江苏师范大学高等数学I第二学期练习册.

1、第七章 微分方程一、本章内容小结 3二、典型习题 7第八章空间解析几何与向量代数一、本章内容小结 11二、典型习题 15第九章多元函数微分法及应用一、本章内容小结 19二、 典型习题 23第十章 重积分一、本章内容小结 28二、典型习题 32第十一章曲线积分与曲面积分一、本章内容小结 36二、典型习题 40第十二章无穷级数一、本章内容小结 45二、 典型习题 511第七章微分方程、本章内容小结(一)、微分方程的基本概念1、凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。2、微分方程的解：设函数y二(x)在区间

2、I上有n阶连续导数，如果在区 间I上Fx,(X),(x),(n)(x) =0那么函数y = “X)就叫做微分方程(1)在区间I上的解。(二)、一阶微分方程1、可分离变量的微分方程(1) 、如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy = f (x)dx( 3)的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那末原方程就称为可分离变量的微分方程。(2) 、可分离变量的微分方程的解法：第一步：分离变量，把方程变为g(y)dy = f (x)dx第二步：方程两端同时积分g(y)dy 二 f(x)dx设G(y)和F(x)分别是g(y)和f(x)的原函数，于是有G(y)二 F

3、(x) C(5)(5)式叫做方程g(y)dy = f (x)dx的隐式通解。2、齐次方程(1) 、如果一阶微分方程 史=f(x,y)中的函数f(x, y)可写成1的函数，即dxxf(x, y)=yIX丿则称这方程为齐次方程。、齐次方程的解法：3在f(x,y)二中，弓I进新的函数u =丄，则有y二ux,3二u (x 丿xdxdx从而即分离变量，得u x(u)dx= (u) u dxdu _ dx (u) - u 一 X求出积分后，再以1代替u便得所给齐次方程的通解x3、一阶线性微分方程(1)、定义形如孚 P(x)y =Q(x) dx的方程叫做一阶线性微分方程。如果Q(x)三0，则称为齐次线性方程

4、。(1)如果Q(x) = 0，则称为非齐次线性方程。(2)、齐次线性微分方程的解法宜 P(x)y 二 0dx(2)P(x)dx y两边积分得：In | y F - P(x)dx GP(x)dx 或y 二 Ce (3)、非齐次线性微分方程的解法(常数变易法) 常数变易法1、由方程(2、得P(x)dx y 二 Ce-(x)dx2)令y=C(x)e 代入方程(1、得5.p(x)dxC (x)eQ(x)3)求出c(x)得方程(1)的通解。第二步不必具注意：第一步中的积分一定要积出来，能化简的一定要化简； 体代入。(2) 非齐次线性微分方程的通解_P(X)dx_p(x)dxP (x)dxy =CeeQ(

5、x)e dx(二八高阶微分方程1 、可降阶的高阶微分方程(1) 、y(n)=f(x)型的微分方程解法：n次积分。(2) 、y=f(x, y)型的微分方程设yp，那么y妙=P ，从而方程y = f(x, y)就变为 dxP = f(x, p)这是一个关于x、 p的一阶微分方程。设其通解为P = (x,CJ但是dy，因此又得到一个微分方程dx鱼(g)dx对它进行积分，便得到方程y、f (x, y)的通解y =(x,Ci)dx C2(3) 、y=f(y,y)型的微分方程令yp利用复合函数的求导法则把y化为对y的导数，即-dp dp dydpyp -dx dy dxdy这样方程y J f (y, y

6、)就成为p阶 f(y,P)这是一个关于变量y、p的一阶微分方程。设它的通解为y = p= (y,cj分离变量并积分，便得到方程y = f (y, y )的通解=x C22、二阶常系数齐次线性微分方程形如y py qy = 0其中p、q是常数，则称(1)为二阶常系数齐次线性微分方程。r2 pr q 二 0这个方程叫做方程(1)的特征方程。 r2 pr 0有两个不相等的实根ma时严 py qy =0 的通解：y 二。 c2er2X r2 pr 0有两个相等的实根r时 py* qy =0 的通解：yC2xerx r2 pr 0有一对共轭复根：:i ：(卩=0)时 y；py、qy=0 的通解：y 二

