第一章数学建模概论

1、数学建模概论数学建模概论 浙江大学数学建模实践基地浙江大学数学建模实践基地 数学模型数学模型（Mathematical Model） 是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 数学建模数学建模（Mathematical Modeling） 应用知识从实际课题中抽象、提

2、炼出数学模型的过程。应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。1.1 例例（万有引力定律的发现万有引力定律的发现 ） 十五世纪中期十五世纪中期 ，哥白尼哥白尼 提出了震惊世界的提出了震惊世界的 日心说日心说。 丹麦著名的实验天文学丹麦著名的实验天文学 家家第谷第谷花了二十多年时间花了二十多年时间 观察纪录下了当观察纪录下了当 时已发现的五大时已发现的五大 行星的运动情况行星的运动情况 。 第谷的学生和助手第谷的学生和助手 开普勒开普勒对这些资料进行了九年时对这些资料进行了九年时间的分间的分 析计算后析计算后 得出著名的得出著名的Kepler三定律三定律。 牛顿牛顿根据开普勒三定律和牛顿第

3、二定律，利用微积分根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律万有引力定律。1.行星轨道是一行星轨道是一 个椭圆，太个椭圆，太 太阳位于此椭圆的一个焦太阳位于此椭圆的一个焦 点上。点上。 2.行星在单位时间内行星在单位时间内 扫过的扫过的 面积不变。面积不变。3.行星运行周期的平方正比行星运行周期的平方正比 于椭圆长半轴的三次方于椭圆长半轴的三次方 ， 比例系数不随行星而比例系数不随行星而 改变改变 （绝对常数）（绝对常数）开普勒三大定律开普勒三大定律 这其中必这其中必 定是某一定是某一 力学力学规律规律 的反映，哼哼，我的反映，哼哼

4、，我 要找出它。要找出它。 如图，有椭圆方程如图，有椭圆方程 :cos1 eprdrdA221矢径所扫过的面矢径所扫过的面 积积A的微分为的微分为:由开普勒第二定由开普勒第二定 律律:wrdtdA221常数常数立即得出立即得出:wrwrrwrdtd222)(0即即:02wrwr椭圆面积椭圆面积wTrdtdtdAabT2021由此得出由此得出Tabwr22常数常数简单推导如下：简单推导如下：行星行星r太阳太阳()dwdt我们还需算出行星的加速度，为此需要建立我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标

5、原点，沿长轴方向的单位向量记沿长轴方向的单位向量记 为为i,沿短轴方向的单位向量记沿短轴方向的单位向量记 为为j，于是：，于是：jir sinrcosr 进而有进而有 加速度加速度cossin)(2(sin)(cos()sinr(dtd)cosr(dtd22222)jijijira wrwrrwr以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是量分别是jiejie cossinsincos r , 因此得出因此得出rrwrea)(2 由于由于02wrwr也就是说行星的加速度为也就是说行星的加速度为rrTaea223214由开普勒第三定律知

6、由开普勒第三定律知23/Ta为常数。若记为常数。若记2324MTaG那么就导出著名的那么就导出著名的 万有引力定律：万有引力定律：再将椭圆方程再将椭圆方程 )cos1 (erp两边微分两次，得两边微分两次，得0)(1)(2232 wrrrprwr将前面得到的结果将前面得到的结果和焦参数和焦参数代入，即得代入，即得22322rTarwr14 Tabwr22abp2rrMmGFe2 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的

7、分析计对资料的分析计 算，算， 找出起主要作用的因素，经必找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即即建立数学模型。建立数学模型。 4.模型求解。模型求解。 5.模型的分析与检验。模型的分析与检验。 在难以得出解析解时，也在难以得出解析解时，也应当借助应当借助 计算机计算机 求出数值求出数值解。解。 实体信实体信息息(数据数据)假设假设建模建模求解求解验证

