第三讲矩阵的秩ppt课件

1、. , 数数是是唯唯一一确确定定的的梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行阶阶把把它它变变为为行行阶阶变变换换总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行任任何何矩矩阵阵nmA ., 12阶阶子子式式的的称称为为矩矩阵阵阶阶行行列列式式，的的中中所所处处的的位位置置次次序序而而得得变变它它们们在在不不改改元元素素处处的的个个），位位于于这这些些行行列列交交叉叉列列（行行中中任任取取矩矩阵阵在在定定义义kAkAknkmkkkAnm 一、矩阵秩的概念. )(0102等于零等于零并规定零矩阵的秩并规定零矩阵的秩的秩，记作的秩，记作称为矩阵称为矩阵的最高阶非零子式，数的最高阶非零子式，数称

2、为矩阵称为矩阵，那末，那末于于）全等）全等阶子式（如果存在的话阶子式（如果存在的话，且所有，且所有式式阶子阶子的的中有一个不等于中有一个不等于设在矩阵设在矩阵定义定义ARArADrDkA .)( 子子式式的的最最高高阶阶数数中中不不等等于于零零的的是是的的秩秩矩矩阵阵AARAnm ，对于对于TA).()(ARART 显有显有. 个个阶子式共有阶子式共有的的矩阵矩阵knkmCCkAnm 例例1.174532321的秩的秩求矩阵求矩阵 A解解中，中，在在 A，阶阶子子式式只只有有一一个个的的又又AA3. 03221 ，且且0 A. 2)( AR例例2.00000340005213023012的秩的

3、秩求矩阵求矩阵 B解解行行，其其非非零零行行有有是是一一个个行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵，3B.4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B, 0400230312 而而. 3)( BR例例3 3，求求该该矩矩阵阵的的秩秩已已知知 510231202231A, 022031 102120231 502320231 解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 AR做做初初等等变变换换，对对矩矩阵阵 510231202231A另解另解,000031202231510231202231 显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2

4、， . 2 AR此方法简单！此方法简单！., 梯梯形形等等行行变变换换把把他他变变为为行行阶阶总总可可经经过过有有限限次次初初因因为为对对于于任任何何矩矩阵阵nmA 问题：经过变换矩阵的秩变吗？问题：经过变换矩阵的秩变吗？ . ,1 BRARBA 则则若若定定理理证证二、矩阵秩的求法).()( BRARBA 则则，经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为先证明：若先证明：若. 0 )( rDrArAR阶阶子子式式的的某某个个，且且设设时时，或或当当BABAkrrriji 时，分三种情况讨论：时，分三种情况讨论：当当BAjikrr ,.rrDDB相对应的子式相对应的子式中总能找到与中总能找到与在

5、在, rrrrrrkDDDDDD 或或或或由于由于.)(0 rBRDr ，从从而而因因此此行行；行行但但不不含含第第中中含含第第）（行行；行行和和第第中中同同时时含含第第）（行行；中中不不含含第第）（jiDjiDiDrrr321.)(, 0)2(),1( rBRDDDBrrr 故故子子式式对对应应的的中中与与两两种种情情形形，显显然然对对，对情形对情形)3(,rrjijirDkDrkrkrrD , 0 rD若若,非非零零子子式式阶阶行行的的中中有有不不含含第第行行知知中中不不含含第第因因riAiDr.)(rBR , 0 rD若若).()( BRARBA ，则则经经一一次次初初等等行行变变换换变

6、变为为若若 ,AB为为也可经一次初等变换变也可经一次初等变换变又由于又由于.)(, 0rBRDDrr 也也有有则则).()(BRAR 因因此此).()(ARBR 故故也也有有 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变有限次初等行变换矩阵的秩仍不变 ).()(,BRARBA 也有也有经初等列变换变为经初等列变换变为设设,BA经初等列变换变为经初等列变换变为设设).()(),(, BRARBABA 则则即即经经有有限限次次初初等等变变换换变变为为若若综综上上,TTBA 经初等行变换变为经初等行变换变为则则),()( TTBRAR )

7、,()(),()(TTBRBRARAR 且且).()(BRAR 证毕证毕初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4的的一一个个最最高高阶阶非非零零子子式式秩秩，并并求求的的求求矩矩阵阵设设AAA,41461351021632305023 阶梯形矩阵：阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行作初等行变换，变成行对对A解解 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 41461351021

8、632305023 A 050233510211340414614241rrrr 1281216011791201134041461 41461351021632305023 A4241rrrr 141332rrrr 84000840001134041461 00000840001134041461 由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知. 3)( AR233rr 244rr 34rr . 的的一一个个最最高高阶阶子子式式求求 A , 3)( AR . 3阶阶的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为知知A阶子式共有阶子式共有的的 3A . 403534个个 CC阶阶梯梯形形矩矩阵

9、阵为为的的行行则则矩矩阵阵记记),(),(42154321aaaBaaaaaA 的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，考察考察A 000400140161, 3)( BR的的前前三三行行构构成成的的子子式式计计算算B .3阶阶非非零零子子式式中中必必有有故故 B.4个个且且共共有有623502523 1106502523 116522 . 016 则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.A，阶阶可可逆逆矩矩阵阵设设An , 0 A,AA的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为,)(nAR .,EAEA的的标标准准形形为为单单位位阵阵故故.为为满满秩秩矩矩阵阵，故故称称可可

10、逆逆矩矩阵阵可可逆逆矩矩阵阵的的秩秩等等于于阶阶数数.奇奇异异矩矩阵阵为为降降秩秩矩矩阵阵例例5 5 4321,6063324208421221bA设设 .)(的的秩秩及及矩矩阵阵求求矩矩阵阵bABA 解解),( bABB 的的行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵为为设设分析：分析：的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，就是就是则则AA).()(),(BRARbAB及及中中可可同同时时看看出出故故从从 46063332422084211221B 13600512000240011221131222rrrr 143rr 10000500000120011221 000001000001200112212322rrr 243rr 53 r34rr . 3)(, 2)( BRAR三 思考题?)()(,是是否