高等数学下册知识点

1、高等数学下册知识点第七章空间解析几何与向量代数一、填空与选择1、已知点 A(3,2,1)和点 B(7,2,3) ，取点 M 使 AM2MB ，则向量 OM =。2已知点 A(0,1,2) 和点 B(1,1,0) ，则 AB 0=。3、设向量 a 与三个坐标面的夹角分别为,，则 cos2cos2cos2=。4、设向量 a 的方向角,为锐角，且 a4 ，则 a =。35、向量 a (7, 2,5) 在向量 b(2,2,1) 上的投影等于。6、过点 P 1， 2，1 且与直线 xt 2， y 3t4， zt1 ，垂直的平面方程为 _ 7、已知两直线方程是L1: x 1y2z3 ， L2 : x2y1

2、z ，则过 L1且平行 L2的平面方101211程为 _8、 设直线 L1 : x1y5z 8 , L2 :xy60，则 L1与 L2的夹角为（）2 yz31210（ A）6（B）（ C）（D） 4329、平面 Ax ByCzD0过 x 轴，则（）（A） AD0（B） B0, C0（C） B0,C0（D） BC010 、平面3x5z10 （ ）（ A）平行于 zox 平面 （B ）平行于 y 轴（ C）垂直于 y 轴 （ D）垂直于 x 轴11 、点 M (1,2,1) 到平面 x2 y2z100 的距离为（）（A）1 （B） 1（C）1 （D） 1312 、与 xoy 坐标平面垂直的平面的一

3、般方程为。13 、过点 (1,2,1) 与向量 S1i2j3k , S2jk 平行的平面方程为。14 、平面 19x4 y8z210 和 19 x 4 y8z420 之间的距离等于。15 、过点 ( 0,2,4) 且与平面 x 2z1及 y3z 2都平行的直线方程为。16 、过点 ( 2,0,3)x2 y4z70并与3x垂直的平面的方程为。5y 2z 1 0二、完成下列各题1、设 OCa13b, OB2a8b,OC(ab) 与 b 是不平行的非零向量，求的值， 使 A、B、C三点在同一直线上。2、已知不平行的两向量a 和 b ，求它们的夹角平分线上的单位向量。3、设点 A(1,0,1) 为矢量

4、AB 的起点， AB10, AB 与 x 轴、 y 轴的夹角分别为60 ,45 ，试求：（ 1） AB 与 z 轴的夹角 v ；（ 2 ）点 B 的坐标。4 、求与向量a 2i j2k 共线且满足 a x18 的向量 x 。5 、若平面过x 轴，且与xoy 平面成 30 的角，求它的方程。第八章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设a( ax ,ay , az ) ， b(bx ,by ,bz ) ，则a b (a

5、xb , ayb , azb ) ,a ( ax , ay , az ) ；xyz5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：rx2y2z2；2）两点间的距离公式：AB( x2x1 )2( y2y1 )2(z2 z1)23）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,4）方向余弦： cosx , cosy , coszrrrcos2cos2cos215）投影： Pr ju aa cos，其中为向量 a 与 u 的夹角。（二）数量积，向量积1、数量积： abab cos） aa21a2） abab0a b a x bxa y b ya zb z2、向量积： cab大小：absin，方向： a , b

6、 , c 符合右手规则1） aa02） a / bab0ijkabaxayazbxbybz运算律：反交换律baab（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念：S : f ( x, y, z)02、旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f ( y, z)0 ，绕 y 轴旋转一周：f ( y,x 2z 2 )0绕 z 轴旋转一周：f (x 2y 2 , z)03、柱面：F ( x , y )0F ( x, y )0 表示母线平行于 z 轴，准线为的柱面z04、二次曲面x2y1）椭圆锥面： a2b22 z 2x 2y 2z 212）椭球面：a 2b 2c 2x2y 2z21旋转椭球面： a2a 2c 2x

7、2y 2z213）单叶双曲面：a 2b 2c 2x 2y 2z214）双叶双曲面：a 2b 2c 2x2y2z5）椭圆抛物面： a2b 2x 2y 26）双曲抛物面（马鞍面） ： a 2b 2x 2y 217）椭圆柱面：a 2b 2x 2y 218）双曲柱面：a 2b 29）抛物柱面：x2ay（四）空间曲线及其方程z1、一般方程：F ( x , y , z)0G ( x , y , z)0xx ( t )xa cos t2、参数方程：yy ( t ) ，如螺旋线：zz ( t )3、空间曲线在坐标面上的投影F ( x, y , z)0ya sintzbtH ( x, y )0，消去 z ，得到

