空间解析几何复习资料汇总含答案

1、空间解析几何练习题1. 求点M (a,b,c)分别关于(1)xz坐标面(2) x轴(3)原点对称点的坐标.2. 设 A(-3,x,2)与B(1,-2,4)两点间的距离为 29，试求x.3. 证明 A(1,2,3) B(3, 1,5) C(2,4,3)是一个直角三角形的三个顶点.4. 设厶ABC的三边BC =a ,CA=b , AB=c,三边的中点依次为 D, E, F，试用向量a b c表示 AD , BE, CF，并证明：AD BE CF =0 .5. 已知：a 二 i 一 j 2k , b =3i j k 求 2a 3b , 2a3b .6. 已知：向量a与x轴，y轴间的夹角分别为:-60

2、 ,- -120求该向量a与z轴间的夹角 .7. 设向量a的模是5,它与x轴的夹角为 一，求向量a在x轴上的投影.48. 已知：空间中的三点 A(0,-1, 2) , B(-1, 3, 5) , C(3, -1, -2)计算：2- 3AC ,AB 4AC.9. 设 a - 2, 0,-1, b = 1,- 2,- 2 试求 a - b, 2a 5b , 3a b .10. 设：a = 2 -2, 1，试求与a同方向的单位向量.11. 设：a=3i 5j 2k, b=2i -4j -7k , c=5i j -4k, u=4a 3b-crSr=试求(1) u在y轴上的投影；(2) u在x轴和z轴上

3、的分向量；(3) u .rr- - 2 212. 证明：(a b) (a -b) = a -b .13. 设：a3,0,-1, b = -2,-1,3求 a b , (a b).fff f f TTTtt14. 设 a=2i x j - k , b=3i-j 2k 且 a_b 求 x15. 设a = 0, 1, - 2, b = 2 -1, 1求与a和b都垂直的单位向量.16. 已知：空间中的三点 A(1, 1, 0) , B(-2, 1, 3) , C(2, -1, 2)求ABC的面积.17. (1)设 a / b 求 a b( 2)若 a = 1 求 a b18. 设間=3, |b|=5,

4、试确定常数k使a kb , a-kb相互垂直.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.设向量a与b互相垂直，- JI - - -1 H_”(a，c) = , (b c)= ，且 a = 1, b = 2 , 36IC =3 求a +b +c设：a=i-3j 5k , b=2i-j 3k 求 a b设：a = 3i -6 j - k , b =i 4j -5k求(1) a a ； (2) (3a 2b) (3b) ； (3) a 与 b 的夹角.兀一一、_设:(a b)=且 a =1 ,冋=J3，求 a x b

5、 .设：a=31,2, b/, 2 1,试求：(1) a b ; (2) a x b ; (3) cos(a b).设a与b相互垂直,已知：a =3 , b =26 , a 況 b=72，求 a b .且 a =3 , b = 4 ,试求(1) (a +b)疋(a b) ； (2) (3a b)疋(a 2b)设：a b c = 0 证明：a b=b c=c a已知：a=3i 2j -k, b=i -j 2k，求(1) a b ； (2) (a 2b) (2a -3b); ( 3) (a b) i (4) a i b .求与a2,2,1?b-8,-10,-6?都垂直的单位向量.已知：a=一6 T

6、1 b=q 4c -4 12求 (a c)b+(a b)c在向量 c上的投影.设：axbucd , acubd 且 bHc, aHd 证明 ad 与 bc 必共线.设：a+3b与7a -5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求非零向量 a与b的夹角.设：a=2 3 6b曲 2 2向量c在向量a与b的角平分线上，且42，求向量c的坐标.设：a =4, b =3, 丽=|求以a+2b和a3b为边的平行四边形面积.求过点Po(7,2,-1)，且以n二2,-4,3为法向量的平面方程.过点P0 (1, 0,-1)且平行于平面x - y - 3z = 5的平面方程.过点M(1,- 3, 2)且垂直于过点A(

7、2, 2,-1)与B(3, 2, 1)的平面方程.过点 A(3, -1, 2) , B(4,-1, -1) , C(2, 0, 2)的平面方程.过点P0(2, 1, 1)且平行于向量a = 2 1, 1和b = :3,-2, 3、的平面方程.过点Mo (1, -1, 1)且垂直于平面 x - y - z 1 = 0及2x y z 0的平面方程.40.将平面方程 2x 3y - z 18 =0化为截距式方程，并指出在各坐标轴上的截距.41. 建立下列平面方程（1）过点（-3，1，- 2 ）及 z 轴；（2）过点A （-3，1, - 2 ）和B（ 3，0，5）且平行于x轴；（3）平行于x y面，且