7、Cle1 - C2ecu )x或 y = e：x(C1 cos ： x C2 sin ： x)3、二阶常系数非齐次线性微分方程：目py，qy二f(x)(1) 、f(x)=Pm(x)e%如果f(x)二Pm(x)ex，则二阶常系数非齐次线性微分方程(如(1)1)具有形(4)/ =xkQm(x)ex的特解，其中Qm(X)是与Pm(X)同次的多项式，而k按不是特征方程的根、是特 征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2。(2) 、f (x) =e XR(x)cos，x R(x)sin x型如果f (x) =e必R(x)cos灼x + Pn(x)sinoox，则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

8、可设为y = xkex Rm)(x)cos国 x+ R2) (x)sino x其中Rm)(x)、Rx)是m次多项式，m = maxi,n?，而k按;二i 不是特征 方程的根、或是特征方程的单根依次取 0或1。二、典型习题1、求微分方程(x2 T)y：2xy=4x2的通解。V 12、求微分方程y-的通解x x23、求微分方程巴二沁的通解dx x x3 x t24、已知连续函数f (x)满足f (x)二n f ( )dt e2x ,求f (x) 035、求微分方程dy .0的通解6、求微分方程y + 丫 = 满足y X=0的特解。xx-1，求 :(x)X7、设可导函数申（x）满足：申（x）cosx

9、 +2貯（t）si ntdt = x8、求微分方程y ” - y - 2 y = 2 x的通解.9、微分方程 厂-27申的特解y*的形式是10、求微分方程y ” y - 2 y = 0的通解11、已知二阶线性常系数齐次微分方程的通解为ex C1 cos2x - C2 sin 2 x，贝U该方程为.12、求微分方程y-y二ex的通解.=0，y x a = 2的特解为y =13、微分方程xy + y = 0 ,满足y x14、微分方程y ” - 5 y ： 6 y = 2 xe2 x的待定特解应设为 15、求微分方程y 3 y =3x的通解.16、求微分方程y“_4y：4y=0的通解。17、求方程

10、汙哼3满足初始条件s4、仏2的特解。18、求微分方程丁 -2申5y =0的通解19、求微分方程y - 5y 6y = x e2x的通解.12第八章空间解析几何与向量代数一、本章内容小结（一）、向量代数1、向量的线性运算1）向量的加法的运算律（1 ）交换律：a b = b a（2）结合律：（a b） c = a （b c）2）向量加法的坐标计算公式*lra b 二a* bx by bza - b =ax - bx,ay - by,az _bz3）向量与数的乘法向量a与实数的乘积记作 a，规定-a是一个向量，它的模| a | a |，它的方向当0时与a相同，当 ：0时与a相反。当 =0时，|乜|=

11、0，即a为零向量，这时它的方向可以是任意的 向量与数的乘积符合下列运算规律：结合律（咕）=.a）=（）a分配律 (HL)a Vaa (a b)二 a b坐标计算公式: a = -ax, ay, az定理1设向量a = 0，那末，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯 一的实数，使b二a。或bxbyazax以两点A（x1, y1, z1）和B（X2,y2,Z2）为端点的有向线段 AB的-分点M的坐2、向量的模、方向角、投影向量 r =(x,y,z)，则 2互相平行或重合AA2B1C1B2C2（五）空间直线及其方程1、空间直线的一般方程Ax + B+ Gz + D1 = 0A2x + B2y +C

12、2z + D2 = 02 、空间直线的对称式方程与参数方程已知直线L上一点M0（X0,y,Z0）及直线的方向向量s = （m, n, p）,直线的方程为：X - X。二 y - y = z - Zo( 2)mnpx = x0mty = yont(3)z = z。pt3、两直线的夹角设直线Li和L2的方向向量依次为$二m,厲，pd和S2二m,门2, P2,那末Li和L2的夹角可由COS ;：| mm +2 + Pi p2 |m； n；p；m； n；p；(4)19#来确定两直线L1和L2互相垂直相当于 gm? n1 n2 口 p2 =0 （ 6 _ n）两直线Li和L2互相平行或重合相当于 旦=比

13、二旦（si |s2）m2门2P24 、直线与平面的夹角设直线的方向向量为s =m,n, p，平面的法线向量为n =A,B,C，直线与平面的夹角可由刖：|Am Bn Cp|*A2 + B2 +C2 m2 + n2 + p2来确定。5 、通过已知直线的平面束设直线L的方程为Ax + Bw+ChD0，则经过直线L的平面束方程Ax + B2y+C2z+D2 =0为：(A A2)x (B B2)y (G C2)z Dj D2 = 0或（A2A）x （B2B1）y （C2CJz D2Dj =0二、典型习题1、下列向量中，为单位向量的是（）。a、i j k; b、i j ；C、j k ； d、- j。2、母

