平面向量应用举例(4)课件

1、平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背景向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为向量的运算就可以完全转化为“代数代数”的计的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。来极大的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算

2、及数量积表示出来，因此，利量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。问题：问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？条邻边长度之间的关系吗？,ACABAD ,DBABAD ABCD猜想：猜想：2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？类比猜想，平行四边形有相似关系吗？例例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：

3、平行四边形已知：平行四边形ABCD。求证：求证：222222BDACDACDBCABbADaAB ,解：设解：设 ，则，则 baDBbaACaDAbBC;,)( 2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa222222BDACDACDBCAB（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；常设基底向量或建立向量坐标。问题；常设基底向量或建立向量坐标。（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，）通过向量运

4、算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形例例2 如图，平行四边形如图，平行四边形 ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD 、 DC边的中点，边的中点，BE 、 BF分别与分别与AC交于交于R 、 T两点，两点，你能发现你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：猜想：AR=RT=TC又因为又因为 共线，共线，所以设所

5、以设E RE B与与12()ERmEBm ab 因为因为 所以所以A RA EE R 1122()rbm ab 1122()()n abbm ab 因因此此ABCDEFRTbaACbADaAB,解：设解：设 则则由于由于 与与 共线，故设共线，故设ARACRnbanrAR,)(102()()mnm anb 即即0102nmmn ,a b由由于于向向量量不不共共线线，1 1解解 得得 ： n n= = m m = =3 3111333,ARACTCACRTAC 所所以以同同理理于于是是故故AT=RT=TCABCDEFRT练习练习1、证明直径所对的圆周角是直角、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知如图所示，已知 O，AB为直径，为直径，C为为 O上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90分析分析：要证要证ACB=90，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。CBAC 0CBAC解：解：设设 则则 ，由此可得由此可得：bOCaAO ,baCBbaAC,babaCBAC2222baba022rr即即 ，得，得 ACB=900CBAC思考：能否用向量思考：能否用向量坐标形式证明？坐标形式证明？ab练习练习2平行四边形ABCD中,E为AB的中点,用向量方法,求EF:FD的值(可选 为基底)bADaAB,A