叶宏应用概率统计第1章

1、教材: 应用概率统计 陈魁编著辅导书:概率论与数理统计习题精选精解 张天德叶宏主编本学科的应用本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中济的各个部门中. 例如例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与及预测都与概率论概率论紧密相关；紧密相关；2. 产品的抽样验收，新研制的药品能产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到否在临床中应用，均要用到假设检验假设检验；6. 探讨太阳黑子的变化规律时探讨太阳黑子的变化规律时,时间时间可

2、夫过程可夫过程 来描述来描述;7. 研究化学反应的时变率，要以研究化学反应的时变率，要以马尔马尔序列分析序列分析方法非常有用方法非常有用;4. 电子系统的设计电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其火箭卫星的研制及其发射都离不开发射都离不开可靠性估计可靠性估计; 3. 寻求最佳生产方案要进行寻求最佳生产方案要进行实验设计实验设计和和数据处理数据处理；5. 处理通信问题处理通信问题, 需要研究需要研究信息论信息论；水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知的知目前目前, 概率统计理论进入其他自然科学概

3、率统计理论进入其他自然科学装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、8. 生物学中研究生物学中研究 群体的增长问题时，群体的增长问题时，提出了生灭型提出了生灭型随机模型随机模型，传染病流行问，传染病流行问题要用到多变量非线性题要用到多变量非线性生灭过程生灭过程；9. 许多服务系统，如电话通信、船舶许多服务系统，如电话通信、船舶识就是识就是 排队论排队论.领域领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题济的稳定增长等问题 , 都大量采用都大量采用概率概率统计方法统计方法. 法国数学家拉普拉斯法国数学家拉普拉斯(Laplac

4、e)说对说对了了: “ 生活中最重要的问题生活中最重要的问题 , 其中绝其中绝大大领域的趋势还在不断发展领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领在社会科学领多数在实质上只是概率的问题多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正概率论是生活真正的领路人的领路人, 如果没有对概率的某种估计如果没有对概率的某种估计, 那那么我们就寸步难行么我们就寸步难行, 无所作为无所作为.随机现象随机现象 q 每次试验前不能预言出现什么结果q 每次试验后出现的结果不止一个q 在相同的条件下进行大量观察或试 验时

5、，出现的结果有一定的规律性 称之为统计规律性统计规律性 第一章第一章 随机事件及其概率1.1 随机事件及其运算随机事件及其运算 对某事物特征进行观察, 统称试验试验.若它有如下特点,则称为随机试验随机试验,用E表示q 试验前不能预知出现哪种结果 1.随机试验与样本空间随机试验与样本空间 q 可在相同的条件下重复进行q 试验结果不止一个,但能明确所有的结果样本空间样本空间 随机试验E 所有可能的结果随机事件随机事件 的子集, 记为 A ,B ,它是满足某些条件的样本点所组成的集合.组成的集合称为样本空间样本空间 记为基本事件基本事件 仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果,每次试验必定发

6、生且只可能发生一个基本事件. 必然事件必然事件全体样本点组成的事件,记为, 每次试验必定发生的事件.复合事件复合事件 由若干个基本事件组成的随机事件.不可能事件不可能事件不包含任何样本点的事件,记为 ,每次试验必定不发生的事件.A 随机事件的关系和运算类同集合的关系和运算 2.事件的关系和运算事件的关系和运算文氏图文氏图 ( Venn diagram ) A 包含于BBA 事件 A 发生必导致事件 B 发生 A B BA BA AB 且1. 事件的包含2. 事件的相等BA或BA BAAB事件 A与事件B 至 少有一个发生BA发生nAAA,21的和事件 niiA1,21nAAA的和事件 1iiA

7、 A 与B 的和事件3. 事件的并(和) BA或AB事件 A与事件B 同时 发生BA 发生nAAA,21的积事件 niiA1,21nAAA的积事件 A 与B 的积事件1iiABAB A4. 事件的交(积)BABA发生 事件 A 发生，但 事件 B 不发生BAB A A 与B 的差事件5. 事件的差 A 与B 互斥ABA、 B不可能同时发生ABnAAA,21两两互斥,21nAAA两两互斥njijiAAji, 2 , 1, 2 , 1,jijiAAji6. 事件的互斥(互不相容) A 与B 互相对立BAAB,每次试验 A、 B中有且只有一个发生ABAB 称B 为A的对立事件(或逆事件)，记为注意：