14、线平行于z轴的柱面一般方程为（）。A、F(x, y)=0;B、F(y,z) =0;C、F(x,z) =0 ；D、F(x, . y2 z2) = 0。TT3、设向量a = (1,2,3)与bA 4；B. -4；=(2, - m,6)平行，则 m=(C. 10；).a与b的夹角为（TT4、设 a = ( -1,1,2),b = (2,0,1)，则向量31D.25、已知两点 A(1,2,3), B(3,3,2)，则 AB_ 1 16、 已知向量a =（m,5,-1）与b =（3,1,）平行，则m=57、 两个非零向量 a与b垂直的充要条件是 。2 2x z8、双曲线 2 =1绕x轴旋转一周所生成的旋

15、转曲面为 a c9、点（1，2，1）到平面x 2y 2z -10 =0的距离是10、求过点（0,2,4）且与两平面x 21和y - 3z = 2平行的直线方程。方向余弦和方向11、已知两点M1（2,2,、,2）和M2（1,3,0），计算向量 M1M2的模、 角。2012、设点A位于第I卦限，向径OA与x轴、y轴的夹角依次为和壬，且0A-6 , 求点A的坐标。13、已知三角形ABC的顶点分别为A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形的面 积。2 214、将xOz坐标面上的双曲线 笃-务=1分别绕x轴和z轴旋转一周，求所生成a c的旋转曲面的方程。15、一平面通过两点M1(1

16、,1,1)和M2(0,1,-1)且垂直于平面x y z = 0求它的方程。16、求与两平面x -4z = 3和2x - y - 5z = 1的交线平行且过点(-3,2,5)的直线的方程2117、求过点（1,-2,4）且与平面2x_3y z-4 =0垂直的直线的方程。22第九章多元函数及其应用一、本章内容小结（一）、多元函数的基本概念1 邻域、内点、开集、边界点、区域、开区域、闭区域、有界点集、无界 点集、有界闭区域、无界闭区域。2 .定义1 （二元函数的定义）定义域、自变量、因变量、值域、三元函数、多元函数、单值、多值函数3 .定义2 （二元函数极限的定义）4 .定义3 （二元函数连续的定义）

17、5 .性质1 （最大值和最小值定理）6 .性质2 （介值定理）（二）、偏导数1. 偏导数的定义fx(xo,y) = l.mf (Xo ：x, yo) - f (Xo, yo)Axfy(x, y) = iymDf (xo, yo：y) - f (xo, yo)2. 二兀函数z = f （x, y）在点（xo, yo）的偏导数的几何意义:3. 高阶偏导数f r 、r2d cz c z 1= 2 dxjdx) dx=fxx(x, y),丿 ccy二 fxy(x,y)f-l f-2C I cz c z1 =cxcy J dcx=fyx(X, y),:y(cz czfyy(x, y)定理 如果函数Z =

18、 f （x, y）的两个二阶混合偏导数-2:z及X：- y在区域D内23#连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。（三）、全微分rx1.全微分;,G 、丄 Cz .dz dx dy:x: y注：如果函数z = f（x, y）在点（x, y）可微分，那末这函数在该点必定连续2、函数z = f （x, y）在点（x, y）可微分的充分条件和必要条件:（四）、多元复合函数的求导法则z = f(u,v), u = ：(t), VL- (t)z 二 f ：(t)(t)dz：z dujz dv=+ dt ：u dt:v dt y = f(xX2， x) , N 二 Xi (t) (i=1,2, ,

19、n)dy _ ：f dxi：f dx2 . f dxdtjxi dtdtdt z 二 f(u,v) ,(x, y), vJ (x,y)z 二 f ：(x,y)(x,y)iz: z ； u； z : v= +:x；u；x:v；xLL.LL:z:zru：z:v.r.LL.r.l、:y:u: y:v: y z = f (u,v, w) , u 二(x, y) , v=(x, y) , w=w(x,y)z 二 f (x,y) (x,y),w(x,y):z : z ；:u.:z : wy-：u.:w ;y25#全微分形式不变性设z=f(u,v)，不论u、v是中间变量还是自变量，总有dz -d dvcuc