8、曲线在面 xoy 上的投影G ( x, y , z)0z0（五）平面及其方程1、点法式方程：A( xx0 )B ( yy0 ) C ( z z0 ) 0法向量： n( A, B, C) ，过点 ( x0 , y0 , z0 )2、一般式方程：AxByCz D0xyz1截距式方程： abc3、两平面的夹角： n1( A1 , B1 ,C1 ) ， n2(A2,B2,C2) ，cosA1 A2B1 B2C1C2A2B2C 2A2B2C211122212A1 A2B1B2C1C20/A1B1C112A2B2C24、点 P0 ( x0 , y0 , z0 )到平面 Ax By Cz D0 的距离：dA

9、x0By0 Cz0DA2B2C2（六）空间直线及其方程A1 x B1 y C1 z D101、一般式方程：0A2 x B2 y C 2 z D 22、x x0y y0z z0对称式（点向式）方程：mnp方向向量： s(m,n, p) ，过点 ( x0 , y 0 , z0 )xx0mt3、参数式方程：yy0ntzz0pt4、两直线的夹角： s1( m1 , n1 , p1 ) ， s2( m2 , n2 , p2 ) ，cosm1m2n1n2 p1 p2m2n2p2m2n2p2111222L1L2m1m2n1n2p1 p20L1 / L2m1n1p1m2n2p25、直线与平面的夹角：直线与它在

10、平面上的投影的夹角，sinAmBnCpA 2B 2C 2m2n 2p 2L /AmBnCp0LABCmnp第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：zf ( x, y) ，图形：3、极限：limf ( x, y)A( x, y )( x0 , y0 )4、连续：limf ( x, y)f ( x0 , y0 )( x, y )( x 0 , y0 )5、偏导数：f x ( x0 , y0 )limf ( x0x, y0 )f ( x0 , y0 )xx0f y ( x0 , y0 )lim

11、f ( x0 , y0y)f ( x0 , y0 )yy06、方向导数：ff cosfcos其中,为 l的方向角。lxy7、梯度： zf ( x, y) ，则 gradf (x0 , y0 )f x ( x0 , y0 )i f y ( x0 , y0 ) j 。8、全微分：设zf (x, y) ，则 dzz dxz dyxy（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：12偏导数连续函数可微偏导数存在充分条件必要条件4定义23函数连续2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法ux1）定义：2）复合函数求导：链式法则z若，则vyzzuz

12、vzzuzvxuxvx，yuyvy3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数 zf ( x, y) 的极值f x0解方程组f y0 求出所有驻点，对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，令A f xx (x0 , y0 ) ， Bf xy (x0 , y0 ) ， Cf yy (x0 , y0 ) ，若 ACB 20 ， A0 ，函数有极小值，若 ACB20 ， A0 ，函数有极大值；若 ACB 20 ，函数没有极值；若 ACB 20 ，不定。2）条件极值：求函数 zf ( x, y) 在条件 ( x, y)0 下的极值令： L( x, y)f ( x

13、, y)(x, y) Lagrange 函数Lx0解方程组Ly0( x, y)02、几何应用1）曲线的切线与法平面xx ( t )曲线: yy (t ) ，则上一点 M (x0 , y0 , z0 ) （对应参数为t0 ）处的zz(t )x x0yy0z z0切线方程为：x (t0 )y (t0 )z (t0 )法平面方程为：x (t 0 )( xx0 )y ( t 0 )( y y0 )z ( t0 )( z z0 ) 02）曲面的切平面与法线曲面: F ( x , y , z )0 ，则上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为：Fx ( x0 , y0, z0 )(xx

14、0 )Fy ( x0, y0 , z0 )( yy0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0xx0yy0zz0法线方程为： Fx( x , y0, z )Fy( x , y0, z )Fz( x, y0, z0)00000第十章重积分（一）二重积分n1、定义：f (x, y) dlimf ( k , k ) kD0k 12、性质：（ 6 条）3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1）直角坐标D( x, y)1 (x)y2 (x)，axbf ( x, y)dxdybdx2 ( x )af ( x,y)d yD1 ( x)D( x, y)1 ( y)x2 ( y)，cydf (