8、验证应用应用对某个实际问题对某个实际问题了解的深入程度了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特模型中变量的特征征连续型模型、离散型模型或确定性连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等模型、随机型模型等建模中所用的数建模中所用的数学方法学方法初等模型、微分方程模型、差分方初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等程模型、优化模型等研究课题的实际研究课题的实际范畴范畴人口模型、生人口模型、生 态系统模型态系统模型 、交通、交通流模型、经流模型、经 济模型、济模型、 基因模型等基因模型等数学建模实践的数学建模实践的 每一步中都每一步中都 蕴含

9、着能力上的蕴含着能力上的 锻炼，在锻炼，在调查研究阶段，需调查研究阶段，需 要用到要用到观察能力观察能力、分析能力分析能力和和数据处理数据处理能力能力等。在提出假设等。在提出假设 时，又需要用到时，又需要用到 想象力和归纳想象力和归纳 简化简化能力。能力。 在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作作成为别人研究工作 的的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当

10、学会果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间在尽可能短的时间 内内查到并学会查到并学会我想应用的知识的本领。我想应用的知识的本领。 还需要你多少要有点还需要你多少要有点 创新的能力创新的能力。这种能力不是生来就。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。 开设数学建模课的主要目的为了提高学开设数学建模课的主要目的为了提高学 生的生的综合素质综合素质，增强，增强 应用数学知识应用数学知识 解决实际问解决实际问 题的本领。题的本领。仅最近几年里，我校仅最近几年里，我校学生都在只参加了半学生都在只参

11、加了半年左右的学习和实践年左右的学习和实践后，就在国际性的竞后，就在国际性的竞赛（美国大学生数学赛（美国大学生数学建模竞赛）中交出了建模竞赛）中交出了非常出色的研究论文，非常出色的研究论文，夺得了特等奖兼夺得了特等奖兼INFORMSINFORMS奖奖2 2项（项（19991999年、年、20032003年各一项）、年各一项）、1818项一等奖、项一等奖、1010项二项二等奖的好成绩。等奖的好成绩。例例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人

12、就沿着妻子来接他了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？间？ 似乎条件不够哦似乎条件不够哦 。 换一种想法，问题就迎刃而换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？十分钟时间从何而来？ 显然是由于节省了从相遇点到显然是由于节省了从相遇点到会合点，又

13、从会合点返回相遇点这一会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需段路的缘故，故由相遇点到会合点需开开5分钟。而此人提前了三十分钟到分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。五分钟。 ？例例2 2 某人第一天由某人第一天由 A A地去地去B B地，第二天由地，第二天由 B B地沿原路返回地沿原路返回 A A 地。问：在什么条件下，地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。中的同一时间到达该地。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同

14、假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由一天由B B去去A A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。 （请自己据此给出严格证明）请自己据此给出严格证明） 例例3 3 交通灯在绿灯转换成红灯时，有交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态一个过渡状态亮一段时间的黄灯。亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是

15、什么，不难看设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离离 L。这就是说，在离街口距离为。这就是说，在离街口距离为 L处处存在着一条停车线（尽管它没被画在存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。穿过马路。 马路的宽度马路的

16、宽度 D是容易测得是容易测得 的，问题的关键在的，问题的关键在 于于L的确定。为确定的确定。为确定 L，还应当将，还应当将 L划分为两段：划分为两段：L1和和L2，其中其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程刹车的反应时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动为刹车制动后车辆驶过的路程。后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量

17、最大，是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离。刹车距离 L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来律计算出来 （ 留作习题）留作习题）。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即的车顺利穿过马路，即T 至少应当达到至少应当达到 （L+D）/v

18、。 DL例例4 4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。下这一问题。盘子有大小吗盘子有大小吗 ? ?是什么样的盘子？是什么样的盘子？盘子是怎样洗的盘子是怎样洗的 ? ? 不

19、妨不妨假设假设我们了解到：盘子大小相同，我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后盘子浸泡在热水中，然后 一一清洗。清洗。 不难看出，是水不难看出，是水 的温度在决的温度在决 定定洗盘子的数量洗盘子的数量 。盘子是先用冷水。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还会再用清水洗过的，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为了，而是因为 水不够热了水不够热了。 那么热水为什么会变冷呢？假如那么热水为什么会变冷呢？假如你想建一个较精细的模型，你当你想建一个较精细的模型，你当然应当把水池、空气等吸热的

