立体几何中几类典型问题的向量解法

1、立体几何中几类典型问题的向量解法空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、 平行与垂直问题。、利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离(1)求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是:uuir求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点P与平面内任一点 M构成的向量MP的坐

2、rumr.uirr uuirn?MP标，那么P到平面的距离dMP?cosn,MP1 r1uuuuuu uuu uuu uurQB, PQ AB 或 PQ 的(2)求两点P,Q之间距离，可转化求向量 PQ的模。LUU(3)求点P到直线AB的距离，可在AB上取一点Q，令AQuuu最小值求得参数，以确定Q的位置，贝y PQ为点P到直线AB的距离。还可以在 AB上一一一uuu- 一任取一点Q先求cos PQ, AB ，再转化为sin PQ, AB ，则PQ sin PQ, AB 为 点P到直线AB的距离。AB平行的向量n , C,D分别是ht上求两条异面直线ll,l2之间距离，可设与公垂线段urnr的

3、任意两点，贝V h,|2之间距离AB例 1：设 A(2,3,1), B(4,1,2), C(6,3,7), D( 5, 4,8)，求点 D 到平面 ABC 的距离例3：正方体ABCD例2：如图，正方形 ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面 ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点 N在BF上移动，若CM BN a （0 a .、2）。（i）求MN的长；（n）当a为何值时,（川）当MN长最小时，求面MNA与面ABiCiD!的棱长为1,求异面直线 AC!与A0间的距离例4：如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB 4,BC 3,CC1 2,求平面 A1BC1与平y面ACD1的

4、距离。r点评：若n是平面 的法向量，AB是平面 的一条斜线段，且B ，则点A到平面 的uuu rAB?n距离d r一，平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，变为斜线在法向量上的射n影。、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。C,D是直线12上的任意两点，则li,l2(1)设1(2是两条异面直线，A,B是li上的任意两点,uuu uuur所成的角为arccostitur AB ?CD(2)设AB是平面 的斜线，且B ,BC是斜线AB在平面 内的射影，则斜线AB与uuu UJU平面所成的角为arccos-uuu-utr-AB?BC设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线,则AB与平面所成的

5、角为2arccosir uu(3)设n,n2是二面角I 的面uuu r-uuu-r-AB?n或者arcs in的法向量，则uuu rAB?nuuurAB ? n底面 ABCD，AD=PD，E，始于足下.面角的平面角或补角的大小。例5：在棱长为a的正方体ABCDa'b'c'd'中，EF分别是BC, a'd'的中点,(1) 求直线AC与DE所成角；(2) 求直线AD与平面B'EDF所成的角，(3) 求平面B'EDF与平面ABCD所成的角例6：如图，四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为矩形，PDF分别CD、PB的中点.(I)求证：EF 平面PAB;(n)