20、v(五) 、隐函数的求导公式隐函数存在定理1设函数F(X, y)在点P(Xo，y。)的某一邻域内具有连续的偏导数,且 F(Xo，yo)=O，Fy(x, yo) = O,则方程 F(x, y)=0 在点(Xo，y)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y = f (x)，它满足条件f (xo)，并有虬上dx Fy#隐函数存在定理 2 设函数F(x, y,z)在点P(Xo，yo，Z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(xo, yo,zo) = 0 , Fz(xo, yo,Zop- 0，则方程 F(x, y,z)=O 在点(Xo, yo,zo)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续

21、且具有连续偏导数的函数z=f(x, y)，它满足条件z)=f(Xo,yo)，并有:z_zdxFzdyFFz#隐函数存在定理3 设F(x, y,u,v)、G(x, y,u,v)在点P(xo,yo,uo,vo)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又 F(xo,yo，u),vo)， G(xo, yo,uo, voo，且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比式)：F；:u:G.:u千；v:G；v在点P(xo，yo，u,Vo)不等于零，则方程组F (x, y,u,v) = o、G(x, y,u, v) = o 在点#u =u(x, y)，Vo =v(xo, yo)，并有(xo, yo,uo,v。)的某

22、一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数Fx FvFu Fxcu1 C(F,G)GxGvcv1 c(F,G)GuGxexJ c(x, v)FuFvexJ c(u, x)FuFvGuGvGuGvv =v(x, y)，它们满足条件 uo =u(xo,y)，Fy FvFuFycu1 c(F,G)Gy Gvcv1 c(F,G)Gu Gy切J qy,v)FuFv纠J c(u, y)FuFvGuGvGu Gv(六) 、多元函数微分学的几何应用1 空间曲线-(参数方程)：X二(t), y = (t),(t)令MM，即得曲线在点M处的切线方程:y 一 y。(to)Z- Zo(to)法平面方程为：

23、(to)(x -Xo)(to)(y - y)(to)(z-zo) =0。：(to)v =cp ( x)2空间曲线：丿一 I丿X = X化为第1种情况 y=(x)Z(X)3空间曲线r： /(x,y,z0, M(Xo，yo，Zo)是空间曲线上的一点，又设G(x, y,z) =0F、G有对各个变量的连续偏导数，且(F,G)&(y, z) (xo ,yo，Zo)则曲线在点M处的切线方程:FyFzFzFxFxFyGvGz0GzGx0GxGvx Xoy - VoZ - Zo28#4 曲面7 : F(x, y,z)=o在点皿侃小卫)处的切平面方程为Fx(Xo,y,Zo)(x-X。)Fy(Xo,yo,Zo)(

24、y-y。) Fz(x。，y。，Zo)(z - Zo) =o 切线方程为x_Xoy_yoz_ZoFx(Xo,yo,Zo) Fy(Xo,yo,Zo) Fz(Xo,y,Zo)5 .曲面 7 : z = f (x, v)令 F(x,v,z)二 f (x, v) -z即可(七八 方向导数与梯度.定义3(xo,yo)*m f(Xo tcoslo tcE)totf(Xo, Vo)2、定理 如果函数z二f(x, y)在点Po(xo，yo)是可微分的，那末函数f(x,v)在该点沿任一方向I的方向导数都存在，且有cf丄口(xo,yo) = fx(Xo, Vo)cosa + fy(Xo, Vo)cosP cl4.

25、推广.f(x+x, y+Ay,z+Az) f (x,y,z)：l29fCOS Ji:xco -cos：z5 梯度grad f (x,y) =兰i：f :j y函数在某点的梯度是这样一个向量, 致，而它的模为方向导数的最大值。它的方向与取得最大方向导数的方向一推广:fgradf(x，y，Z)=-:y工30#、典型习题二元函数z = In( 12y)的定义域为4#_22、 二元函数 z = In(2 y -3x 1)的定义域为 3、 二元函数 z = In( y -x)的定义域为 。24、 二元函数z = In( y - 3x)的定义域为 。5、(阳,0)xy 1 -1xy#6、sin( xy)y