20、因然应当把水池、空气等吸热的因素都考虑进去，但餐馆老板的原素都考虑进去，但餐馆老板的原意只是想了解一下一池热水平均意只是想了解一下一池热水平均大约可以洗多少盘子，大约可以洗多少盘子， 杀鸡杀鸡 焉用牛刀？焉用牛刀？ 不妨可以提出以下不妨可以提出以下 简化假设简化假设：（1）水池、空气吸热不计，只考虑水池、空气吸热不计，只考虑 盘子吸热，盘子的大小、材料相同盘子吸热，盘子的大小、材料相同（2）盘子初始温度与气温相同，洗盘子初始温度与气温相同，洗完后的温度与水温相同完后的温度与水温相同（3）水池中的水量为常数，开始温水池中的水量为常数，开始温度为度为T1，最终换水时的温度为，最终换水时的温度为 T

21、2（4）每个盘子的洗涤时间每个盘子的洗涤时间 T是一是一个常数。（个常数。（这一假设甚至可以去掉这一假设甚至可以去掉 不要不要）根据上述简化假设，利用热量守根据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板的问题就很容衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，你还应当调查易回答了，当然，你还应当调查一下一池水的质量是多少，查一一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。下瓷盘的吸热系数和质量等。 可见可见 ，假设条件，假设条件 的提出不的提出不 仅和你仅和你 研的研的 问题问题 有关，还和有关，还和 你准备利用哪些知你准备利用哪些知 识识 、准备建立什么样的模型以及你准准备建立什么样的模

22、型以及你准 备研备研究的深入程度有关，即在你提出假设时，究的深入程度有关，即在你提出假设时，你建模的框架已经基本搭好了。你建模的框架已经基本搭好了。 例例5 5 将形状质量相同的砖块一一向右往外将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。以延伸多大距离。设砖块是均质的，长度与重量均设砖块是均质的，长度与重量均 为为1 1，其，其 重重心在中点心在中点1/21/2砖长处，现用砖长处，现用归纳法归纳法推导。推导。 Zn(n1)n(n1)由第由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有：块砖受到的两个力的力矩相等，有： 1/2-Z

23、n= (n1) Zn故故Zn =1/(2n)，从而上面，从而上面 n块砖向右推出的块砖向右推出的总距离为总距离为 ，nkk121112121,时nnknkn 例例6 6 某人住在某公交线附近，该公交线路某人住在某公交线附近，该公交线路为在为在A A、B B两地间运行，每隔两地间运行，每隔 1010分钟分钟A A、B B两两地各发出一班车，此人常在离家最近的地各发出一班车，此人常在离家最近的 C C点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现象：在绝大多数情况下，先到站的总是由象：在绝大多数情况下，先到站的总是由 B B去去A A的车，难道由的车，难道由 B B去去A

24、 A的车次多些吗？请的车次多些吗？请你帮助他找一下原因你帮助他找一下原因由于距离不同，设由于距离不同，设 A A到到C C行驶行驶3131分分钟，钟，B B到到C C要行驶要行驶 3030分钟，考察一分钟，考察一个时间长度个时间长度 为为1010分钟的区间，例分钟的区间，例如，可以从如，可以从 A A方向来的车驶方向来的车驶 离离C C站站时开始，在其后的时开始，在其后的 9 9分钟内到达的分钟内到达的乘客见到先来的车均为乘客见到先来的车均为 B B开往开往A A的，的，仅有最仅有最 后后1 1分钟到达的乘客才见到分钟到达的乘客才见到 由由A A来的车先到。由此可见，如果来的车先到。由此可见，如果此人此人 到到C C站等车的时间是随机的，站等车的时间是随机的，则他先遇则他先遇 上上B B方向来的车的概率为方向来的车的概率为 90%90% 。例例4 4 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑定其所在的方