8、“A 与B 互相对立”与“A 与B 互斥”是不同的概念7. 事件的对立A运算律运算律对应事件运算集合运算q 交换律ABBABAABq 结合律)()(CBACBA)()(BCACABq 分配律)()()(CBCACBA)()(CABABCABABABAABq 反演律例例3 3 在图书馆中随意抽取一本书，A表示数学书，B表示中文书，C表示平装书. 抽取的是精装中文版数学书CABBC 精装书都是中文书BA 非数学书都是中文版的，且中文版的书都是非数学书则事件例例4 4 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系A ,B ,C 都不发生CBACBA A ,B ,C 不都发生CBAABC 1.2 随机事件的

9、概率随机事件的概率历史上概率的三次定义历史上概率的三次定义 公理化定义 统计定义 古典定义概率的最初定义基于频率的定义于1933年由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出设 随机试验E 具有下列特点：q 基本事件的个数有限q 每个基本事件等可能性发生则称 E 为 古典(等可能)概型古典概型中概率的计算：记 个数中所包含的基本事件的n的基本事件的个数组成 Am nmAP)(则1. 古典概型古典概型 概率的古典定义概率的古典定义(2)2最多个数为 ：93.341,2,3.P 例将 只球随机地放入 个盒子中去，求盒子中球的最大个数分别为的概率(1)1最多个数为 ：(3)3最多个数为 ：34334 3 2344

10、8P 3464n 2143333694416P C1433414416P设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次， 2. 频率与概率频率与概率nmfn则称 为事件 A 发生的 频率频率 概率的统计定义概率的统计定义在相同条件下重复进行的 n 次试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一常数p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).对本定义的评价对本定义的评价优点：直观 易懂缺点：粗糙 模糊不便使用概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年建立. 3. 概率的公理化定义概率的公理化定义 即通过规定概率应具备的基本即通过规定概率应具备

11、的基本性质来定义概率性质来定义概率. . 设 是随机试验E 的样本空间，若对于E 的每一事件 A ，都有一个实数P ( A )与之对应, 则称之为事件 A 的概率，只要满足下面的三条公理：q 非负性：0)(,APAq 规范性：1)(P11)(iiiiAPAPq 可列可加性：,21AA其中 为两两互斥事件，三条公理：q 非负性：0)(APq 规范性：1)(P11)(iiiiAPAPq 可列可加性：,21AA其中 为两两互斥事件，4. 概率的性质概率的性质0)(P基本性质加法公式性质性质1 加法公式加法公式)()()(,BPAPBAPBA互斥，则若事件niiniinAPAPAAA1121)(,两两

12、互斥，则若事件S因为因为AAS互斥与AAAS 性质性质2逆事件公式逆事件公式)(1)(APAP对任一事件A ，有( )( )( )1P SP AP A 性质性质2在概率的计算上很有用，如果在概率的计算上很有用，如果正面计算事件正面计算事件A的概率不容易，而计算其的概率不容易，而计算其对立事件对立事件 的概率较易时，可以先计算的概率较易时，可以先计算 ，再计算，再计算P(A).)(APA)(1)(APAP注意注意:S)()(ABAPBP0)( ABP再由再由)(ABA)()(ABPAP由可加性由可加性 设设、B是两个事件，若是两个事件，若 , 则则有有 )()()(APBPABP)()(APBP

13、BABA性质性质3 减法公式减法公式)()(APBP移项得移项得)()()(APBPABPq 对任意两个事件A, B, 有 )()()(ABPBPABP BAB=AB+(B A)P(B)=P(AB)+ P(B AB) B - ABAB注意注意:S)()()()(ABBPAPABBAPBAPBAB 又因又因再由性质再由性质 3得证得证 .)(ABBA 对任意两个事件对任意两个事件A、B，有，有 )()()()(ABPBPAPBAPABAB性质性质4 广义加法公式广义加法公式推广推广：)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP)() 1()()()()(2111