8、过点A （ 3，1，-5）；（4）过点 P1（ 1， 5，1）和 P2（ 3，2， 2 ）且垂直于 x z 面.42. 求下列各对平面间的夹角（1） 2x-y z=6, x y 2z=3 ； （2） 3x 4y-5z-9 = 0，2x 6y 6z-7=0 .43. 求下列直线方程（1） 过点（2，-1，- 3）且平行于向量s-3, - 2,1 ；（2）过点Mo（3，4，-2）且平行z轴；（3）过点 M1 （1，2，3） 和 M2 （ 1, 0，4 ）；（4）过原点，且与平面 3x - y 2z - 6 = 0垂直.44. 将下列直线方程化为标准方程x 2y +3z -4 = 0（1）丿、3x

9、+2y _4z _8 =045.将下列直线方程化成参数式方程(2)x =2y +2；畀= z_43x+2z 1 = 0(3)丿畀 + z = 0(1)x -5y +2z-1 =05y =z _246.求过点（1, 1, 1）且同时平行于平面x，y-2zT=0 及 x，2y-zT=0 的直线方程.47.求过点（3, 1,-2）且通过直线48.亠。x 1y +1求通过两直线1 -164 .求下列各对直线的夹角x -1 y z 十4 （1）1-27x4=上的平面方程.2 1x -1 y 1 z-1 砧的平面万程.-1 2 1(2)丿5x -3y +3z - 9 = 0i3x _2y + z T =

10、02x+2y-z + 23 = 0、3x+8y+ z_18 = 0 x T y证明直线4-13X + 7y 十 z = 0 y-z-2= 0相互平行.50.x 1 y 3设直线I的方程为：求n为何值时，直线I与平面2x-y-z 5 = 0平行?51作一平面，使它通过 z轴，且与平面2x y - 5z - 7 = 0的夹角为.-3+ z + 1 = 0 52.设直线I在平面兀：x+y+z+1=0内，通过直线l1 :丿x + 2z = 0与平面二的交点，且与直线li垂直、求直线I的方程.X +2y -z+1 =0x y +z 1 = 053. 求过点(1, 2, 1)而且与直线2x_y +z =

11、0平行的平面方程.x - y + z = 054. 一动点到坐标原点的距离等于它到平面z - 4 = 0的距离，求它的轨迹方程.I与平面二55.直线I :丿2x+y1与平面江：x+2yz1=0是否平行？若不平行，求直线、3x+z-2 = 0的交点，若平行，求直线I与平面二的距离.Zx = 3 4tX 1 y z 556. 设直线I经过两直线I1 :, I2 ：21 5t 的交点，而且与直线I1与I2都-18- 3z = -11 -10t垂直，求直线I的方程.x+y_z 州=0、57. 已知直线：I1:及点p(3-12)过点p作直线I与直线I1垂直相交，求直线丨的方程.58.方程：x2 y2 z

12、2 -4x-2y 2z-10是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径.2 2 259.判断方程：x y z -2x 6y -4z =11是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径.z2 =5x60.将曲线：丿绕x轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程.y = 0广 2261.将曲线:绕y轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程.4x +9y =36z =062. 说明下列旋转曲面是怎样形成的22 22(1) y z 10;(2)x2丫 z2 二 2 ；( 3)x2y2z2二 1 ；(4)(za)2 =x2y2.3 4 3463. 指出下列方程在空间中表示什么样的几何图形222(1) 3x2 4

13、y2 =1 ；(2) x y 1 ;(3) z2 = 4x ；(4) 4y2 -1 .233自测题（A）（一）选择题1.点 M(4,-1,5)到 xA 5B 4y坐标面的距离为C 1D 42()2点 A(2,-1,3)关于 yz坐标面的对称点坐标()A (2,-1,-3) B. (-2,-1,3)C. (2,1,-3)D. (-2,1,-3)3已知向量 a，3,5,-lb =2,2,2沁 一4,一1,一31，则 2a - 3b 4c 二()A 00,0,16?B対,4,-20?C16,0,-20?D - 20,0,16?4设向量 a = 4i -2 j -4k, b = 6i3j 2k，则(3

14、a -2b)(a 3b)=()A 20B -16C 32D -32r rT5 已知：A(1,2,3),B(5, _1,7),C(1,1,1), D(3,3,2),贝V prD AB =()1A 4B 16设 a =2i - jk,b =C D 22)=i 2j - k,则(a b) (a - b)二(A -i 3j 5kB -2i 6j 10kC 2i -6j -10k* D 3i 4j 5k7 设平面方程为x - y = 0，则其位置（）A平行于x 轴 B 平行于y 轴 C平行于z 轴 D 过z 轴.8 平面x -2y 7z 0与平面3x 5y 0的位置关系（）A 平行B 垂直C 相交D 重