26、7、lim 牛(x y )2 0 ) xy + y8、设 u 二 2x2 _ y2 z2,贝U 二29、已知 z = x sin2y,求:x2；2Z.x.y10、设 z =xy y 2 215、球面x y z = 14在点(1,2,3)处的法线方程为 ，求一。2311、曲线X = t , y = t ,z = t在点(1,1,1)处的切线方程为12、设 u = sin( ax by )的全微分 du =.13、设 siny ex-xy2。则齐14、函数z二xe2 y在点P (1 ,0)处从点P(1, 0)到点Q ( 2, -1)的方向的方向导数 二3116、已知 z = exy ln(x y)

27、，求:z7:z:x:y17、设 z = x3 y23xy3xy 1 ,求j2z_ 2、;：2z、.2.2. 3二z、二 z及一 z:X.x:y:y:x -：y:x18、z = f ( x, y)在点(x, y)的偏导数 Z , Z连续是f ( x, y )在这点可微的()dx dy条件A .充分;B.必要；C.充分必要；D.不充分也不必要.2 219、求函数 f x, y i；=4 x - y -x - y 的极值.20、求函数 f(x,y)=x2 ，y2 -4x的极值。21、设z W而 yW,求詈.3222、则三二；x23、设 u(x, y ,z)可微，令 x = t.pl.八2t , z

28、= 3t，则矿yrz24、设 z = ln( x)，则2 xcyX=1y=025、曲面z = x2亠y2-1在点(2,1,4)处的切平面方程为26、已知 z = sin( x22y)，求；：2z.x2；：2z.xy27、设 zln( x)，则：z2 x:yx =1y=03428、设：=f (x y z, xyz)可微，令 u 二 x y z,v 二 xyz，则35#29、已知z =5y42 2-4x y ,+ ；：2z求T.r厶x2z:x :y36第十章重积分、本章内容小结(一) 、二重积分1、定义(略)2、二重积分的性质性质 1kf(x, y)d；：,k f(x,y)d二(k 为常数)DD性

29、质 2 f(x, y) 一 g(x, y)d；f (x, y)d .亠 h g(x,y)dcDDD性质 3 I I f (x, y)d f (x, y)d，亠！ I f (x, y)d二DDiD2性质4 二为D的面积，贝U ；- 1 d =d；丁DD性质5如果在D上，f(x, y) (x, y)，则有f (x,y)d . i L (x,y)d匚DD性质6设M、m分别是f (x, y)在闭区域D上的最大值和最小值，二是D的 面积，则有. 11 f (x, y)d； MD性质7(二重积分的中值定理) 设函数f(x,y)在闭区域D上连续，二是D的面积，则在D上至少存在一点，)使得下式成立：.f(x,

30、y)d：； - f(,)-D3、计算方法(1)利用直角坐标计算二重积分1 )积分区域 D :(x 2(x)，axbb (x)b 磅(x)JJf(x,y)db = &x)f(x,y)dydx= dx(x)f(x,y)dy (1)D112 )积分区域D ： -(y)岂xh2(y)， c乞y三dd 巴(y)d 鑒(y).f(x,y)d；：- = c(y)f (x,y)dxdy 二 c dy* f(x,y)dx (2)D113)如果积分区域既是X型又是Y型的，这时观察被积函数先对哪个变量积 分比较容易，以此确定把区域看成 X型还是Y型的，再化为累次积分。4 ）如果积分区域既不是X型又不是Y型的，这时可

31、以利用辅助曲线，把积 分区域划分成几个部分区域，使得每个小区域都是X型或Y型的，再利用二重的 性质，把所求积分化成几个积分分别计算。5 ）如果积分区域关于y轴对称，则有0,f (x,y) = f(x, y)“ f (x, y)db = 2 f (x, y)dcr ,f (_x, y) = f (x, y)DL L-Di其中Di为D在y轴右边的部分。当积分区域关于x轴对称时，有f(x,y)d 二D0 ,=2Hf(x,y)dD2f (x,-y)二 f (x, y) f (x,-y)二 f (x, y)其中D2为D在x轴上方的部分。（2）利用极坐标计算二重积分计算公式：11 f (x, y) d二二

32、f (cos,sin 二)dd 二DD方法步骤:1） 利用公式.I f（x,y）d；- f（，cos=,si把直角坐标下的二重积DD分化为极坐标下的二重积分；2） 画出积分区域，把围成积分区域曲线的方程化为极坐标方程；（在稿纸上 完成）3）根据积分区域的形状，把积分化为累次积分。若积分区域D : ）岂2（二），:一. . 1 . 20则：11 f ( cos6sin 二):d d = _.：(.)f ( cost, sin) dD-1 更一般的方法是：从原点作射线，射线穿入区域的点二十:）作为对积分的下限，特别的，当积分区域包含了原点（或经过原点时）二r（二）=0，射 线从区域中穿出的点一,：

