大一线性代数的知识点

1、2009年线性代数必考的知识点 1、行列式 将D主副角线翻转后，所得行列式为 n(n1) 拉普拉斯展开式:范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积; 特征值； D、 、反证法;6. 对于n阶行列式A|,恒有: 1)kSk 7. 主子式； 证明|A。的方法: 1. 2. n行列式共有n2个元素,代数余子式的性质： 展开后有n!项, 可分解为2n行列式; D、 Aj和aj的大小无关; 、 某 行（列） 的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为的元素乘以该行（列）元素0; A； 3.代数 Mij（4.设n行列式 Aij Aij 子式 1)ijMij 将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1,则DI n

2、(n1) ILD； 将D顺时针或逆时针旋转90o,所得行列式为 D2,则D2 n(n1) 1尸 D； 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为 D3 D； 5. 行列式的重要公式: D、 主对角行列式：主对角元素的乘积; 副对角行列式：副对角元素的乘积 n(n1) 1尸 上、下三角行列式（ ）:主对角元素的乘积; |和|:副对角元素的乘积 1) 1)mgn 、构造齐次方程组Ax0,证明其有非零解; 、利用秩，证明r（A）n； 、证明0是其特征值； 2、矩阵 1,A是n阶可逆矩阵： A|0（是非奇异矩阵）； r（A）n（是满秩矩阵） A的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组Ax0有非零解； bR

3、n,Axb总有唯一解； A与E等价； A可表示成若干个初等矩阵的乘积； A的特征值全不为0; ATA是正定矩阵； A的行（列）向量组是Rn的一组基； A是Rn中某两组基的过渡矩阵； * AAAAAE 2,对于n阶矩阵A：无条件恒成立； 3 .(A1)*(A*)1(A1)T(AT)1(A*)T(AT)* (AB)TBTAT(AB)*B*A*(AB)1B1A 4 .矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和; 5,关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆： A A2 O,则: As I、|AAJAL|As; A1 n、A1A21; O 1 As -11 AOA1O 、AO；(主对

4、角分块) OBOB1 1_1 OAOB1 、0AOB;(副对角分块) BOA10 A1A1CB1 A；(拉普拉斯) OB A1O B(A1B1；(拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组 等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵; 矩阵秩的基本性质： 、0r(Amn)min(m,n); 、r(AT)r(A)； 、若A:B,则r(A)r(B)； 、A O 1.一个 mn ErO OO 矩阵A,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的: 2. 3. 4. 对于同型矩阵A、B,若r(A)r(B) 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行

5、首个非0元素必须为1; 、 每行首个非0元素所在列的其他元素A:B 0； 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换) r 、若(A,E):(E,X),则A可逆，且 X XA A1; 7 1c 、对矩阵做初等行变化，当变为时， 就变成AB即：(A,B) r 、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb,如果(A,b).(E,x),则A可逆，且 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、,左乘矩阵A,i乘A的各行元素；右乘, 乘A的各列元素; 、对调两行或两列, 符号 E(i,j)，且E(i,j)1 E(i,j),例如:1 、倍乘

6、某行或某列, 符号 E(i(k),且E(i(k)1 1 E(i(一),例如:k (k 、倍加某行或某列, 符号 E(ij(k)，且E(ij(k) E(ij(k),如: (E,A1 ,1 xAb; 0)， (k0); B)； 5. 、max(r(A),r(B)r(A,B)、若P、Q可逆，则r(A)r(PA) r(AQ)r(PAQ) (可逆矩阵不影响矩阵的秩 r(A)r(B)；) 、r(AB)r(A)r(B)； 、r(AB)min(r(A),r(B)；(X) 、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0,则：() I、B的列向量全部是齐次方程组AX0解(转置运算后的结论)； n、r(A)r(B)n

7、、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n； 6.三种特殊矩阵的方窑： 、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)式，再采用结合律； 1ac 、型如01b的矩阵：利用二项展开式； 001 二项展开式：(ab)nC0anC；anELC：anmbmLC；1a1bn1 注：I、(ab)n展开后有n1项； mn(n1)LL(nm1)n!0n CnCnCn1 n _m1rn CnCn2 r0 r(A)n r(A)n1 r(A)n1 1 X,AAA1 行矩阵(向量) C；bn nmm.nm Cnab; m0 的形 1g2瞅gmm!(nm)! 出、组合的性质：CnmC；1mCnCm 、利用特征