15、 x, y)dxdyd2 ( y)dyf ( x,y)d xDc1 ( y)2）极坐标D( , )1 ( )2 ()f (x, y)dxdyd2 ()cos,sin)1 ()f (D（二）三重积分n1、定义：f ( x, y, z) d vlimf (k ,k ,k )01k2、性质：3、计算：1）直角坐标f ( x, y,z) d vd xd yz2 ( x, y)f ( x, y, z) dzDz1 (x , y)bdvk- “先一后二 ”f ( x, y, z) d vd zf (x, y, z) d xd y- “先二后一 ”aDZ2）柱面坐标xcosysinf (x, y, z)d

16、vf ( cos ,sin , z) d d dz，zz3）球面坐标xr sincosyr sinsinzr cosf (x, y, z)d vf (r sin cos ,r sin sin , r cos )r 2 sin drd d（三）应用曲面 S: z f ( x, y) , (x, y)D 的面积：AD1 ( z)2( z )2 d x d yxy第十一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分n1、定义：f ( x, y)dslimf ( i , i ) siL01i2、性质：1） f ( x, y)( x, y)dsf ( x, y)dsg(x, y)ds.LLL2）f ( x,

17、 y)dsf ( x, y)dsf (x, y)ds. ( LL1 L2 ).LL1L23）在 L 上，若 f (x, y)g( x, y) ，则Lf (x, y)dsg( x, y)ds.L4）Ldsl ( l为曲线弧L的长度)3、计算：x(t ),设 f ( x, y) 在 曲 线 弧 L 上 有 定 义 且 连 续 ， L的参数方程为(t)，其中y(t ),(t),(t ) 在 , 上具有一阶连续导数，且2 (t )2 (t )0 ，则Lf ( x, y)dsf (t),(t)2 (t)2 (t )d t, ()（二）对坐标的曲线积分1、定义：设L 为 xoy 面内从 A 到 B 的一条

18、有向光滑弧，函数P ( x, y )， Q ( x, y ) 在 L 上有界，定n义LP( x, y ) d xlimP (k , k )xk ，0k 1nQ ( x, y )d y limQ (k ,k )yk .L0k 1向量形式：LFd rP( x, y)dxQ( x, y) d yL2、性质：用 L表示 L 的反向弧, 则F (x, y)drF ( x, y)drLL3、计算：设 P(x, y) , Q (x, y) 在有向光滑弧L 上有定义且连续 ,L 的参数方程为x(t ),(t :)，其中(t),(t)在 ,y上 具 有一阶连续导数，且(t ),2 (t )2 (t )0 ，则P

19、( x, y)d xQ ( x, y )d y P(t ),(t )(t )Q(t ), ( t)( t )dtL4、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为 L：x(t )L 上 点 ( x, y) 处 的 切 向 量 的 方 向 角 为 ：y，, ，(t )cos(t)， cos(t )2 (t)2 (t)，2 (t )2 (t )则LPdxQdy( P cosQ cos)ds .L（三）格林公式1、格林公式：设区域D 是由分段光滑正向曲线L 围成，函数 P( x, y) ,Q( x, y) 在D 上具有连续一阶偏导数, 则有QP dxd yPdxQd yxyDL2、 G 为一个单连通区

20、域，函数P(x, y) ,Q(x, y) 在 G 上具有连续一阶偏导数，则QPPdx Qdy 在 G 内与路径无关xy曲线积分L曲线积分PdxQdy0LP( x, y) dxQ( x, y) d y 在 G 内为某一个函数u( x, y) 的全微分（四）对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数f (x, y, z) 是定义在上的一个有界函数，n定义f (x, y, z) dS lim f (i ,i , i ) Si0i 12、计算：“一单二投三代入 ”: zz( x, y) ， ( x, y)Dxy ，则f ( x, y, z) dSf x, y, z(x, y) 1zx2 ( x, y

21、)D x y（五）对坐标的曲面积分1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、定义：设为 有 向 光 滑 曲 面 ， 函 数 P( x, y, z), Q(x, y, z), R( x, y, z) 是 定 义 在nR( x, y, z)d xdylimR(i , i,i )(Si ) xy01in同理，P (x, y, z)d ydzlimP(i,i,i )(Si ) yz01inQ(x, y, z)d zdxlimR(i ,i,i)(Si )zx0i 13、性质：1）12 ，则PdydzQdzdxRdxdyzy 2 ( x, y) dxd y上的有界函数，定义Pdydz Qdzdx