33、）作为对积分的上限；让x轴的正半轴绕原点旋 转，来确定对二积分的上、下限。（二）、三重积分1、定义（略）2、性质与二重积分相似3、计算方法(1)利用直角坐标计算三重积分1) 设积分区域为】：Zi(x,y) z Z2(x, y) , (x, y) Dxy，则Z2 (x,y)(x,y,z)dz)dxdy更一般地，如果 DXy :：i (x) y (x) , a x b，则有b 卑(x)Z2(x,y)f(x,y,z)dv 二 a dx . i(x)dy /,y) f(x,y，z)dz Q如果 Dxy : i(y) x 2(y) , c y d，则有d W(y)Z2(x,y)!jf(x,y,z)dv

34、二。4丫.,乙召(約)f(x,y，z)dz Q2) 设空间闭区域i = ：(x, y, z) |(x, y) Dx,c乞z乞g，其中Dx是竖坐标为z的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域，则有C2川 f (x, y, z)dv = dz JJ f (x, y, z)dxdy QC Dx3) 当积分区域关于xOy面对称时，有2 川 f (x,y,z)dv, f (x,y,z) = f (x,y,z). f(x,y,z)dv=Q0, f (x,y-z) = - f (x, y, z)其中J为门在xOy面上方的部分。当积分区域关于 yOz面及zOx面对称时，有 类似的结论。(2) 利用柱面坐标计算三重

35、积分公式 111 f (x, y, z)dxdydz ：111 f ( cos ：，sin 匕 z) dddzQQ注意1、一般地，当空间闭区域 门在xOy面上的投影为圆(或部分圆)或被积函数中含有x2 y2时，可考虑用柱面坐标求三重积分；注意2、用柱面坐标时，先作出闭区域的大致图形，把闭区域的边界曲面方程化为柱面坐标方程，再把区域向xOy面投影(投影区域的边界用极坐标方程表 示)，在投影区域上任取一点，作平行于 z轴的直线，直线穿入区域的点的竖坐标Z =Z1(,二)作为对z积分的下限，直线穿出点的竖坐标Z = Z2(,、：)作为对z积分的上限。再根据投影区域决定对 r积分的上、下限及对二积分的

36、上、下限。这样把三重积分f(cossind,z)ddFz化为先对z，再对，最后对二的三重积分。(三) 、重积分应用1、曲面的面积(1)(2)(3)A 二 1fx2(x, y)D设曲面设曲面.2-z .dxdyyy=y(x,z)，Dxz为S在zOx面上的投影，则A 二Dxzz加ad0丿、亞)x=x(y,z)， Dyz为S在yOz面上的投影，则A1Dyz_x勿丿+pxfd d+ I dydz辰丿设曲面S : z = f(x,y)，D为S在xOy面上的投影区域，则43#2、质心1、设有一平面薄片，占有 xOy面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为#J(x, y)，假定J(x, y)在D上连续。则

37、!xJ(x, y)d二D.J(x, y)d二Dy(x,y)d 二D.J(x, y)d二#特别地，如果平面薄片是均匀的，则有一 1 xxd二，yyd-A d2、设空间立体占有空间有界闭区域1，在点(x,y,z)处的密度为J(x,y,z)(假定?(x,y, z)在门上连续)，则物体的质心为:#. x?(x,y,z)dvx 二i(x,y,z)dvQ3、转动惯量ill y(x,y,z)dvhi zx, y,z)dv川；：(x,y,z)dvQ川；(x, y,z)dvQ441、设有一平面薄片，占有 xOy面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为丄(x, y)，假定.L(x, y)在D上连续。lx = y

38、2T(x, y)此，ly 二 x2T(x, y)此 DD2、占有空间有界闭区域，在点(x, y,z)处的密度为 珥x, y,z)(假定?(x,y,z)在门上连续)，的物体对于y、z轴的转动惯量为:IxIyIz2 2(y z)(x,y,z)dv Q.(x2 z2)(x,y,z)dvQiii(x2y2-(x,y,z)dv Q【、典型习题1、已知平面闭区域D的面积为S,则 3d；=().S522、设二重积分的积分区域D :A. S, B.C.3S, D.0.A.二;B. 2 二；.(x2 y2 )dxdyDA.C.Ka 3，3d； 002a 3，3 茁；4、改变二重积分y21I0dxx2B.D.2y

