高等数学上册知识点

1、高等数学上册第一章函数与极限（一） 函数1、 函数定义及性质 （有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点；函数f (x)在x0连续limf (x)f ( x0 )x x0第一类：左右极限均存在。间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。（二） 极限1、定义1）数列极限lim xn a0, N,n N , xnan2）函数极限l

2、im f ( x) A0,0,x, 当 0x x0时， f ( x)xx0左 极 限 ： f ( x0 ) limf ( x)右极限：x x 0f ( x0 )lim f ( x)x x0limf ( x) A 存在f ( x0 )f ( x0 )xx02、极限存在准则1）夹逼准则：1） ynxnzn ( n n0 )2） lim ynlim znalim xnannn2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。3、无穷小（大）量1）定义：若 lim0 则称为无穷小量； 若 lim则称为无穷大量。2）无穷小的阶： 高阶无穷小、 同阶无穷小、 等价无穷小、阶无穷小Th1o() ;Th2, lim存在

3、，则limlim（无穷小代换）4、求极限的方法1）单调有界准则；2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：a)lim sin x1x 0x11) xb) lim (1x) xlim (1ex0xx5）无穷小代换：（ x0 ）a)x sin x tan x arcsin x arctan xb)1 cosx 1 x2ex2（ axc)1 x1 xln a ）d)e)ln(1x) x（ log a (1 x) x）ln a(1 x)1 x第二章导数与微分（一） 导数1、2、3、定义： f ( x0 ) limf ( x)f (x0 )xx0x x0左导数： f(x0 )f (

4、x) f ( x0 )limxx0xx0右导数： f( x0 )f ( x) f ( x0 )limxx0xx0函数 f (x) 在 x0 点可导f( x0 ) f ( x0 )几何意义： f ( x0 ) 为曲线 yf (x) 在点 x0 , f ( x0 ) 处的切线的斜率。可导与连续的关系：4、求导的方法1） 导数定义；2） 基本公式；3） 四则运算；4） 复合函数求导（链式法则） ；5） 隐函数求导数；6） 参数方程求导；7） 对数求导法。5、高阶导数d 2 yddy1） 定义： dx2dxdxnCk u( k )v( n k )2） Leibniz公式：uv( n)kn0（二） 微分

5、1） 定义：yf ( x0x)f ( x0 )A x o( x) ，其中 A与x 无关。2）可微与可导的关系：可微可导，且dyf ( x0 ) xf ( x0 )dx第三章 微分中值定理与导数的应用（一） 中值定理1、 Rolle 定理：若函数 f (x) 满足：1） f ( x) Ca, b ； 2） f ( x)D(a,b) ；3）f (a)f (b) ；则( a,b), 使 f ( )0.2、 Lagrange中值定理：若函数f (x) 满足：1） f ( x)Ca, b ； 2） f ( x)D(a,b) ；则(a, b), 使 f (b)f (a)f ()(b a) .3、 Cauc

6、hy 中值定理：若函数f ( x), F ( x) 满足：1） f ( x), F ( x)Ca, b ； 2） f ( x), F ( x)D(a, b) ；3） F (x) 0, x(a,b)则(a, b), 使 f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()（二） 洛必达法则注意 :1、尽量先化简（有理化、无穷小代换、分离非零因子）再用洛必达法则！如： lim1 x2cos xtan4xx 02、对于某些数列极限问题，可化为连续变量的极限，然后用洛必达法则！nn an b如： limn2（三） Taylor 公式n 阶 Taylor 公式：f ( x) f ( x )f ( x

7、0)( x x )f ( x0 ) ( xx ) 2002!0f ( n ) ( x )x )nf(n 1) ( )x )n 10 ( x( xn!0(n 1)!0在 x0 与 x 之间 .当 x00 时，成为 n 阶麦克劳林公式：f (x)f (0)xf (0)2f( n) (0)nf ( n 1) ( )f (0)xx(n 1)!1!2!n!在 0 与 x 之间 .常见函数的麦克劳林公式：1） ex1 x1 x21 xnexn 12!n!(n 1)!在 0与 x 之间，x；2）x3x5x7x 2m 1sin(2m 1)2 x2sin x x5!( 1) m 1(2m 1)!3!7!(2m