22、RdxdyPdydz Qdzdx R dxdy122）表示与取相反侧的有向曲面, 则R d xdyR d xdy4、计算：“一投二代三定号 ”: zz( x, y) ， (x, y)Dxy ， zz( x, y) 在 Dxy 上具有一阶连续偏导数，R(x, y, z) 在上连续，则R( x, y, z)d xdyR x, y, z( x, y)dxdy , 为上侧取“ + ，”为下侧取“ - ”.Dx y5、两类曲面积分之间的关系：Pd ydz QdzdxRdxd yPcosQcosRcos d S其中, ,为有向曲面在点 ( x, y, z) 处的法向量的方向角。（六）高斯公式1、高斯公式：

23、设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成 ,的方向取外侧 , 函数 P, Q, R 在上有连续的一阶偏导数 , 则有PQRd x d yd zP d y d zQ d zd xRdx d yxyz或PQRd x d y d zPcosQcosRcosd Sxyz2、通量与散度通量：向量场 A(P,Q, R) 通过曲面指定侧的通量为：Pd ydzQdzd xRd xd y散度： divAPQRxyz（七）斯托克斯公式1、斯托克斯公式：设光滑曲面的 边 界是分段光滑曲线,的 侧 与的正向符合右手法则,P(x, y, z),Q( x, y, z), R(x, y, z) 在包含在内的一个空间域内具有连续

24、一阶偏导数, 则有R Q d y d zPR d zd xQP d xd yP d x Qd y Rd zyzzxxy为便于记忆 ,斯托克斯公式还可写作:d y d z d zd x d x d yxyzP d x Q d yRd zPQR2、环流量与旋度环流量：向量场 A(P,Q, R) 沿着有向闭曲线的环流量为P d x Q d yRd z旋度： rotARQPRQPyz,x,yzx第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：unu1u2u3unn1n部分和： Snuku1u2u3un ，k 1正项级数：un ， un0n1交错级数：(1) n un ， un0n12）级数收敛

25、：若lim SnS存在，则称级数un 收敛，否则称级数un 发散nn 1n 13）条件收敛：un 收敛，而un发散；n 1n1绝对收敛：n 1un收敛。2、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数an ，bn收敛，则(anbn ) 收敛；n1n 1n13）级数an 收敛，则任意加括号后仍然收敛；n14）必要条件：级数un收敛lim un0 .（注意：不是充分条件！ ）n1n3、审敛法正项级数：n 1un ， un01）定义： lim SnS存在；n2）un 收敛Sn有界；n13）比较审敛法：n1un ，vn为正项级数，且 unvn(n1,2,3,)n 1若vn 收敛，则un 收敛；若u

26、n 发散，则vn 发散 .n1n 1n 1n14）比较法的推论：un ，vn为正项级数，若存在正整数 m ，当 nm 时，unkvn ，而vnn 1n1n 1收敛，则un 收敛；若存在正整数m ，当 nm 时， unkvn ，而vn 发散，则un 发散 .n1n 1n 15）比较法的极限形式：un ，vn 为正项级数， 若 lim unl(0l) ，而vn 收敛，n 1n1nvnn 1则un 收敛；若 lim un0 或 lim un，而vn 发散，则un 发散 .n1nvnnvnn 1n16）比值法：un 为正项级数，设lim un 1l，则当l 1时，级数un 收敛；则当 l 1时，级nu

27、nn 1n1数un 发散；当 l1时，级数un可能收敛也可能发散 .n1n 17）根值法：un为正项级数，设lim n unl ，则当 l1时，级数un 收敛；则当 l1时，级n1nn1数un 发散；当 l1时，级数un 可能收敛也可能发散 .n1n 18）极限审敛法：un 为正项级数，若lim n un0 或 lim n un，则级数un 发散；若n 1nnn 1存在 p1，使得 lim n p un l(0l) ，则级数un 收敛 .nn 1交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：( 1)n un ， un0 满 足 ： uun(n 1,2,3, ) ， 且n 1n 1lim un0 ，则级数( 1)n un 收敛。nn1任意项级数：un 绝对收敛，则un