可用凑微分法求得1 1d(1x2 )0I1x2 12(C) 因为在 x1点 f ( x) 无界 ,所以不能用变量代换(D) 因为广义积分收敛 ,利用奇函数在对称区间上积分性质知为零 .答 C57 设 f (x) 有连续导数， f (0)0 ， f (0)0 ， F( x)x(1 t 2 ) f (t) dt ，0且当x0时， F ( x) 与 xk 是同阶无穷小量，则k= （）

21、。（ A ）1；（ B） 2；（ C ）3；（ D ）4答 C58 设在闭区间 a,b 上有： f (x)0 ， f (x)0 ， f ( x)0 ，记s1bf (x)dx ，as2f (b)(ba), s3 1 f ( a) f (b)( b a) 则（）。2（A ） s1s2 s3 ；（ B） s2 s1 s3 ；（C ） s3s1s2 ；（D ） s2s3s1 。-答 Bx111x2 dx ，则 F ( x)（）。59 设 F ( x)x2 dx0 1x0 1（ A ）0；（ B） 2 arctanx ；（ C ） arctanx ；（ D ） 。2答 D60 设 f (x) 是连续函数

22、，且（ A ）4；（ B）1；3（C）1；2（ D ）1答 D61 下列广义积分收敛的是（x242 ，则 f (4) =（）。0f ( x)dx x）（ A ）（ B）（ C ）（ D ）ln xdx ；exedx；x ln xdxe x(ln x)2 ；dx1。ex(ln x) 2-答 C62 设 f (x) , g( x) 在 a,b 上连续，且bb）。| f (x) | dx| g( x) | dx （aa（A ）一定成立；bbf (x)dxaag ( x)dx ，则 ()（ B）当（ C ）当g( x)0 时，一定不成立；g( x)0 时，一定成立；（ D ）仅当 f ( x) 0 ，

23、 g (x) 0时，才成立。答 C63 设 f (x)x20x1， F ( x)x1x2上（）。x0f (t )dt ，则 F ( x) 在（0，2 ）（A ）有第一类间断点；（B）有第二类间断点；（C ）有可去型间断点；（D ）连续。答 D64 下面命题中错误的是（）。（A ）若 f ( x) 在 ( a, b) 上连续，则bf (x)dx 存在；a（B）若 f ( x) 在 a,b 上可积，则f ( x) 在 a, b 上必有界；（ C ）若 f ( x) 在 a, b 上可积，则 | f ( x) |在 a, b 上必可积；（D ）若 f ( x) 在 a, b 上单调有界，则f ( x

24、) 在 a,b 上必可积；-答 A65 下面命题中正确的是（）。（A ）若 c, d a,b ，则必有dbf (x)dxcaf ( x)dx ；（B）若 | f ( x) | 可积，则 f (x) 必可积；（ C ）若 f (x) 是周期为T 的函数，则对任意的实数a 有a TTf ( x)dxf ( x)dx ；a0（D ）若 f ( x) 在 a, b 上可积，则f ( x) 在 ( a,b) 内必有原函数。答 C66 已知 f ( x) 连续，则 dx( xt) f (t )dt（）。dx a（A ） f (x)f (0) ；（B） f ( x)f (a) ；（C ） f (x) ；（D

25、 ）0答 B67 设 f ( x) ， g( x) 在区间 a,b 上连续，且 g ( x)f ( x) m （ m 为常数），则曲线 y g( x), y f (x), xa 及 xb 所围平面图形绕直线y m旋转而成的旋转体体积为（）（ A ）（ B）（ C ）b 2mf (x)g( x) f ( x)g( x)dxab 2mf (x)g ( x) f ( x)g( x)dxabmf ( x)g(x) f ( x)g (x) dxa-b（D ） a mf ( x)g( x) f ( x)g (x) dx答 Bs68 设 f (x) 为已知的连续函数，I t0f (tx)dx，其中 s, t

26、0 ，t则I的值(A)依赖于 s,t.(B)依赖于 s, t, x(C)依赖于 t, x ，不依赖于s.(D)依赖于 s, 不依赖于 t.答 D69 设M2 Sinx2 Cos4 xdx,N2 (Sin3 x Cos4 x)dx, P2 ( x2 Sin3 x Cos4 x) dx,2 1 x22则有（）（）P M .P N.（）NMP。（）PMN。-答 D70 设F ( x)x2x sin tdt，则dF01 cos2 tdx（ A ）x sin x1cos2 x(B)(C)(D)22x sin xx sin x21cos2x2sin xdx2x2sin x21 cos2x1cos2 x 2

27、答 D71 设F ( x) x 2 Sin 12( x0)则 ()x( x0)0( A).F ( x)在 1,1上不可导 ;( B).F ( x)在 1,1上可导 ;(C).F (x)在1,1上可积 ;( D )F ( x)在1,1上 连 续;答 B72 设 f ( x) 在 a,b上可积,则变上限定积分g( x)xf (t) dt =()a(A) 在 a, b 上可导 .(B) 是 f(x) 一个原函数 .(C) 不是 f(x) 一个原函数 .-(D) 不一定是 f(x) 一个原函数 .答 D73 在 a, b 上要从 f ( x) 连续推断f (x)0 ，应附加什麽条件？()(A)max

28、f (x)0, x a,b(B)f '( x) 0, x a, b(C)a, b 上任两点之间都有f (x) 0 的根。(D)bf ( x)dx0.a答 C74 在不计算积分值的情况下，对上界的最佳估计是()4(A)I54(B) I5(C)(D)答 CI 1 I 175 f ( x) 在 a, b 上的哪些性质 F ( x)xaf (t) dt 也具备？ ()(A) 有界性(B) 单调性(C) 奇偶性(D) 周期性-答 A76 d2 x()f (t) dtdxx2x(A)xf ' (t )dt(B)f (2x)f (x)(C) f (2x)f (x)(D) 2 f (2x)f

29、( x)答 D77在 0x20sin tdt中，所做的变换是x()11 arctan xdx12tt(A) tan(B)(C)(D)tan tsin tcost答 A78 定积分（ A ）（ C ）1x ln n xdx等于 ()0(1) n1 n!（ B）2n1(1)n（ D ）2n n!n( 1) n!( 1) n n!2 n 1-答D79 设函数f C 0,1 ， 则0xf (sin x)dx=()（A ）2f (sin x)dx（ B）22f ( s ixn)d x00（C ）32f (sin x)dx（ D）22f (sin x) dx200答A80 定积分（ A ）（ C ）答 C

30、x sin x2dx =()0 1 cosx（B）12（D ）4281 设函数fC 0, 1单调增加且大于零，则 ()2（ A ）11（ B ）3 f ( x) dx2 12 f (x)dx03113f ( x)dx 2 12 f (x)dx0311（ C ）3 f (x)dx 212 f (x)dx03（D）A,B,C都不正确答 B2xf ( x)dx ()82 已知 f (0) 1, f (2) 3, f (2) 5，则 0(A) 12(B) 8-(C) 7(D) 6答 (B)83 设 函 数 f ( x) 在 区 间 a, b 上 具 有 连 续 的 导 数 ， 且f (a)0, f (b)b f 2 (x)dxa1(A)2(B) 1(C) 01(D)2答 (D)84 设函数0 ，又1 ，则b xf ( x) f (x)dx()a10x 1,p则当 p0 时，f ( x)F ( p)f ( x) dx,xx1,0F ( p)()(A)p(B)p0 p1p 23p12(C)p2p0p 1112p-p0p1(D) p21p12答