8、1)!在 0 与 x 之间，x；3）cosx 1x2x4x6( 1) m 1x2 m 2cos2m2 x2 m2!4!6!(2m 2)!( 2m)!在 0与 x 之间，x；4）ln(1 x) xx2x3x4( 1) n 1 xn( 1)n xn 1234n(n 1)(1 ) n 1在 0 与 x 之间，1x 15）(1 x) 1 x( 1) x2 (1)(2) x3( 1) ( n2!3!n!(1) (n)(1 ) n 1xn 1(n1)!，在 0 与 x 之间，1x1 .（四） 单调性及极值1、单调性判别法：则 若 f (x)f ( x)C a, b ， f ( x)0 ， 则f (x) 单

9、 调 增D(a, b) ，加；则若f (x)0 ，则 f (x) 单调减少。2、极值及其判定定理：a) 必要条件： f (x) 在 x0 可导，若 x0 为 f (x) 的极值点，则 f ( x0 )0 .b) 第一充 分条件 ： f (x) 在 x0 的邻域内可 导， 且 f ( x0 ) 0 ，则 若当 x x0 时， f ( x) 0 ，当x x0 时， f (x) 0 ，则 x0 为极大值点；若当x x0 时， f (x) 0 ，当 x x0 时， f (x) 0 ，则 x0 为极小值点；若在 x0 的两侧 f ( x) 不变号，则 x0 不是极值点。c) 第 二充分条 件： f (x

10、) 在 x0 处 二阶 可导 ，且f ( x0 ) 0 ， f( x0 ) 0 ，则 若 f( x0 )0 ， 则 x0 为 极 大 值 点 ； 若f ( x0 ) 0，则 x0为极小值点。3、凹凸性及其判断，拐点1）f (x)在区间I上连续，若x1 , x2I ,f ( x1x2 )f ( x1 )2f (x2 ) ，则称 f ( x) 在区间2I上的图形是凹的；若x1 , x2 I , f ( x1 x2 )f (x1 ) f ( x2 )，则称 f ( x) 在区间22I 上的图形是凸的。2）判定定理： f (x) 在 a,b 上连续，在 (a, b) 上有一阶、二阶导数，则a) 若x(

11、a, b), f( x)0,则 f (x)在 a, b 上的图形是凹的；b) 若x(a, b), f( x)0,则 f (x)在 a, b 上的图形是凸的。3）拐点：设 yf (x) 在区间 I 上连续， x0 是 f (x) 的内点，如果曲线 yf ( x) 经过点 ( x0 , f ( x0 ) 时，曲线的凹凸性改变了，则称点 ( x0, f ( x0 ) 为曲线的拐点。（五） 不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）。（六） 方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、 Rolle定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、 凹凸性。（七） 渐近线limf (

12、 x)，则 xa 为一条铅直渐1、 铅直渐近线： x a近线；2、 水平渐近线：lim f (x)b ，则 yb 为一条水平渐x近线；3、 斜渐近线： limxf ( x)k lim f ( x)kx b 存在，xx则 y kx b 为一条斜渐近线。（八） 图形描绘步骤 :1. 确定函数 y f (x) 的定义域，并考察其对称性及周期性；2. 求 f ( x), f ( x) 并求出 f (x) 及 f (x) 为零和不存在的点；3. 列表判别函数的增减及曲线的凹向 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 ;5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .第四章不定积分（一） 概念和性质1、原 函数