14、111nnnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP一般一般：右端共有 项.12 n例例 设有设有N件产品件产品,其中有其中有M件次品件次品,现从这现从这N件中任取件中任取n件件,求其中恰有求其中恰有k件次品的概率件次品的概率.解：令解：令A=恰有恰有k件次品件次品nNknMNkMCCCAP)(超几何公式.3401. 1的概率有一件不合格品件，求只有一件，至少任取件不合格品，从中件产品，其中有设有例解法一：321AAAAiAAi件不合格品，则表示恰好有品，表示至少有一件不合格设)()()()()(321321APAPAPAAAPAP310364)(CCCAPiii65

15、性质解法二：)(1)(APAPA表示全是合格品，则因为31036)(CCAP65计算事件计算事件A的概率不容易，而计算其对立的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以利用性质事件的概率较易时，可以利用性质2。性质例例4 有有r 个人，设每个人的生日是个人，设每个人的生日是365天的天的任何一天是等可能的，试求事件任何一天是等可能的，试求事件“至少有两至少有两人同生日人同生日”的概率的概率. rrPAP)365()(365rrPAPAP)365(1)(1)(365A为求为求P(A), 先求先求P( )解：令解：令 A=至少有两人同生日至少有两人同生日 = r 个人的生日都不同个人的生日都不

16、同A则则1.3 条件概率与独立性条件概率与独立性1. 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 在解决许多概率问题时，往往需要在在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息有某些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.(1). 条件概率条件概率 如在事件如在事件A发生的条件下求事件发生的条件下求事件B发发生的概率，将此概率记作生的概率，将此概率记作P(B|A). 一般一般 P(B|A) P(B) P(B )=1/6，例例如如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，B=掷出掷出2点点， A=掷出偶数点掷出偶数点，P(B|A)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件A发生，此时试验所发生，此时试验所有

17、可能结果构成的集合就是有可能结果构成的集合就是A，于是于是P(B|A)= 1/3.A中共有中共有3个元素，它们的出现是等个元素，它们的出现是等可能的，其中只有可能的，其中只有1个在集个在集合合B中，中，容易看到容易看到)()(636131APABPP(B|A) 设A、B为两事件, P ( A ) 0 , 则称为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.定义定义ABP)()(APABP)()()|(BPABPBAP称为在事件B发生的条件下事件A的条件概率.同理条件概率也是概率条件概率也是概率, , 故具有概率的性质：故具有概率的性质：0)(ABP1)(AP11iiiiABPABPq 非负性

18、q 规范性 q 可列可加性 )()()()(212121ABBPABPABPABBPq 概率的一些重要性质都适用于条件概率概率的一些重要性质都适用于条件概率. 例如例如:性质性质计算计算 2) 可用缩减样本空间法可用缩减样本空间法1) 用定义计算用定义计算:,)()()|(APABPABPP(A)0 掷骰子掷骰子例：例：B=掷出掷出2点点， A=掷出偶数点掷出偶数点P(B|A）=31A发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中B所含样本点所含样本点个数个数P10.1ABP)()(APABP由条件概率的定义：由条件概率的定义：若已知若已知

19、P(A), P(B|A)时时, 可以反过来求可以反过来求P(AB).乘法公式乘法公式利用条件概率求积事件的概率即乘法公式乘法公式) 0)()()(APABPAPABP) 0)()()(BPBAPBPABP推广推广) 0)()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP(2) 乘法公式乘法公式12.2.,.P某人忘记了电话号码的最后一位数字因而随机按号 求他第三次拨通，不超过三次而拨通的概率设iA3,2, 1i表示“按i 次才对”解1231233()()()()10P AAAP AP AP A101)(iAP则抽签理论抽签理论乘法公式乘法公式11()10P A 212

20、121911()()() (|)10 910P AP A AP A P AA398 11()10 9 810P A 我们说，在事件我们说，在事件B发生的条件下事件发生的条件下事件A的条件概率一般地不等于的条件概率一般地不等于A的无条件概率的无条件概率. 但是，会不会出现但是，会不会出现P(A)=P(A |B)的情形呢？的情形呢？ 我们介绍了条件概率的概念，给出了我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，它在计算概率时经常使用，需要法公式，它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握牢固掌握.独立性问题2. 事件的独立性事件的独立性显

