协方差和相关系数

1、二维随机变量的期望与方差对于二维随机变量-P）,如果第淖存在，则称阿,JSS）为二维随机变量”（凡P）的数学期望。1、当（X,丫）为二维离散型随机变量时刃w=ZZb：广工小区）iJiE9=二工力F式力）iJJ2、当（X,Y）为二维连续型随机变量时=II切产）公办=J仁办JT£lJ-0flD即）=广广/（7灿办=广出3心例题2.39设（XQ-砥4臼求因，即以与一维随机变量函数的期望一样，可求出二维随机变量函数的期望对二维离散型随机变量（X,Y）,其函数£式乂用的期望为月=同葭片*二式妈/）如iJ对二维连续型随机变量（X,Y）,其函数£N虱丫3的期望为成幻二成虱灯二；

2、二鼠兄y）jym上力口（=硝，-秋）二-用）？（“）心力二广（L名为必（幻出J-w刈y-跃F）尸二J“3救F）尸工况心力=广5-即）尸力3）的例题2.40设（区门班从，此巧户口，Q）,求Z）（刀的K+W2.41设（X,Y）服从区域A上的均匀分布，其中A为x轴、y轴及直线?围成的三角形区域，如图2-10所示。求函数S=XY的数学期望。随机变量的数学期望和方差的三个重要性质：1矶N土门=演幻土再门1.也即=£耿耳）推广：-：-2、设X与Y相互独立，则第打）=囚F（7）yyA*目项苞）推广：设R相互独立，则u13、设X与Y相互独立，则仇及+力“国+。口y丫岐心="苞）推广：设卜”

3、，.相互独立，则zM仅对T质3就连续型随机变量加以证明证明3RX十与二现（片十/）总（了十;且KX现）+代一£/）/=EX-E（X）+2现（X-且）（F-£（7）+耳y-£O2：由于X与丫相互独立，所以国外与郎门相互独立，利用性质2、知道设区-欧幻（Z-留。卜成4-田阂）47-双用=倒XHX）（E（Y）-£（Y）=Q从而有，J一:.一："：可以证明：相互独立的随机变量其各自的函数间，仍然相互独立。例题2.42某学校流行某种传染病，患者约占m0,为此学校决定对全校1000名师生进行抽血化验。现有两个方案：逐个化验；按四个人一组分组，并把四个人抽到

4、的血混合在一起化验，若发现有问题再对四个人逐个化验。问那种方案好？2.10.2协方差与相关系数分析协方差与相关系数反映随机变量各分量间的关系；结合上面性质3的证明，可以得到以下结论：若X与丫相互独立，则前侬-即隆-以¥）=。视U反可以用来刻划x与丫之间的某种关系。定义设（X,Y）为二维随机变量，若机（占-典工）£明存在，则称它为随机变量X与丫的协方差，记作。可工丫或吃旺，即CovTrF=E（_X-趴冲（K-=仃珞特别地I-：力=J（Z-/门）（F-天门）卜"-以F=。（门故方差口（发），门（Fj是协方差的特例。计算协方差通常采用如下公式：CovXtY=犷k=E(X

5、T)-E(_X)E(Y)例题2.43设二维随机变量（X,Y）的分布密度其它定义若5人工¥】存在，且门，0（F）大于零，则称CovU*与Y的相关系数，记作PjfyCX,Y回力g)%?若©立=口，则称X与Y不相关。由上述讨论知，当X与丫相互独立时，协方差C。陋丁二口，从而用口口。即X与丫相互独立时，X与丫一定不相关。但X与丫不相关时，X与丫未必独立例题2.44设*见一1，1,即X的分布函数/=2 0又一-二上例说明，若系。实质上，-1M工，1其它试证明X与丫不相关，也不相互独立。"立二°,则笈与F不相关。但F二无,说明丫与x间确实存在某种关数所刻划的只是随机

6、变量X与丫之间的线性相关程度。若”为随机变量X与丫之间的相关系数，则有1、 H互12、 p=的充要条件是：尸位=温+的=1,其中a,b为常数，且aW0从上述结论看出，数的值域为-1,1,当时，表明X与丫之间几乎成线性相关关系：V=aF+8。当"叱口时，x与丫不相关。注意，这里所讲的不相关，仅指不线性相关，虽然不线性相关，可能有其它的（如二次函数）非线性的相关关系。对于二维正态分布，我们已经证明了二维正态变量的两个分量X与丫独立的充要条件是©°o还可以证明：恰好是两个正态分量X与丫的相关系数。对于二维正态变量，X与丫相互独立与不相关是等价的。3、 10.3矩协方差矩

7、阵定义设X是随机变量，若以陵）以"矶"项F存在，则称相为X的k阶原点矩，称均为X的k阶中心矩。矩是随机变量的重要数字特征，数学期望和方差是它们的特例。当X是离散型随机变量时vE克丁居/二工号与幻热*,*当X是连续型随机变量时底=J;号小心=汽工-矶产（月言4u>一18例题2.45设丫州32j,求隰。定义设（X,Y）为二维随机变量，若司rn置（片-宜广巡讨?存在，则分别称为二维随机变量（X,Y）的止十阶混合原点矩和k+i阶混合中心矩显然，协方差CoN*，？是（X,Y）的二阶混合中心矩，简称为二阶中心矩。若二维随机变量（X,Y）的四个二阶中心矩都存在，分别记为1=矶比-跃

8、XMX-驮"=巩"=4=s（x-to）cy-=cxj%=S（Y-%）（K-ECO=m将它们排成矩阵形式称为二维随机变量的协方差矩阵相关系数性质的证明定理i鼠L1.证：因为对于久兆的标准化随机变量二、犷有口y=0寸=,所以D（：土，丁尸D-+D：，r二2:=2二2一=2（1±）-：即J定理2当且仅当？。十过时，肉=1,且当b>0时，功=1;当b<0时，&=-1.证：（1）设?”+帖,则助”外站吁配口。,%卜匕.&=矶惦-砧朗,阻纥咐.士仁于7n眼b区Fl即当b>0时，&=1;当b<0时，=-1=-1.（2）设%=1,由定理1的证明可知D（夕土二）=2（1土厂S）,即当心”1时，5,引）=2（1-3）=0；当&=-1时，D（n+/）=2（1+仃）=0,则当&=±i时,d卢千吟=4r干才）-4d=o即"【.又由用=