13、：在区 间I 上 ， 若函 数 F (x) 可 导 ，且F (x)f (x) ，则 F (x) 称为 f (x) 的一个原函数。2、不定积分：在区间I 上，函数 f (x) 的带有任意常数的原函数称为f (x) 在区间 I 上的不定积分。3、基本积分表（ P188 ，13 个公式）；4、性质（线性性）。（二） 换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：f (x)( x)dxf (u)du u( x)2、第二类换元法（变量代换）：f (x) dxf (t )(t )dt1( x)t（三） 分部积分法：udvuvvdu（四） 有理函数积分1、“拆；”2、变量代换（三角代换、倒代换等） 。第五章定积分（

14、一） 概念与性质：bn1、 定义： af ( x)dxlimf ( i )xi0i 12、 性质：（7 条）性质 7（积分中值定理）函数 f (x) 在区间 a,b 上连续，bf ( x)dxf ( )( ba) （平均值：则 a,b ，使 abf ( x) dxf ( )a）ba（二） 微积分基本公式（ NL 公式）x( x) f (x)1、 变上限积分：设( x)f (t )dt ，则a推广：d( x )f ( x)( x)f ( x)( x)dxf (t)dt( x )2、 NL公式：若 F ( x) 为 f ( x)的一个原函数，则bF (b)F ( a)f ( x) dxa（三） 换

15、元法和分部积分b1、 换元法： af ( x)dxf (t)(t) dtbuv abb2、 分部积分法：audvavdu（四） 反常积分1、 无穷积分：f ( x) dxlimtf ( x) dxatabf ( x) dxlimbtf ( x) dxtf ( x) dx0f ( x)dxf ( x) dx02、 瑕积分：bbaf ( x ) dxlimtf ( x ) dx （a 为瑕点）tabf ( x )dxlimtf ( x) dx （b 为瑕点）aatb两个重要的反常积分：dx,p1a1p1)ax p, p1p1(ba)1 q1bdxbdx, q1q2)a ( xa)qa (bx)q,

16、q1第六章定积分的应用（一） 平面图形的面积b2 ( x) f1 ( x) dx1、 直角坐标： A fa2、 极坐标： A122()12 ( ) d2（二） 体积1、 旋转体体积：a)曲边梯形 yf ( x), xa, xb, x 轴，绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积： V xb2 ( x) dxfab)曲边梯形 yf ( x), xa, xb, x 轴，绕 y 轴旋转而 成的旋 转 体 的 体积 ： V yb2 xf ( x) dxa（柱壳法）2、 平行截面面积已知的立体： VbA( x) dxa（三） 弧长1、 直角坐标： s2、 参数方程： s3、 极坐标： sbf( x )2 dx1

17、a( t )2( t )2 dt() 2( )2 d第七章微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程。阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。2、 解：使微分方程成为恒等式的函数。通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同。特解：确定了通解中的任意常数后得到的解。（二） 变量可分离的方程g( y)dyf (x)dx ，两边积分g( y)dyf ( x)dx（三） 齐次型方程dyyydx( x ) ，设 u xdxxx或 dy( y ) ，设 v y，则，则dyux dudxdx ；dxvy dvdydy（四） 一阶线性

18、微分方程dyP( x) y Q( x)dx用常数变易法或用公式：y eP( x)dxP( x) dxQ( x)edx C（五） 可降阶的高阶微分方程1、 y(n)f (x) ，两边积分 n 次；2、 yf ( x, y )（不显含有 y ），令 yp ，则 yp ；3、yf ( y, y )（不显含有 x ），令 yp ，则 yp dpdy（六） 线性微分方程解的结构1、 y1, y2 是齐次线性方程的解，则C1 y1C2 y2 也是；2 、 y1, y2 是 齐次线 性 方程的 线性 无 关的 特 解， 则C1y1 C2 y2 是方程的通解；3 、 y C1 y1 C2 y2y*为非齐次方程的通解，其中y1 , y2 为对应齐次方程的线性无关的解， y* 非齐次方程的特解。（七） 常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：ypyqy0特征方程： r 2pr q0 ，特