勾股定理竞赛试卷(含解答)

1、精品文档 精品文档 八年级数学勾股定理竞赛试卷 （时间：120 分钟，总分：120 分） 一、选择题（每小题 5 分，共 25 分） 、 ABC 周长是 24, M 是 AB 的中点 MC=MA=5 则厶 ABC 的面积是（ ） A. 12; B . 16; C . 24; D . 30 2、如图，在正方形 ABCD 中, N 是 CD 的中点，M 是 AD 上异于 D 的点，且/ NMBM MBC 贝 U AM AB=（ ） A. 1; B .仝;C . - ; D 3 3 2 3、如图，已知 0 是矩形 ABCD 内一点，且 0A=1 OB=3 OC=4,那么 0D 的长为（ ） A.2;

2、 B.2 . 2 ; C.2 . 3 ; D.3 4、 如图，P 为正方形 ABCD 内一点，PA=PB=10 并且 P 点到 CD 边的距离也等于 10,那么，正方形 ABCD 勺 面积是（ ） A. 200; B . 225; C . 256; D . 150+10 .2 5、 如图，矩形 ABCD 中, AB=20, BC=1Q 若在 AB AC 上各取一点 N M,使得 BM+MN 勺值最小，这个最小 值为（ ） A. 12; B . 10 . 2 ; C . 16; D . 20 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 6、如图， ABC 中，AB=AC=2 BC 边上有 10

3、个不同的点 Mj =AR2 PB RC （ i = 1 , 2 , . Mj +M2 +M 10= _ 。, M 第（2）第（3）题图 第（5）第（6）题图 精品文档 精品文档 7、如图，设/ MPN=20 , A 为 0M 上一点，OA=3 , D 为 ON 上一点，0D=&/3 , C 为 AM 上任一点，B 是 0D 上任意一点，那么折线 ABCD 勺长最小为 _ 。 第（8）题图 8、 如图，四边形 ABCD 是直角梯形，且 AB=BC=2AB PA=1, PB=2 PC=3,那么梯形 ABCD 勺面积= _ 9、 若 x + y = 12 ，那么 *x2 +4 + Jy2 +

4、9 的最小值= _ 。 10、 已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别 为 _ 。 三、解答题（共 70 分） 11、 （本题 10 分）如图 ABC 三边长分别是 BC=17, CA=18, AB=19,过厶 ABC 内的点 P 向厶 ABC 三边分别作 垂线 PD, PE, PF,且 BD+CE+AF=27 求 BD+BF 勺长度。 12、（本题 15 分）如图，在 ABC 中，AB=2, AC=J3 , / A=Z BCD=45，求 BC 的长及 BDC 的面积。 第（7）题图 精品文档 精品文档 13、（本题 15 分）设 a,b,c,

5、d 都是正数。 求证： a2 c2 d2 2cd . b2 c2 . . a2 b2 d2 2ad 14、（本题 15 分）如图，四边形 ABCD 中， / ABC=135，/ BCD=120 , AB=J6 , BC=5-J3 , CD=6 求 AD。 15、（本题 15 分）如图，正方形 ABCD 内一点 E, E 到 A、B C 三点的距离之和的最小值为 ,. 6，求此 正方形的边长。 精品文档 精品文档 答案 一、选择题 1. C 2. A 3. B 4. C 5. C 解答： 1 . MA=MB=MC=5 / ACB=90 知周长是 24,则 AC+BC=14 AC2+BC2=102

6、 , 2AC- BC=(AC+BCf-(AC 2+BC2 ) = 14 2-10 2 =4X 24 2. 如图，延长 MN 交 BC 的延长线于 T,设 MB 的中点为 0,连丁0,则厶 BAMh TOB AM MB=OB BT M 攻=2AM BT (1) 令 DN=1 CT=MD=k 贝 U AM=2 - k 所以 BM= AB2 AM2 = .4 (2 -k)2 BT= 2 + k 代入(1) , 得 4 + (2 - k ) 2 = 2 (2 - k ) (2 + k ) 2 1 所以 AM AB= : 2 =- 3 3 3. 如图，过 O 作 EF 丄 AD 于 E,交 BC 于 F