39、 - 4，则! dxdy 二(D)C. 3 二；,a 0, y 一 0 , 则在极坐标系中二a 2dd r2d；-00na2d，3d0022 f ( x , y) dy i dx o f ( x , y) dy 的积分顺序为).20dy . f (x,y)dx；0 yI1 t-010dy f (x, y)dx；0.： ye In x5、改变积分顺序 J dx p f (x, y)dy =C、12 -yB、“dvf (x, y)dx ； 0 丿 y12 -y0dy y f (x,y)dx.46、22 y6、改变积分顺序 dy 2 f(x,y)dx二1 y7、二次积分 p dy .0 f (x,

40、y) dx改变积分次序后为 22x_x28、改换积分dxf x, y dy的积分次序为 1 2 _x1y22 _y9、对二重积分J。dy ,0 f ( x, y) dx + dy J0f (x, y) dy ,改变积分顺序为2 2 2 210、计算二重积分 I = ex y dxdy , D 为 x2 +y2 兰 1，则 I =_D11、设D是由y二1-x2,y=x,y=0在第一象限围成的区域，则 I II , x2 y2 dxdy 二D12、 计算J J J x2 + y 2旳，其中D是圆环形闭区域(x,y)1兰x2 +y2兰4.D13、计算.xyd二，其中D是由抛物线y2二x及直线y =

41、x -2所围成的闭区域。D4714、计算重积分(3x 2y)d匚，其中D是两坐标轴及直线 x y =2所围成的闭区域。D15、利用极坐标计算.X2y2dc，其中D是圆环形闭区域( x,y)|a2 x2+y2 b2。D16、计算 I iarctan d二，其中 D 是由圆周 x2 y2 = 1, Xy2 = 4及直线 y = 0, y = xDx所围成的在第一象限内的闭区域.17、计算Isin xdxdy，其中 D 是由 y =0, y =x,x=总围成的平面区域18、求由四个平面 x = 0,y = 0,x =1,y =1所围成的柱体被平面 z = 0及 2 x 3 y z = 6截得的立体的

42、体积。2 219、利用柱面坐标计算三重积分：| = zex y dxdydz,其中门为曲面 z = . x2 y2与平面z = h所围成.20、利用柱面坐标计算三重积分：hi ( x2 y2 ) dxdydz，其中门为旋转抛物面1 2 2 z (x y )与平面2所围成的空间闭区域 .2 z 一 X2 y2 ,z 乞 121、利用柱面坐标计算三重积分:in : x2 y2 dxdydz，其中为Q22、利用柱面坐标计算.i.i.izdxdydz,其中丨：是由z = x2y2与z = 4围成的区域。第十一章曲线积分、曲面积分一、本章内容小结(一)、曲线积分1、对弧长的曲线积分(1) 对弧长的曲线积

43、分的概念与性质(2) 对弧长的曲线积分的计算法1) L的参数方程为丿x=(t)，(0邓)则片屮(t).f(x,y)ds 二 f (t) (t)L T设L的参数方程为x (t)给出，贝UKt)P(x,y)dx + Q(x, y)dy = #P(t),屮(t)(t) +Q(t),屮(t)屮(t)dt这里下限:、1分别对应曲线的起点与终点。 如果曲线L由yV(x)给出，则 L P(x,y)dx+Q(x, y)dy = f px,屮(x) +QxV (x)屮(x)dx Lxo 其中Xo及X分别对应于曲线的起点与终点； 3) 如果曲线L由xhF:(y)给出，则 (t72 (t)dt (： ： )L =2) 如果曲线L由方程y =(x) (X。空x乞X)给出，那末f(x,y)ds 二 Xfx(x) . i2(x)dxLxo3) 如果曲线L由方程x(y) (y。my乞Y)给出，那末Lf(x,y)ds= : f(y),y/r(y)dyLyo4)空间曲线弧丨由参数方程xhF(t), y=(t), z=.y：(t)给出，则有f(x, y,z)ds 二 f (t), - (t), (t) . ：2(t) -2(t)2(t)dt (：:)2、对坐标的曲线积分(1) 定义与性质(2) 计算方法、按