求轨迹方程的常用方法(例题及变式)

1、求轨迹方程的常用方法:题型一直接法此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件M | P(M )直接翻译成x, y的形式f (x, y) = 0，然后进行等价变换，化简f (x, y) = 0，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外(纯粹性)；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)。例1过点A(2,3)任作互相垂直的两直线 AM和AN，分别交x, y轴于点M, N，求线段MN中点P的轨迹方程。解：设P点坐标为P(x, y)，由中点坐标公式及M,N在轴上得M (0,2y)，N(2x,0)(x,y

2、 R)AM _AN0-3 2y-32x-20-2 一1 (x =1)，化简得 4x 6y -13=0 (x = 1)3当x=1时，M(0,3)，N(2,0)，此时MN的中点P(1, )它也满足方程4x，6y-13=0,2所以中点P的轨迹方程为4x 6y -10 。变式1已知动点M (x,y)到直线丨：x =4的距离是它到点 N (1,0)的距离的2倍。(1) 求动点M的轨迹C的方程；(2) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点。若A是PB的中点，求直线 m的斜 率。题型二定义法圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。例2动圆M

3、过定点P( -4,0)，且与圆C : x2 y2 -8x =0相切，求动圆圆心 M的轨迹方程。解：根据题意| MC | - | MP |=4，说明点M到定点C、P的距离之差的绝对值为定值，故点M的轨迹是双曲线。2a =42 2故动圆圆心 M的轨迹方程为 =1412变式2在厶ABC中，BC =24, AC, AB上的两条中线长度之和为 39,求厶ABC的重心的轨迹方程. 解：以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图1， M为3 12 重心，则有 BM | -|CM39 =26 3二M点的轨迹是以B, C为焦点的椭圆，其中 c =12, a =13 b = .a -c

4、=5 .2 2所求 ABC的重心的轨迹方程为 - y 1(y=0)16925题型三相关点法此法的特点是动点M (x, y)的坐标取决于已知曲线 C上的点(x', y')的坐标，可先用x, y来表示x',y'，再代入曲线 C的方程f(x, y) = 0，即得点M的轨迹方程。例3如图，从双曲线x2 - y2 =1上一点Q引直线x y = 2的垂线，垂足为N，求线段QN 的中点P的轨迹方程分析：从题意看动点 P的相关点是Q , Q在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。解:设动点P的坐标为(x, y)，点Q的坐标为(為孑)，则点N的坐标为(2x ,2yyjN在直线x讨

5、=2上，2x x1 2y - y1 =2 又丁 P Q垂直于直线x y = 2 ,即x _y -力_羽=0由解得3x-ix21y1x2ly-12討1又点Q在双曲线x2 -y2 =1上，.x1 - y, = 1代入，得动点 P的轨迹方程为2x2 -2y2 _2x 2y _仁0变式3已知 ABC的顶点B(_3,0, C(1,0)，顶点A在抛物线=X上运动，求 ABC的重将，代入，得23y =(3x 2) (y =0),心G的轨迹方程.-3 T 亠 x0解：设G(x, y) , A(x0, y。)，由重心公式，得X 3 x0 = 3x 2,-0亍，y0 = 3 y.2 2T A(x0, y°

6、;)在抛物线 y =x 上，y° 二怡.即所求曲线方程是 y =3x? 4x (0) 3题型四参数法选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x,y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程，选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后在选取合适的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。例4已知线段AA2a,直线I垂直平分AA于O，在I上取两点P, P，使有向线段OP,OP，满足OPOP4，求直线AP与AP的交点M的轨迹方程.解：如图2,以线段AA所在直线为x轴，以线段 AA的中垂线为y轴建立直角坐标系.设点 P(0, t)(t =0)

7、,则由题意，得P 0,4 .I t J由点斜式得直线 AP, A P "的方程分别为y =丄(x+a), y='(xa). ata两式相乘，消去t，得4x2 a2y2 = 4a2(y严0).这就是所求点 M的轨迹方程.2变式4设椭圆方程为x2 11，过点M (0,1)的直线I交椭圆于点A, B , O是坐标原点,411 1I上的动点P满足OP (OA OB)，点N的坐标为(一，)，当I绕点N旋转时，求：22 2(1)动点P的轨迹方程；(2) | NP |的最小值与最大值分析：(1)设出直线I的方程，与椭圆方程联立，求出x1 x2, y1 y2，进而表示出点P坐标，用消参法求轨

8、迹方程；（2）将I NP |表示成变量x的二次函数。解：（1）法一：直线l过点M （0,1），当丨的斜率存在时，设其斜率为k，则丨的方程为y =kx T。设A（Xi,yJ， B（X2,y2），由题设可列方程为y = kx 12X2 14将代入并化简得：（4 k2）x2 2kx _3 = 0 ,所以X-IX2 Ly1y2 =2k4 k284 k2于是OP J（5A OB）=（7,J2）=（笃，亠2224+k 4+k设点P的坐标为（x, y），则-k4 k244 k2消去参数k得4x2 y2y =0当直线丨的斜率不存在时，A, B的中点坐标为原点（0,0），也满足方程,所以点P的轨迹方程为4x2

9、y2 - y = 0。法二：设点P的坐标为（x, y），因A（X1,yJ , B（X2, y?）在椭圆上，所以2xh=1 < 42X22宜=142 2 1 2 2一得： x1 -'X2 （y1 _ y2 ） = 041所以（洛 *2）（洛 -X2）（y1 y2）（y1 一 y2）= 04,1y y2当花=x2时，有 x1 x2(y-! y2) - 一 =0 4捲一x2% +x2x =232y1x2% -y2X1 X2将代入并整理得 4x2 y2 _y=0(0,-2),当 =x2时，点A, B的坐标分别为(0,2)、这时点P的坐标为(0,0)，也满足，所以点P的轨迹方程为2x+ 丄16(1 2(y