21、然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发生的概率发生的概率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.B =第一次掷出第一次掷出6点点， A =第二次掷出第二次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设(1) 两事件的独立性两事件的独立性由乘法公式知，由乘法公式知，当事件当事件A、B独立时，独立时， 有有 P(AB)=P(A) P(B) 用用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性刻划独立性,比用比用 P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好更好,它不受它不受P

22、(B)0或或P(A)0的制约的制约.P(AB)=P(B)P(A|B)定义定义设 A , B 为两事件，若)()()(BPAPABP则称事件 A 与事件 B 相互独立 两事件独立的定义两事件独立的定义q 四对事件BABABABA,;,;,;,任何一对相互独立,则其它三对也相互独立容易证明容易证明,若两事件若两事件A、B独立，则独立，则 BABABA与与与,也相互独立也相互独立.两事件相互独立的性质两事件相互独立的性质(2) 多个事件的独立性多个事件的独立性将两事件独立的定义推广到三个事件：将两事件独立的定义推广到三个事件： 对于三个事件对于三个事件A、B、C，若，若 P(AB)= P(A)P(B

23、) 四个等式同时四个等式同时 P(AC)= P(A)P(C) 成立成立,则称事件则称事件 P(BC)= P(B)P(C) A、B、C相互相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 独立独立. 定义定义 n 个事件 A1, A2, , An 相互独立 是指下面的关系式同时成立)()()()(2121nnAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPjiji1),()()(nkjiAPAPAPAAAPkjikji1),()()()(定义定义推广到推广到n个事件的独立性定义个事件的独立性定义,可类似写出：可类似写出：请注意多个事件两两独立与相互独立请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系的区别与联

24、系两两独立两两独立相互独立相互独立对对n(n2)个事件个事件?（P13 .3） 所求为所求为 P(ABACBC)(2)()()(ABCPBCPACPABP利用独立性)()()(2)()()()()()(CPBPAPCPBPCPAPBPAPP19.5相互独立和则事件设BABAPBAPBPAP, 1)()(, 1)(0 , 1)(01)|(1)|()|()|(BAPBAPBAPBAP因为)|()|(BAPBAP所以)(1)()()()()()(BPABPAPBPBAPBPABP)()()(APBPABP 全概率公式和贝叶斯公式主要用于全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率计算比较复杂

25、事件的概率, 它们实质上它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用综合运用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)01.4 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式 设设S为随机试验的样本空间，为随机试验的样本空间，A1,A2,An是是两两互斥的事件，且有两两互斥的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n, niiiABPAPBP1)()()(全概率公式全概率公式称满足上述条件的称满足上述条件的A1,A2,An为为完备事件组完备事件组.,1SAnii则对任一事件则对任一事

26、件B，有，有证明niiBABSB1iiiABPAPBAP niiiniiABPAPBAPBP11两两互不相容，nAAA,21也两两互不相容；得BABABAn,21加法公式加法公式乘法公式乘法公式 某一事件某一事件B的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，如果，如果B是由原因是由原因Ai所引起，则所引起，则B发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的概率是各原因引起发生的概率是各原因引起B发生概发生概率的总和，即率的总和，即全概率公式全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)全概率公式全概率公式我们还可以从另一个角度

27、去理解我们还可以从另一个角度去理解全概率公式的关键：全概率公式的关键：数学模型数学模型完备事件完备事件组组.20%,30%,50%0.95,0.9,0.8.P15.2 甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总数的，正品率分别为，从这批产品中任取一件，求它是正品的概率B表示产品为正品321 , ,AAA分别表示产品由甲、乙、丙车间生产完备事件组完备事件组86. 0)|()()|()()|()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP全概率公式全概率公式P17.4 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三三人击中的概率分别为人击中的概率分别为0.4、

28、0.5、0.7 .飞飞 机被一人机被一人击中而击落的概率为击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概被两人击中而击落的概率为率为0.6,若三人都击中若三人都击中,飞机必定被击落飞机必定被击落, 求飞机求飞机被击落的概率被击落的概率.设设B=飞机被击落飞机被击落 Ai=飞机被飞机被i人击中人击中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)依题意，依题意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1 为求为求P(Ai ) , 设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中, i=1,2,3 )()(3213213211HHHHHHHHHPAP)()(3213213212HHHHHHHHHPAP)()(3213HHHPAPP(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14.P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)=0.458 =0