15、合x亠3 y亠4 z9直线与平面4x-2y-2z-3 =0的位置关系（）-2-73A 平行B 垂直C 斜交D 直线在平面内_ y +1 = 010 设点A（0,1,0）到直线的距离为（）-X +2z -7 = 0A 51B .61 C 51D -8（二）填空题1设A(3,x,2)与B(1, 2,4),两点间的距离为J29,则x=.2. 设 u = v+3B2c , v=2a6+c，贝y 2u =.3. 当 m=时，2i _3j 5k与3i mj -2k互相垂直.4. 设a =2i + j +k , B = i 2j +2k , c =3i 4j +2k，贝U j c(a +b) =c4. 设

16、a = 2i j + k , b = i +2j -3k，贝U (2a + b)x (a 2b) =.5. 与A(3,2,-1)和B(4,-3,0)等距离的点的轨迹方程为 .6. 过点(5,7), (4,0, 2)且平行于z轴的平面方程 .7. 设平面：x，y-z1=0,与2x，2y-2z-3 = 0平行，则它们之间的距离 .8. 过点(2, -8,3)且垂直平面x - 2y -3z -2 =0直线方程为 .10.曲面方程为：x2 y2 4z2 =4，它是由曲线 绕旋转而成的.(三)解答题1. 求平行于2 J.6,3,-2 的单位向量.2. 已知作用于一点的三个力卩！ -2,3,-4F2 =

17、INS： F3 =、3,-4,5f求合力的大小与方向.3. 如果a2,-1,* bJ1,2“求a在b上的投影.4. 用向量方法，求顶点在 (2,-1,1),(1,一3,-5),(3,-4, V)的三角形的三个内角.5. 设 a二-i，2k b=2i，j-k i 2 j 2k，试将下列各式用 i, j, k 表示.*f#p- *(1) (a b) c ；(2) (a b) (a c).6. 求经过点(1,2,0)且通过z轴的平面方程.7. 在平面x-y-2z=0上找一点p,使它与点(2,1,5), (43,1)及(-2,-1,3)之间的距离相等.8 .求过(1,0,0), (0,1,0), (0

18、,0,1)的圆的方程，并求该圆在坐标平面xoy上的投影曲线方程.9. 求过点(1,2,1)且同时平行2x 3y z -1 = 0和3x y - z 5二0两平面的直线方程.2 2 210 .方程：2x y z =1表示什么图形？（一）选择题1设2 设3 若4 .右5.过C.自测题（B）2,3,11b _1,-1,3沁 J1,2,0贝U (a b) c=(B 10C.0,-1,-仃D. f 2,1,21J1,-1,2b2,-2,2二则同时垂直于 a和b的单位向量（11 1 1 - q/ B .违30C -2,-2,0a =6i 3j -2k,b/a,且= 14,则 b=(_(12i 6j -4k

19、) B. - (12i6j) C. _(12i-4k)M!(1,1,1), M2(2,2,1), M 3(2,1,2),则 MM与M M的夹角M1(2,1,4),M 2(-1,-2)和M3(0,2,3)，的平面方程(14x 9y -z -15 = 0B 2x 7y-8z-6=0-2,2,0-(6j - 4k)14x-9y z-15 = 0D 14x 9y z - 15 = 06 .求平面 xy 2z6 = 0与平面2x y z - 5 = 0 的夹角(TtJTA .B .-26A X 十 Br y + G Z + Dr = 0 iA2x+B2y+C2z + D2 =07 .直线丿8.设点 Mo

20、 (3,-1,2),C.各系数满足（）条件，使它与y轴相交.B .邑B2 D2直线I丿C. C1二 C2x+y_z + 1 = 02x - y z4 = 0，则Mo到I的距离为（7 / 12x _ 2 v 3z _ 49 直线与平面2x，yz=6夹角为()1 1 25A 30oB 60oC. 90oD arcsin 610.过点(-1,-2,-5)且和三个坐标平面都相切的球面方程()A. (x 1)8. 动点到点(0,0,5)的距离等于它到 x轴的距离的曲面方程为 .9. 曲面方程：16x2 9y2 9z2 = 25则曲面名称为 ._ c 22z 2 x y10 .曲线22在y Z面上的投影方

21、程.Z = (x-1) +(y-1)(三) 解答题 设 a 二1,1,1, b 二0,1,1, c 二1,1,0并令 d = xa yb zc (x ,y ,z 为数量)求(1) d ；(2)当 d =1,2,3时，x,y,z .k 求平行于a二6,3,-2的单位向量. 确定k值，使三个平面：kx -3y z =2,3x 2y 4z =d,x -8y -2z =3通过同一条直线.千 t fI=* If * 已知两个不平行的向量a与b，ab = 2，彳=1，4，设c = 2(a汉b) 3(bXa)， (v 1)2 (z 1)2 =52 B. (x 5)2 (v 5)2 (z 5)2 二 52C.