7、;过 O 作 GHL DC 于 G,交 AB 于 H 设 CF=x, FB = y, AH = s, HB = x, 所以 OG=x, DG = s 所以 OF2 =OB2 - BF 2 =OC? -CF2 即 4 2 - x 2 = 3 2 - y 2 所以 x2- y 2 = 16 - 9 =7 (1) 同理有 O*=12 - s 2 = 3 2 - t 2 所以 t 2 - s 2 = 3 2 - 1 2 = 8 (2) 又因为 OHf+HBOB2 (1) - (2)得(x 2 +s2) - (y 2 + t 2)= S ABC AC BC =24 2 4 所以 k =- 3 精品文档

8、精品文档 所以 OD2 =x2 + s 2 = (y 2 + t 2)精品文档 精品文档 所以 OD=2._2 4. 如图，过 P 作 EF 丄 AB 于 E,交 CD 于 F,贝U PF 丄 CD 所以 PF=PA=PB=10 E 为 AB 中点 设 PE = x，贝U AB=AD=10 + x 1 1 所以 AE=_AB=_(10 + x) 2 2 在 Rt PAE 中, PA2 =PE2 +AE2 所以 102 = x 2 + 1(10 + x ) 2 所以 x = 6 2 2 2 所以正方形 ABCD 面积=AB =(10 + 6) = 256 5. 如图，作 B 关于 AC 的对称点

9、 B，连 A B， 则 N 点关于 AC 的对称点 N在 A B上， 这时，B 到 M 到 N 的最小值等于 BT MR N的最小值，等于 距离 BH，连 B 与 A B和 DC 的交点 P, 小 1 则 S ABP = X 20 X 10=100, 2 由对称知识，/ PAC=/ BAC=/ PCA 所以 PA=PC 令 PA=x,贝U PC=x PD=20 - x , 在 Rt ADP 中，PA2 =PD +AD2 所以 x 2 = (20 - x ) 2 + 10 2 所以 x = 12.5 1 因为 S.ABPPA，BH 所以 BH= =16 PA 12.5 、填空题 4 2 B 到

10、A B的 1. 40; 2. 12; 精品文档 精品文档 4. 13; 5. 6, 8, 10 或 5, 12, 13 解答：精品文档 精品文档 1 如图，作 AD 丄 BC 于 D,在 Rt ABD 和 Rt ARD 中，AB2 =AD +BD2 AR2 =AD2 RD2 2 2 2 2 2 所以 AB -AR =AD BD -(AD RD) 2 2 -BD -RD = (BD RD)(BD _RD) =PiC RB 所以 AR2 = RC fB =AB2 =4 所以 Mj =4 所以 M1 M2 M10 =40 1.如图，作 A 关于 ON 的对称点 A, D 关于 OM 的对称点 D,

11、连结 AB, CD,则 A B=AB C D=CD 从而 AB+BC+CD=AJ+BC+CD AD 因为/ AON=/ MONK MOD=20，所以/ AOD=60 又因为 OA=OA=4/3 , OD=OD=&/3 , 所以 OD=2OA 即厶ODA为直角三角形，且/ OAD=90 所以 AD= OD2 -DA，2 = .(8I3)2 _(4.3)2 =12 所以，折线 ABCD 的长的最小值是 12 3.如图，作 RML AB 于 M, RN! BC 于 N, 设 AB = m, PM = x, PN = y r 2 2 X2 +y2 =4(1) x2 +(my)2 =1(2) /

12、m x)2 +y2 =9(3) ，则 由(2 )、(3 )分别得, 2 2 2 x m - 2my y 1 (3) 2 2 2 y m -2mx x =9 (4) 精品文档 精品文档 将（1）代入（4）得 m2 -2my -3=0 = 把 x,y 的表达式分别代入（1 ）得m4 -10m2 10 因为 m2 0 所以 m2 =5+2、. 2 所以 AB= m =+ 2和2, BC = #5 + 2T 2 , AD = *5 + 2 J2 2 1 15 3c 所以 SABCD （AD BC） AB 2 2 4 2 4. 如图,AB=12, AC=2 BD=3 且 AB 丄 AC, AB 丄 BD