8、值和相似对角化： 7.伴随矩阵： n * r(A)1 、伴随矩阵的秩： 0 A,AX 、伴随矩阵的特征值：(AX rC；nC；; *A| AXX) AAA1A 、 8.关于A矩阵秩的描述： 、r(A)n,A中有n阶子式不为0,n1阶子式全部为0;(两句话) 、r(A)n,A中有n阶子式全部为0; 、r(A)n,A中有n阶子式不为0; 9.线性方程组：Axb,其中A为mn矩阵，则: 、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程; 10.线性方程组Axb的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换)； 、齐次解为对应齐次方程组

9、的解; 、特解：自由变量赋初值后求得; 11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程: 矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同 解；（Pi0i例i4） r（ATA）r（A）；（P例i5） n维向量线性相关的几何意义：、，线性相关，共面; 线性相关与无关的两套定理:若i,2,L,sD、 i a2ixi LL ai2x2 a22x2 LLL am1x1 dm2X2 L LLL L ainx a2nx anmxn aii ain bi b2 bn a2i M a22 M a2n M x2 M ami n个未知数） am2 amn xm b2 AxM bm （

10、向量方程，A为m n矩阵，m个方程, aia2 an xi x2 M b b2 （全部按列分块，其中 4、 1. 2. 、a1x1a2x2L 、 有解的充要条anxn xn （线性MbMbn r（A）r（A,）n（n为未知数的个数或维数） 向量组的线性相关性 m个n维列向量所组成的向量组 m个n维行向量所组成的向量组 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 、向量组的线性相关、无关 、向量的线性表出 Ax AX Ax 2,L,m构成nm矩阵A 2r，L,m构成mn矩阵B i,2 Ti T2 M Tm ,L,m)； 0有、无非零解；（齐次线性方程组） b是否有解；（线性方程组） B是否有解；

11、（矩阵方程） 4. 5. D、 线性相关 ,线性相0； ,坐标成比例或共线（平3. 6. s,si必线性相关; 线性相关，则i,2,L, S线性无关，则i,2,L,si必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B： 若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；(向量组的维数加加减减)简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7 .向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示，且A线性无关，贝Urs；向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；向量组A能由向量组B线性表示 AXB有解；r(A)r(A

12、,B)向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B) 8 .方阵A可逆存在有限个初等矩阵PI,P2,L,P,使AP1P2LP1；r 、矩阵行等价：ABPAB(左乘，P可逆)AX0与Bx0同解、矩阵列等价：A:BAQB(右乘，Q可逆)；、矩阵等价：ABPAQB(P、Q可逆)； 9 .对于矩阵Amn与B|n： 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩； 10 .若AmsBsnCmn,则： 、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；、C

13、的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；(转置)11.齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； 、ABx0只有零解Bx0只有零解； 、Bx0有非零解ABx0一定存在非零解；12.设向量组Bnr:b1,b2,L,br可由向量组Ans；a,%,L,As线性表示为：(b1,b2,L,br)(a1,a2,L,as)K(BAK) 其中K为sr,且A线性无关，则B组线性无关r(K)r；(B与K的列向量组 具有相同线性相关性) (必要性：Qrr(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)r;充分性：反证法)注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用； 13

14、.、对矩阵Amn,存在Qnm,AQEm(A)m、Q的列向量线性无关； 、对矩阵Amn,存在Pnm,PAEnr(A)n、P的行向量线性无关； 14 .1,2,L,s线性相关 存在一组不全为0的数k1,k2,L,ks,使得k11k22Lkss0成立；(定义)x1 (L)x20有非零解，即Ax0有非零解； ,sM r(i,2,L,s)s,系数矩阵的秩小于未知数的个数; 15 .设mn的矩阵A的秩为r,则n元齐次线性方程组 r(S)nr； 16 .若*为Axb的一个解，1,2,L,nr为Ax0的一个基础解系，则*,1,2,L,nr线性无关； 5、相似矩阵和二次型 1 .正交矩阵ATAE或A1AT(定义)，性质： 、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTaj1ij(i,j1,2,Ln); j0i 、若A为正交矩阵，则A1AT也为正交阵，且|A1； 、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2 .施密特正交化：(a1,a2,L,ar) 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；、A与B等价A经过初等变换得到B； PAQB,P、Q可逆； r(A)r(B),A、B同型； 、A与B合同CTACB,其中可逆； xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数; 、A与B相似P1APB； 5. 相似一