22、(x2)2(v 2)2 (z2)2=52D. (X5)2(y-5)2(z 5)2 =52(二) 填空题1.设 a = i 2j +3k , b=2i+j , c = i+j+k，贝U a +b与 c 是否平行.2 设 a 二3,5,8 , b 二2,-4,-7 , c 二5,1,-4,贝U 4a 3 -c 在 x 轴上的投影3. 化简：(a+b+c) x c+(a+b+c) =b(bc) x a =.5x -3y +2z - 5 = 04 直线1:丿和平面 兀：4x 3y+7z 7 =0的位置关系.2x _ y _ z _1 = 04x - y + z -1 =05过直线丿且与x 轴平行的平面

23、方程 .x+5y _z+2 = 06 原点(0,0,0)到平面2x-y + kz = 6，的距离为2,贝U k=.7 .与平面 2x y 2z *5=0，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程求(1) a (b c) ；(2) C ;(3) b与C的夹角余弦.5 求以向量i j, j k,k i为棱的平行六面体的体积.6垂直平分连接 A(4,3, -1),B(2,513)的线段的平面方程.7 求与平面2x-6y 34平行平面，使点(3,2,8)为这两个平面公垂线中点.8 在平面x-y-2z = 0上找一点p使它与点(2,1,5),(4,-3,1)及(-2,-1,3)之间的距离相等.9.

24、方程：4x2 y2-8x 4y4 = 0表示什么曲面?方程组图形是什么？若是一个圆，求出它的中心与半径.x2 + y2 +z2 _6x _4y =0、2x 十 y+ 2z_1 =012569111215.17.18.21.23.26.28.31.33.37.40.41.参考答案参考答案练习题.(1) (a,b,c);(2) (a,b,c) ;(3)(7,b,c).X =1或X = -5 .3 .算出距离后，证明满足勾股定理4.略.2a 3b =11i j k ； 2a - 3b 二-7i -5j 7k .Y = 45或 135. 7 .8 . 2A-3屁=-11,8,1$,忑 + 4无=11,

25、4,-13.22 2 1.a-b 二1,2,1,2a 5b 二9,-10,-12,3a b 二7,-2,-5 .10 .单位向量为 ,一 ，.3 3 3.(1) 7；(2) u在X轴的分向量13i , u在z轴的分向量9k ；(3) |U = J299.9 35.利用数量积运算法则.13 . ab - -9 ； (a b)八-arccos.14 . x =4 .70116 . SABC单位向量：士-=(i +4i +2k).v21(1)若a与b同向，贝U a，b = a b，若a与b反向，则a b 二一cos(a b).(1)46;(2)(1)3；27 .19 .a +b +d = *17+6

26、73 .20 .a b =16.(3)(2) 3i -3j -3k ；(1) 3i -7j -5k ；、 8(a b)-二-arccosJ 483(3)丄.24 . _30。2(2)-21i49j35k ；22 .225. (1) 24;(2) 60.(3) j - k ； (4) i - 2 j .30 .提示：验证(a - d) (b - c)是否为0 .29. 14.-H.33 3(a b)，提示：c_d 则 cd=0。32 . c =-3,15,12,或 c = 3.-15. - 12.330 .34 . 2x - 4y 3z -3 = 0 .35 . x - y - 3z - 4 =

27、 0 . 36 . x 2z - 3 = 0.3x 3y z-8=0.38 . 5x-3y-7z=0.39 . y-z 2 = 0.截距式：-人- 1，在x y ,z轴截距分别是-9, -6,18 .9618(1)平行于X z面；过原点；平行于z轴； 平行于X轴且过原点.x -1y -1z -147.8x - 9y - 22z - 59-0 .48.5x 3y -z -131-1x 3y=0 或 3x-y = 0xy 1z50.n=4.51 .52 .-23-1x -yz = 0 .54.2 2x y一8(z-2).55 .l 二,l与:间的距离为16x 1y 16z 15x -3 y 1 )7.z -2.58 .球心:(2,1,-1),半径-65-22-374-11球心:半径5.(1,-3,2)=0 .5.z260. y2=5x .2 2 261. 4x 9y 4z =36.44.45.46.4953.56.59.62.63.64.42 ( 1)43. (1)z -3x -3y-4-2y-2z -3-2-1 2x 4(1) 丁y -613x -1 y -1-3=2 5tx =6 2t(1) y = _1tz - -3 5t(2) y=2z - -1 5t(1)=10绕y轴旋转而成.(2