13、, P 在 AB 上且 PA=x, PB=y,连 PC PD, 在 Rt CAP 和 Rt DBP 中 PC hAC2 PA22 4, PD = :；BD2 PB2 =Jy2 9 如图，P 点在P0位置时，PC+PD 勺值最小，为线段 CD 的长度，而 CD=. （2 3）2 122 =13 5. 设三边长为 a,b,c，其中 c 是斜边，则有 a2 b2 =c2 （1） a b ab （3） I 2 （2）代入（1）得 a2 b2 =（辿-a -b）2 2 因为 abz 0 所以 ab - 4a - 4b + 8 = 0 8 所以a =4 （a,b 为正整数） b 4 所以 b - 4 =

14、1 , 2, 4, 8, 所以 b = 5 , 6, 8, 12; a = 12 , 8, 6, 5; c = 13 , 10 , 10 , 13 , 所以，三边长为 6 , 8 , 10 或 5 , 12 , 13 m2 3 将（1）代入（5）得m2 m2 一5 2m 所以x2 4 -y2 - 9的最小值为 13。 精品文档 精品文档 三、解答题即亚（ab - 4a - 4b 8） = 0 4 精品文档 精品文档 =-BC DF 二丄(6 -1) 3 2 6 =9 - 2 2 2 41.如图，连结 PA,PB, PC,设 BD=x CE=y 贝 U DC=17-x, EA=18 - y ,

15、FB = 19 - z AF=z, 在 Rt PBD 和 Rt PFB 中，有 x2 PD2 2 2 二(19 -z) PF 同理有: y2 PE2 =(17 _x)2 PD2 z2 PF2 =(18-y)2 PE2 将以上三式相加，得 x2 y2 z2 =(17 -x)2 (18 -y)2 (19-z)2 即 17x + 18y + 19z = 487 又因为 x + y + z = 27 , 所以 x = z - 1, 所以 BD + BF = x + (19 - z ) = z 2.如图，作 CE! AB 于 E , 则 CE=AE/ AC - 2 2 所以 BE=AB-AE=2 - 2

16、 1 + 19 2 2 2 又 BC =CE BE 所以 BC=.CE2 BE2 再过 D 作 DF 丄 BC,交 CB 延长线于 F,并设 DF=CF=x 贝 V BF= x - BC = x + 1 - . 6 又 Rt DFB Rt CEB 所以 DF: BF=CE BE,即卩 x: (x + 1 - 76 )= 2 所以 x = 3 2.6 2 所以S BCD 2.如图，构造一个边长为(a + b) 、(c + d)的矩形 ABCD 在 Rt ABE 中, BE= .AE2 AB 所以 BE=. a2 (c d)2 = a 2 c2 d2 2cd 精品文档 精品文档 在 Rt BCF

17、中, BF=、. BC2 CF2 二、一b)2d2 =爲2 b2 d2 2ab 在 R t DEF 中，EF=.、DE2 DF2 = ：b2 C2 在厶 BEF 中，BE+EFBF 即.a2 C2 d2 2cd .、b2 c2 a2 b2 d2 2ab 3.如图，过 A 作 AE/ BC 交 CD 于 E,则/ 1=45,/ 2=60, 过 B 作 BF丄 AE 于 F,作 CGL AE 于 G, 则 Rt ABF 为等腰直角三角形，BCFG 为矩形， 又因为 AB= . 6 , BC=5- . 3 , 所以 BF=AFd_ AB= - 3，所以 CG=BF= 3 , 2 2 1 所以 CE= CG=2 EG= CG=1 3 3 所以 AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6 DE=CD-EC=6-2=4 过 D 作 DM 丄 AE 延长线于 M / MED=180 - / AED=180 - / BCD=180 -120 =60 1 v 3 i 所以 EMDE=2, DM= DE=2 3 2 2